基于神經網絡的接觸式測頭半徑三維補償

張 偉，趙云飛

ZHANG Wei, ZHAO Yun-fei

（中國計量學院 機電工程學院，杭州 310018）

0 引言

零件的數字化是通過特定的測量設備和測量方法獲取零件表面離散點的幾何坐標數據，在這基礎上進行復雜曲面的建模、評價、改進和制造。因此，高效、高精度地實現零件表面的數據采集是逆向工程實現的基礎和關鍵技術之一[1]。零件表面數據采集方法可分為接觸式數據采集和非接觸式數據采集兩大類。

三坐標測量機（CMM）是應用最為廣泛的接觸式測量設備，它具有噪聲低、精度高和重復性好等優點。接觸式測量包括點位觸發式數據采集和連續式數據采集兩種。點位觸發式數據采集的速度較低，一般只適合零件表面形狀檢測或需要較少的表面數字化場合；連續式數據采集的速度較快，可用于采集較大規模的數據。接觸式測量方法不足之處是對由較軟材料制造的零件產生測量誤差，測頭半徑需進行補償。

接觸式和非接觸式測量方法各有優缺點，因此一些研究者應用多傳感器信息融合的思想開發集成測量系統以發揮不同測量方法的特長。Shen[2]等通過主動視覺系統和接觸式CMM的集成，實現了由視覺測量進行曲面識別和粗定位，然后指引CMM進行高精度測量的功能。為使激光測頭和接觸式測頭實現優勢互補，已有公司開發出實現激光掃描頭和接觸掃描頭互換的坐標測量系統[3]。

盡管非接觸式激光三角形法在逆向工程中應用發展較快，但鑒于接觸式CMM測量與非接觸式激光測量各有特點，它們在逆向工程中的應用各有側重，相互補充。對于曲面形狀復雜，且精度要求也很高的零件，有時用接觸式坐標測量機測量是最佳乃至唯一的選擇[4]。

根據三坐標測量機測頭半徑補償時間可以將補償分為在線自動補償和離線數據處理補償。目前的CMM測量中，廣泛采用一種二維在線自動補償方法，即在測量時，將測量點和測頭半徑的關系都處理成二維情況，在測量時自動完成數據的測頭半徑補償。對一些由規則形狀組成的表面的測量，如平面、二次曲面，二維補償是精確的。但對于一些由自由曲面組成的復合曲面，測量方向和測量點的法矢有可能不一致，用二維補償方法進行補償會造成補償誤差。在誤差不能忽略的情況下，必須考慮對測量進行測頭半徑的三維補償。

文獻[5-11]研究了測頭半徑的三維補償，其中有的方法不適用于接觸式密集數據采集測頭半徑補償；有的方法[7,8]可用于接觸式密集數據采集測頭半徑補償，但在補償過程中存在較多中間處理環節，導致補償處理時間較長和補償精度不理想。本文擬開展基于自組織特征映射（SOFM）神經網絡[12]的接觸式密集數據采集測頭半徑三維智能化補償研究，以在測頭半徑補償效率和補償精度層面有所推進。

1 測頭半徑的三維補償模型

1.1 三角形網格自組織壓縮重建

用于散亂點數據壓縮的SOFM神經網絡二維陣列模型如圖1所示。圖中網絡的輸入矢量就是復雜曲面上的測點矢量Pj(x,y,z)，網絡輸出層具有m×n個神經元結點。網絡神經元對曲面空間測量樣本點的學習和訓練來模擬曲面上的點與點之間的內在關系，結點連接權矢量集{Wi}重構曲面樣本點的內在拓撲關系及實現對測點集{Pj}的工程近似化，實現曲面三維散亂點云的自組織壓縮，構成三角剖分。

圖1所示神經網絡的權重調節算法如式(1)所示。

式中Pj為測點矢量；Wi(t)為連接權矢量；α(t)為修正率；Nc為以結點c為中心的輸出結點集合，如圖2所示，其中c為與輸入矢量Pj匹配最佳的輸出結點；β(di)是修正率加權函數，其中di為鄰區集合Nc中結點i到c之間的距離。按六角形陣列側抑制鄰區Nc訓練調整網絡神經元權重矢量，使網絡輸出層結點呈六角形陣列分布，可生成測量點集壓縮后的Delaunay三角逼近剖分。

