構架式空間可展開天線結構優化參數預測模型

鄧宗全，田大可，劉榮強，郭宏偉

(1.哈爾濱工業大學 機器人技術與系統國家重點實驗室，150001哈爾濱，tdk724@126.com;2.哈爾濱工業大學 機電工程學院，150001哈爾濱)

空間可展開天線是隨著航天科技的發展而產生的一種新型空間結構，由于其結構形式靈活，應用領域廣泛，目前已經成為空間可展開結構中研究最活躍的一個分支[1－3].剛度和質量是評價可展開天線結構性能的重要參數，在進行天線設計時需要進行優化，但天線是一個由剛性桿件與柔性拉索構成的復雜系統，很難直接建立設計變量與剛度和質量之間的解析表達式，這給優化設計帶來了很大的難度.因此建立設計變量與目標函數的映射關系是進行優化的前提和基礎，有必要對這一問題進行研究.

神經網絡具有通過學習逼近任意非線性映射的能力，可以不受非線性模型的限制，是非線性系統建模與應用的一個重要方法.BP神經網絡是利用非線性可微分函數進行權值訓練的多層前饋網絡，它廣泛應用于模式識別、函數逼近、數據壓縮等領域，是目前應用最為廣泛的一種神經網絡[4].

本文基于BP神經網絡對由7個模塊組成的構架式可展開天線進行了研究.根據天線結構及背架的幾何模型[5]，運用有限元軟件ANSYS對背架進行了數值模擬，得到了與設計變量對應的目標函數值，構建了用于神經網絡訓練和檢驗的樣本集，按照BP算法的基本思想，建立了目標函數的預測模型，驗證了網絡的泛化能力.

1 天線結構及展開原理

構架式可展開天線采用模塊化思想設計，天線由7個尺寸相等的模塊組成，其結構如圖1所示.這種設計的優點是桿件的類型大大減少，加工和調試的時間短，制造成本低.天線的每個模塊又分為金屬反射網和背架兩個主要部分[6－7].金屬反射網成拋物面形狀，起到發射和接收信號的作用.背架是模塊的骨架，用來支撐反射網，它具有很高的剛度和展開精度，展開時呈六棱柱狀態.交叉拉索起到維持結構穩定、提高結構強度的作用.

圖1 構架式可展開天線及模塊的結構

天線背架的展開原理與傘的張開原理類似[8]，背架由6個成輻射狀發散的基本單元組成，基本單元是背架的最小可展單元.基本單元的結構如圖2所示，它由電機、繩索、鉸鏈、拉伸彈簧及各種桿件等組成.驅動力由位于中心桿上的彈簧提供，滑塊與彈簧相連，能在中心桿上上下移動.模塊在收攏狀態時，彈簧處于被拉伸狀態，當天線展開時，電機通過釋放繩索來控制天線的展開速度，當彈簧恢復至自然長度時，鎖緊機構將滑塊鎖死，天線完全展開，整個背架變成一個穩定的結構.

圖2 基本單元

2 BP神經網絡預測模型

2.1 BP神經網絡的基本原理

BP神經網絡即誤差反向傳播神經網絡，是一種由大量神經元相互連接而組成的復雜網絡系統，目前在各個領域中都有廣泛應用.BP神經網通常由輸入層、隱層和輸出層組成，上、下層各神經元之間實現全連接，即下層的任意一個神經元與上一層的神經元都實現連接，而每層各神經元之間無連接[9].BP算法的學習分為信號的正向傳播與誤差的反向傳播兩個過程.正向傳播時，樣本由輸入層傳入，經各隱層處理后，傳向輸出層.若輸出層的實際輸出與期望輸出存在偏差，則進入誤差的反向傳播階段，即將輸出誤差通過隱層向輸入層逐層反傳，并將誤差分攤給各層的所有單元，從而獲得各層單元的誤差信號，此誤差信號即作為修正各單元權值的依據.通過這種正反向的傳播過程，網絡的權值不斷得到調整，直到網絡輸出誤差減小到可以接受的程度，或者進行到預先設定的學習次數為止[10].

含有一個隱層的三層神經網絡具有較小的網絡規模且通常能夠準確地按精度要求逼近給定的函數，其網絡模型如圖3所示.

