基于復合Newton-Cotes改進的一種數值積分算法

劉 浩,李夢爽

南京大學，江蘇南京 211102

1 問題的提出

[1]中的證明可知：在 n<=8 時數值穩定，誤差隨n 的增大而減小，同時n>8 時，會產生數值不穩定性，造成巨大計算誤差。但是，實際的計算過程中誤差并沒有像[1]中所言在n小于8時候會隨著n的增大而減小，而是減小到一定程度之后就不再減小。

經過實驗分析（在精度更高的計算環境下，誤差的減小微乎其微）我們確定這不是由于計算機表示精度的原因造成的。進一步分析和對比[2]中的給定積分系數Ai，我們確定這是由于其中在計算過程中計算Ai多項式積分引入了額外的誤差。于是我們提出了一種改進的Newton-Cotes數值積分算法。我們稱新算法為后置秦氏Newton-Cotes算法。

2 算法的介紹

經典的復合Newton-Cotes算法和相關結果

Newton-Cotes計算方法是將問題轉化為計算積分的近似值

當階數過大時會產生數值不穩定性，所以采用復合Newton-Cotes算法增加計算的精度。其思想是講區間[a，b]平分成m段，在每段上使用Newton-Cotes算法，最后將各段結果求即為積分的近似值。

【定理1】[1]n階Newton-Cotes算法的離散誤差

為

由此當n較大時離散誤差會發散。

但是實際數值計算試驗中并沒有表現出上述定理所述的結果，這是因為上述定理認為Ai的計算是絕對準確的，但實際計算中只是還是使用數值積分方法計算該Ai，只是計算多項式積分的計算更準確一點。然而這卻導致了在n上升到較小值的之后誤差就不再明顯下降。于是我們提出了如下算法。

3 后置秦氏復合Newton-Cotes算法

在經典的復合Newton-Cotes算法中我們會使用，秦九韶算法計算多項式的值之后再進行數值積分。我們這里觀察發現其實Ai的計算可以利用多項式積分的特點進行優化。在后置秦氏復合Newton-Cotes算法中我們先計算出Ai中多項式的系數，之后對系數矩陣做加權平移就可以得到積分后多項式的系數矩陣，然后再使用秦九韶算法計算Ai。這相當于將秦氏算法后置，所以我們取名為后置秦氏復合Newton-Cotes算法。具體介紹之前我們先引入一個引理。

【引理1】k次多項式Pk(t)的系數矩陣為

下圖表示了后置秦氏復合Newton-Cotes算法的圖示。

4 算例與分析

我們將分別使用經典的復合Newton-Cotes算法和后置秦氏復合Newton-Cotes算法計算計算積分，并對比計算結果。

【試驗一】：使用經典的復合Newton-Cotes算法（m是分段數，n表示Newton-Cotes算法的階數）

下圖中上方曲線是m=100時誤差隨n變化的曲線，下方是m=10000時的曲線。縱坐標是對數坐標表示誤差的絕對值。

實驗表明經典算法在n在3和8之間精度沒有明顯增長，并驗證了定理一中的關于數值不穩定的結論。

【實驗二】：使用后置秦氏復合Newton-Cotes算法

上圖中上方兩條是實驗一中的數據。最下方曲線是m=10000時候誤差隨n上升變化的曲線。

實驗表明使用改進之后的后置秦氏復合Newton-Cotes算法可以明顯地增強算法的精度。

【實驗三】：對比上述試驗中計算出的Newton-Cotes系數Ai

參考[2]中給定的Cotes系數，我們發現經典算法的系數對稱性和精確度都沒有改進算法好，我們分析認為這正是新算法精度較高的原因。

5 結論

使用我們設計的后置秦氏復合Newton-Cotes算法在不明顯增加計算量的情況下可以大大增加計算結果的精度，尤其在Cotes系數的對稱性上有比較大的改進。

參考文獻

[1]林成森.《數值計算方法.上冊》.科學出版社.

[2]黃云清.《數值計算方法》.科學出版社.