圖1 數據壓縮二維陣列網絡模型

圖2 六角形陣列鄰區Nc

1.2 三角形網格頂點法矢

設欲重構的曲面可以用參數方程表示如式(2)：

式中P表示曲面的笛卡兒坐標(x,y,z)，Q表示曲面參數(u,v) 。對于曲面采樣測點矢量集，曲面參數可設為(x,y)。

基于自組織特征映射神經網絡的曲面重建模型有賴于SOFM神經網絡的擴展，即利用無導師SOFM神經網絡學習能力，由神經網絡系統自己建立曲面參數方程表達式(2)。此式是一復雜的非線性變換，要用一個函數擬合所測得的數字化點群數據是困難的。為此可將式(2)在Qs處臺勞展開：

式中Ps，As和Qs可用擴展SOFM（ESOFM）神經網絡學習而得。此式表示所構造的神經網絡權重矢量Ps處的微切平面方程。依據此式，微切平面(3)逼近曲面(2)，在Qs局域Fs中可達到很高的精度。Fs由下式定義：

式中s是激活神經元，Fs是神經元s對應的輸入空間，即感受野；?是輸入空間；Qr是神經元r的外部輸入權重，即分類核心。

r為自組織特征映射神經網絡陣列中的神經元，初始時，其外部輸入權重Qr隨機均布在輸入空間?。SOFM自組織學習算法可使r與Qr形成空間有序特征映射。通過SOFM算法擴展同時使r與（Pr, Ar）建立映射關系。Pr及Ar以隨機函數定義初始值。通過ESOFM神經網絡訓練，學習Pr, Ar及Qr，以滿足式(3)。

按前述建立的ESOFM神經網絡中，每一個神經元s有一個感受野Fs以及外部輸入權重Qs，那么該神經元的輸出就是Ps。當輸入Q偏離Qs時，則神經元的輸出由式(3)得到。這樣ESOFM神經網絡將整個數字化點群數據分成許多子區域，每個子區域用一個線性函數逼近（即微切平面逼近），每組權重各自對相應的子區域負責。當區域分得足夠細時，即神經元數目足夠多時，擬合精度可以達到所要求的程度。式(3)中的As可用于計算相應子區域權重矢量Ps（即三角形網格頂點）處的法向矢量ns，其計算公式如下：

式中As由ESOFM神經網絡訓練后直接得到。

1.3 測頭半徑三維補償

測頭半徑補償的關鍵是確定曲面在接觸點處的法矢。測頭與被測曲面接觸時，球心一定在被測點的法線上，而且被測點一定在球心軌跡面過球心點的法線上。因此不論是得知被測面的法線方向或是球心面的法線方向，都能對測頭半徑進行補償。對于未知CAD模型的樣件的測頭半徑補償，只有根據測量點集信息計算通過球心點的法矢。

上述ESOFM神經網絡經過訓練，可得到三角形網格頂點{Pr}（逼近測頭球心點集）及其法矢{nr}，由此可以按式(7)計算測頭與工件的接觸點集{Pb}。

式中r為測頭半徑。

2 測頭半徑補償的仿真實驗

2.1 采用球面模型的仿真實驗

仿真實驗中，測頭半徑補償模型中的神經元陣列包含m×n個神經元（具體分別取三種組合：8×10，10×12，12×13），采用球面模型進行仿真實驗，測頭半徑為1mm，仿真實驗結果如圖3所示。

球面的參數方程如下。

圖3(a)表示的采樣點集作為測頭球心仿真測量的坐標點集（密集散亂點集），測頭球心球面采樣的參數范圍為：u=0～π/7，v=0～π/6，R=10mm。采樣點集包含1320個點，其中邊界點集包含120個點；圖3(b)表示逼近測頭球心點集的三角形網格及網格頂點處的法矢，圖中也繪制了邊界點集（m×n=8×10）；圖3(c)表示工件球面為凸球面時，采樣點集經過壓縮及測頭半徑補償后生成的三角形網格（逼近測頭與工件的接觸點集，m×n=8×10）；圖3(d)表示工件球面為凹球面時，采樣點集經過壓縮及測頭半徑補償后生成的三角形網格（逼近測頭與工件的接觸點集，m×n=8×10）；圖3(e)表示測頭半徑補償模型中的神經元陣列包含10×12個神經元的測頭半徑補償仿真實驗結果（工件球面為凹球面）；圖3(f)表示測頭半徑補償模型中的神經元陣列包含12×13個神經元的測頭半徑補償仿真實驗結果（工件球面為凹球面）。

