數學課中的題組教學

●牟正道 (路橋區教師進修學校 浙江臺州 318050)

如何提升課堂教學效率，是經久不衰的熱點課題.衡量課堂教學效率的高低雖然有許多不同的指標體系，但是否能激發學生的學習興趣、提高學生的思維能力和充分利用教學時間卻是最基本也最重要的3個方面.題組教學是將若干個具有某些共同屬性或有某種相關聯系的問題并成一組或串成一串、從上到下一個問題接著一個問題、一環緊扣一環、一氣呵成的教學方法.在中學數學課堂教學中，利用題組教學可以較好地提升課堂教學效率.

1 激發學生的學習興趣

興趣是一個人力求接觸、認識、掌握某種事物和參與某種活動的心理傾向，是學生學習積極性中一個最積極、最活躍的心理因素.利用數學題組，使整個教學過程保持緊密聯系，一環緊扣一環，在學生思維的最近發展區層層遞進，使學生對數學學習始終保持濃厚的興趣，避免產生倦怠和厭煩，自覺、積極、主動地進行學習和探索.

求證這組題是簡單的，只須分別令a=b=1;a=1，b=2;a=1，b=-1和a=1，b=i就得到了上述等式.這個題組從簡單到復雜，逐漸遞進，學生不會感到只是簡單的重復，因為證明了上述4個等式后，學生會受到啟發，在遇到求證類似的等式時就會想到利用二項式定理去嘗試.特別對二項式定理中的a，b賦不同的值，得到不同的等式，學生會更感興趣.如

繼續賦予a，b不同的值，還可以編制出更多系列數學題組.更重要的是，學生通過編制題組，相互之間交換編制的題組和答案，還會發現許多有趣的題組，從而對二項式定理的應用有一個更深的認識.這樣的效果，是采用互不相干的單個題進行教學很難獲得的.

學生求知欲極強，渴望學好數學知識，為進一步學習以及將來的工作和生活打下良好的基礎.但同時，他們又不喜歡灌輸式教學，他們喜歡探究、創新、刺激.從心理學的角度看，在中學數學課堂教學中采用題組教學，符合學生的心理，能夠不斷地刺激學生，緊緊地吸引住學生，使他們不會因為數學的抽象而感到單調和乏味，始終保持旺盛的學習興趣.

2 提高學生的思維能力

數學課程應注重提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一.在中學數學學習中，發散思維能使學生深入探究、不斷拓展，化歸思維能使學生舉一反三、觸類旁通.在數學課堂中采用題組教學，能較好地提高學生發散和化歸的思維能力.

例2 (1)直線y=kx與圓x2+y2-6x-4y+10=0相交于2個不同點A，B，當k取不同的實數值時，求AB中點的軌跡;

(4)已知拋物線y2=4px(p＞0)，O為頂點，A，B為拋物線上2個動點，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB于點M，求點M的軌跡方程.

解(1)設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中點 M(x，y)，則

因此，所求的軌跡是圓x2+y2-3x-2y=0在已知圓內的一段弧.

(2)設重心 P(x，y)，A(x1，y1)，則 A 是 OP 的定比分點，且

因為點A在已知橢圓上，所以所求的軌跡方程為

因為OA⊥OB，OM⊥AB，則M不為原點，所以，所求軌跡方程為x2+y2-4px=0(x≠0).