圖3 三層BP網絡模型

其訓練過程如下[10－11]:

設一組輸入信號為 x1，x2，…，xi，…，xm;隱層輸出信號為y1，y2，…，yj，…，yn;輸出層信號為z1，z2，…，zk，…，zp;期望輸出為 Z1，Z2，…，Zk，…，Zp;輸入層到隱層之間的權值為vij，隱層到輸出層之間的權值為wjk，隱層神經元的閾值為αj，輸出層神經元的閾值為 βk，其中，i=1，2，…，m;j=1，2，…，n;k=1，2，…，p.

首先給各層的權值、閾值賦予一個較小的隨機值.

當樣本進入到輸入層，經過信號的正向傳遞，得到隱層和輸出層的信號分別為

式中f(·)為傳遞函數，常用的有Sigmoid和對數Sigmoid等函數.

當輸出層信號與期望輸出不等時，輸出誤差為

將式(1)逐層展開

由式(2)可見，網絡的輸出誤差是一個包含權值和閾值的函數，通過調整網絡的權值和閾值可以減小輸出誤差，使誤差沿梯度方向下降，經過反復學習訓練，當達到誤差要求時，訓練過程結束.

2.2 網絡模型的建立

由背架的結構及展開原理可知，上弦桿、下弦桿、豎桿、斜腹桿、中心桿和交叉拉索是背架的主要結構，由于上弦桿和下弦桿的受力形式及截面尺寸基本相同，因此本文將它們作為同一類桿件進行分析，統稱為弦桿，那么，整個結構便簡化為5部分，它們共同對結構的剛度及質量產生影響，本文著重研究對結構剛度影響最大的一階固有頻率.因此，選擇弦桿直徑、斜腹桿直徑、拉索直徑、中心桿直徑和豎桿直徑5個設計變量作為神經網絡的輸入，結構的一階固有頻率及質量2個目標函數作為網絡的輸出，采用三層神經網絡來構建預測模型，如圖4所示，圖中x1～x5分別表示弦桿直徑、斜腹桿直徑、拉索直徑、中心桿直徑和豎桿直徑，f1和m分別表示結構的一階固有頻率及質量.5個變量的取值范圍分別為:x1=6，7，…，14 mm;x2=6，7，…，14 mm;x3=1.5，2，…，5.5 mm;x4=10，11，…，18 mm;x5=6，7，…，14 mm.各桿件的壁厚均為1 mm.

圖4 神經網絡預測模型

2.3 訓練樣本的確定

訓練數據的準備工作是網絡設計與訓練的基礎，數據選擇的科學合理性以及數據表示的合理性對于網絡設計具有極為重要的影響[10].本文中5個因素各有9個水平，取其中的5個水平作為訓練樣本，若進行全面試驗，需要做55=3 125次試驗，顯然工作量是很龐大的，且需要花費大量的時間.為了保證訓練樣本能夠具有一定的遍歷性、致密性和容錯性，本文采用正交試驗設計方法，它能有效處理這種多因素多水平試驗，它是利用正交表科學地安排與分析多因素試驗的方法，能夠大幅度減少試驗次數而且不會降低試驗可行度.

正交表具有兩個重要性質[12]:

1)每一列中，不同的數字出現的次數相等.

2)在任意兩列中，將同一行的兩個數字看成有序數對時，每種數對出現的次數是相等的.

以上兩點充分體現了正交表的兩大優越性，即“均勻分散，整齊可比”.

試驗的因素及其水平值見表1.

表1 試驗因素和水平

根據試驗的因素數和水平數，選用L25(56)正交表安排試驗方案，共得到25組樣本，如表2所示.

表2 正交試驗設計

2.4 網絡參數的確定

按照背架的幾何模型，編寫ANSYS軟件的有限元程序，分別計算每組試驗方案下的一階固有頻率和質量，將這些輸入輸出參數作為神經網絡的訓練樣本.由于BP神經網絡的訓練過程比較復雜，本文運用MATLAB軟件進行求解，在軟件中編寫該預測模型的算法程序，設置訓練誤差為0.001，為保證建立的網絡模型具有較好的預測精度，應在訓練過程中著重注意網絡的收斂性.