圖3 仿真實例1

仿真實驗中經過采樣數據壓縮和測頭半徑三維補償后生成的三角形網格逼近理想工件球面的逼近精度如表1所示。表1中分別表示了圖3(d)～(f)仿真實驗的逼近精度。

表1中Ds表示三角形網格逼近測頭球心面的精度；Dw表示三角形網格逼近工件表面的精度；Dwmax表示Dw中的最大值；Dwmin表示Dw中的最小值；T表示神經網絡訓練時間。三角形網格的逼近精度表示三角形網格頂點集逼近曲面的程度，本文按(9)式進行計算度量。

式中m×n表示測頭半徑補償模型中的神經元陣列所包含的神經元；Rp為理想工件球面的半徑。圖3(c)所示情況下，Rp取為9mm；圖3(d)～(f)所示情況下，Rp取為11mm。Wi表示三角形網格頂點的權重矢量，即三角形網格頂點的空間位置。

表1 仿真實驗的精度（距離單位：mm）

2.2 采用復雜曲面模型的仿真實驗

仿真實驗中，測頭半徑補償模型中的神經元陣列包含12×15個神經元，采用復雜曲面模型進行仿真實驗，測頭半徑為1.5mm，仿真實驗結果如圖4所示。

圖4(a)表示測頭球心仿真測量采樣點集，測頭球心掃掠的曲面如公式(10)所示，按照Δx=Δy=π/60cm進行采樣，得到有序采樣點集。采樣的參數范圍為：x=3π/4～5π/4，y=π/3～5π/6。測量點集包含961個點；圖4(b)表示逼近測頭球心仿真測量采樣點集的三角形網格及網格頂點處的法矢；圖4(c)表示工件表面為凸面時，采樣點集經過壓縮及測頭半徑補償后生成的三角形網格（逼近測頭與工件的接觸點集）。

圖4 仿真實例2

無論是簡單曲面球面的密集散亂仿真測量點集還是復雜曲面的密集有序仿真測量點集作為仿真實驗對象，在仿真實驗層面均驗證了所構建的測頭半徑三維補償模型的有效性。在采用球面模型的仿真實驗中可以得到：1）Dw- Ds的值為亞微米級，非常微小，這可以間接證明所求的測頭半徑補償法矢非常接近理想補償法矢；2）隨著神經元數目增加，補償后的三角形網格逼近理想工件表面的精度Dw得到提高，Dw精度可以滿足工程需要；3）補償后的三角形網格存在邊緣誤差，即三角形網格的邊界網格頂點偏離測頭與工件表面的接觸點集中的邊界點集，通過增加神經元數目可以減小邊緣誤差。測頭半徑補償模型在采用復雜曲面模型的仿真實驗中，呈現出其在采用球面模型的仿真實驗中相同的效果。

3 結束語

基于三坐標測量機的接觸式連續掃描測量采集的坐標數據是測頭中心的坐標值，而非測頭與被測量件的接觸點的坐標值。為了擬合出較精確的曲面，必須對測頭半徑進行三維精確補償。本文構建的三坐標測量機接觸式數據采集測頭半徑三維智能化補償模型，實現了未知CAD模型零件的接觸式密集數據采集測頭半徑三維補償。如此得到的經過密集測量數據壓縮與測頭半徑補償的逼近零件表面的三角形網格，既可用于構造散亂數據插值曲面的前置處理，也可用于快速原型STL格式的零件幾何表示。本文的研究工作對我國有關先進制造業如汽車業、摩托車業、模具業、五金業、家電業等行業的產品創新逆向工程具有重要意義。

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