這4個問題雖然題設條件不同，所求的具體內容也不一樣，但是，它們卻有共同之處：都是求動點的軌跡方程，動點都在某條動直線上，而動直線都與已知圓錐曲線相交.因此，它們的解題思路是相同的，都是先設出所求點的坐標和動直線與已知圓錐曲線的交點坐標;然后根據已知條件，尋找所求點的坐標和動直線與已知圓錐曲線的交點坐標之間的關系，用所求點的坐標表示交點坐標;最后將交點坐標代入已知圓錐曲線方程化簡后得解.這種方法可以推廣到一般情況，即有些問題中的動點軌跡是由另一個動點按照某種規律運動而形成的，只要把所求動點坐標轉移到另一個動點在運動中所遵循的條件中去就能解決問題.通過這一題組的教學，可以使學生掌握解決一類求軌跡問題的通法——轉移法.這在單題教學中是很難有這樣的教學效果的.從例2可知，題組教學有利于學生對形式各異的眾多數學問題進行比較，發現它們之間的內在聯系，尋找出數學問題和解決方法的規律，并進行有效的歸類，從而提高化歸思維能力，使學生從題海中跳出來，進行有效記憶和靈活運用，把更多的時間和精力放在探究和研討上，學習更多的數學知識，達到更好的學習效果.

3 提高課堂時間利用率

數學課堂教學的時間十分寶貴，利用數學題組，可以減少教師板書、講解和學生讀題、審題的時間，能使教師的講解一氣呵成，從而充分利用時間，增大課堂容量.

例3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知棱長為a.

(1)求直線A1B1與AD的位置關系和距離;

(2)求直線BD1與平面ABCD所成角的正弦值;

(3)求平面ABD1和平面BCD1所成二面角的大小;

(4)求平面A1AD1和平面ABD1的位置關系;

(5)求證：異面直線C1D和BD1互相垂直;

(6)取A1D1的中點M，D1C1的中點N，DD1中點Q，求證：平面MNQ∥平面AB1C;

分析(1)由A1B1∥AB，AB⊥AD，知AA1是異面直線A1B1與AD的公垂線，從而A1B1與AD的距離為a.

(2)因為DD1⊥平面ABCD，所以BD為直線BD1在平面ABCD的射影，∠D1BD即為所求線面所成的角.又因為DD1=a，BD1=a，所以

故所求2個平面所成的角為120°.

(4)由AB⊥AD，AB⊥AA1，得AB⊥平面AD1A1，而AB?平面ABD1，于是平面AD1A1和平面ABD1互相垂直.

(5)由 BC⊥平面 CC1D1D，得 BC⊥C1D.又 C1D⊥CD1，則 C1D⊥平面 BCD1，于是 C1D⊥BD1.

(6)因為D1C1的中點為N，DD1的中點為Q，所以NQ∥C1D.又AB1∥C1D，得NQ∥平面AB1C.同理可得，MQ∥B1C，從而MQ∥平面AB1C，于是平面MNQ∥平面AB1C.

這個題組中第(1)小題的解題過程涉及直線與直線的平行、垂直，異面直線及其公垂線，2條直線之間的距離等概念和有關定理;第(2)小題涉及直線在平面的射影、直線與平面所成角、三角函數等有關知識;第(3)小題涉及直線與平面、直線與直線的垂直，二面角及其平面角，余弦定理等知識;第(4)小題涉及直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的有關概念和定理;第(5)小題涉及直線與直線、直線與平面垂直的有關定理;第(6)小題涉及三角形的中位線，直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的有關概念和定理;第(7)小題涉及直線與平面垂直，直線與直線垂直、平行，2條異面直線的公垂線、所成角以及距離等有關知識.通過這樣一組題就可以把中學階段立體幾何中直線和平面關系的主要知識串成一串，使得畫圖和審題的時間大為減少.既能使教師的講解一氣呵成，又能在一節課內將立體幾何的基本知識復習完畢;既能照顧到課堂教學時知識體系的完整性，又能減少分若干節課教學所帶來的承上啟下和小結所需的時間.因此，與互不相干的單題教學相比較，采用題組教學可以更充分地利用寶貴的數學課堂教學時間.

綜上所述，在中學數學課堂采用題組教學，一環緊扣一環，層層遞進，有利于激發學生的學習興趣;有利于學生深入探究、不斷拓展、舉一反三、觸類旁通，提高發散思維和化歸思維能力;能減少板書、畫圖、讀題、銜接等時間，更充分地利用課堂教學時間，增大課堂容量.因此，在中學數學課堂中采用題組教學，有利于提升教學效率.