影響BP神經網絡收斂性的主要環節有最大訓練步數、訓練算法和隱層節點數等.

最大訓練步數決定了訓練空間的大小.當誤差滿足規定要求時，即使未達到最大步數也將停止訓練，返回訓練結果;反之，即使網絡本身具有收斂性，但由于最大步數設置過小，訓練在達到最大步數時也將被迫停止.因此通常應給定足夠大的訓練步數.

訓練算法對網絡的收斂速度有較大影響，通常的算法有標準BP算法、帶動量的梯度下降算法、學習速率可變算法和L－M(Levenberg－Marquardt)算法等.L－M算法是建立在一種優化方法基礎上的訓練算法，與其它算法相比，L－M算法優點在于網絡權值數目較少時收斂非常迅速.因此本文采用這種算法來訓練網絡.

隱層節點數通常會對訓練誤差、訓練時間和泛化能力等產生較大影響.隱層節點數過少時，學習的容量有限，網絡難以描述樣本中蘊含的復雜關系;而過多的隱層節點不僅增加了訓練時間，還可能把樣本中非規律性的內容存儲起來，出現過擬合的現象.一般采取的方法是試湊法.

在對來自實際數據的樣本進行預測時，樣本具有很大的隨機性和不均勻性，這就對BP網絡提出了更高的要求.首先，在建立網絡時應盡可能地選取更多的樣本，力求樣本中包含更多的內在規律;其次，在確定訓練算法和隱層節點數時，應嘗試參數的不同組合，多次的試算，建立相對滿意的網絡模型.

綜上，經多次反復的訓練，當傳遞函數分別采用Sigmoid函數和線性函數，訓練算法采用L－M算法，隱層節點數采用16個時構成的神經網絡輸出誤差最小，此時網絡的結構為5－16－2.經過15次訓練誤差達到0.000 14＜0.001，滿足要求，誤差曲線如圖5所示.

圖5 誤差曲線

3 泛化能力檢驗及結果分析

訓練后的神經網絡是否具有實際意義及應用價值，主要看其是否具有良好的泛化能力，即對訓練樣本以外的樣本是否能夠做出較準確的預測.在輸入變量的整個取值范圍內將其隨機組合，選取其中的10組作為檢驗樣本，用檢驗樣本對訓練好的神經網絡進行泛化能力測試，得到頻率和質量的預測值，將二者分別與有限元數值模擬結果進行對比，如表3所示.

表3 網絡預測結果與有限元結果對比

由表3可見，在對一階固有頻率進行預測時，除第3個和第10個樣本的預測誤差較大外，其余各樣本的誤差準確率都在90.48%以上;神經網絡對質量的預測能力好于對一階固有頻率的預測能力，除第5個樣本的預測誤差較大外，整體的預測準確率達到92.75%以上，可見該預測模型能夠較真實地反映設計變量與目標函數之間的映射關系.

在Pentium(R)D CPU3.0 GHz，2 GB 內存的計算機上進行運算，用ANSYS計算10個檢驗樣本的時間約為700 s，而用本文提出的方法僅需0.13 s，可見BP神經網絡模型的運行時間短，效率高.另外，在后續的結構優化階段，該網絡模型可以很方便地被 MATLAB、Isight等軟件進行調用.

4 結論

1)采用正交試驗設計的方法確定訓練樣本，可以保證數據選取的合理性，并減少試驗次數.

2)通過對模型的泛化能力檢驗，發現該模型對一階固有頻率的預測能力要略差于對質量的預測，但二者的預測結果都比較理想.

3)泛化能力檢驗結果表明:訓練好的神經網絡對一階固有頻率和質量的預測精度較高，泛化能力強，該方法為結構參數的優化提供了理論基礎.

4)在實際工程應用中，采用訓練好的BP神經網絡對結構參數進行預測具有預測精度高、預測速度快、預測范圍廣等突出特點，同時MATLAB等軟件提供了計算函數和友好的工具箱等便利的使用平臺，使得BP神經網絡具有很強的可操作性，大大地方便了科研人員的使用.

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