鍵合圖理論在三軸差動機構效率分析中的應用

李慶凱，唐德威，姜生元，鄧宗全

(哈爾濱工業大學 機器人技術與系統國家重點實驗室，150001哈爾濱，dwtang@hit.edu.cn)

因此三軸差動機構的效率為

當輪式管道機器人通過彎管時，由于各驅動輪走過的實際弧長不同，某些驅動輪成為事實上的制動輪而使機器人產生運動干涉，從而降低了機器人的有效拖動力和加劇了傳動部件的磨損.為解決這一問題，將三軸差動機構應用于輪式管道機器人中，各驅動輪可通過三軸差動機構根據管道形狀自動調節其轉速，有效地解決了輪式管道機器人通過彎管時的產生的運動干涉問題[1].由于三軸差動機構的傳動關系較為復雜，其機械效率是評估該機構能否在工程實際中應用的一項重要指標，需要從理論上對該機構進行效率的分析.而輪系的功率流情況是進行效率分析的基礎.目前對輪系進行功率流分析時，一般采用離散法對輪系的功率流進行判別[2－3]，但此方法在應用上，需要以人工方式判斷功率傳遞的方向，判別過程較為繁瑣，容易發生錯誤，不適用于較為復雜的輪系的功率流分析.

鍵合圖(Bond Graph)理論是20世紀60年代初由美國的H.M.Paynter教授所提出的系統動力學建模統一化方法[4]，經多年的研究及發展[5－10]，已得到了實際應用[11－12].

本文利用鍵合圖功率流動的特點，將鍵合圖理論應用到三軸差動機構功率流的分析中，以得到的三軸差動機構的功率流情況為基礎，對三軸差動機構的力矩傳遞特性進行分析及效率計算.

1 三軸差動機構原理簡介

三軸差動機構是一個3自由度機構，由空間分布的4個普通圓錐齒輪差速器按一定關系組成，其傳動原理如圖1所示.右側3個稱為主差速器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，左側一個稱為分動器Ⅳ，其中主差速器Ⅲ通過惰輪ID與分動器Ⅳ系桿軸H4的直齒輪相嚙合.由主輸入齒輪A0輸入主運動ωA0，由3個差速器的系桿軸H1、H2 和H3 輸出運動 ωH1、ωH2、ωH3.

圖1 三軸差動機構原理圖[1]

該機構具有由1個輸入運動獲得3路差動輸出運動的功能，且當輸入轉速一定時，3個輸出軸的轉速比決定于外部環境的幾何約束關系，有

在不考慮功率損失的前提下，三軸差動機構3個輸出軸的輸出轉矩相等且為輸入轉矩的三分之二，即

2 三軸差動機構的鍵合圖模型

2.1 主差速器的鍵合圖模型的建立

主差速器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ及分動器Ⅳ形式一致，均屬于2K－H行星輪系，以主差速器Ⅰ為例進行鍵合圖模型建立過程的說明.如圖1所示，主差速器Ⅰ有系桿軸H1、行星輪C1、中心輪A1和B1這4個基本構件，其轉速分別為 ωH1、ωC1、ωA1和 ωB1，則其轉速關系為

由式(3)得到兩個相對速度(ωA1－ωH1)和(ωB1－ ωH1)，結合4個絕對速度ωH1、ωC1、ωA1和ωB1，可按絕對速度法建立主差速器Ⅰ的鍵合圖模型.

1)對4個構件的絕對速度和2個相對速度建立相應的1結;2)在相應的1結之間鍵間TF元和0結，用以建立相關速度之間的關系，并根據速度之間的關系標注功率流向;3)將模擬轉動慣量的慣性元件鍵接在相應的1結上;4)對建立的鍵合圖模型標注合適的因果關系.

在不考慮傳動功率損失的前提下，建立的主差速器Ⅰ的鍵合圖模型如圖2所示，圖中IH1、IA1、IB1、IC1為 4 個基本構件的轉動慣量，TH1、TA1、TB1為 3 個絕對速度 ωH1、ωA1、ωB1為對應的勢變量，變換器TF1=TF2=1.

圖2 主差速器Ⅰ的鍵合圖模型

從式(4)可知主差速器Ⅰ的鍵合圖模型滿足差速器的基本關系.主差速器Ⅱ、Ⅲ與分動器Ⅳ的鍵合圖模型與主差速器Ⅰ的鍵合圖模型形式一致，只是慣性元件的參數不同而已.

從圖2可以得到主差速器Ⅰ的靜態關系為

2.2 三軸差動機構鍵合圖模型的建立

根據圖1所示的三軸差動機構的傳動原理，在主差速器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ與分動器Ⅳ之間鍵入相應的變換器TF、慣性元件I及容性元件C，將這4個基本單元相連接;當管道機器人在彎管內勻速運行時，驅動輪的速度受到管道環境的約束，因此在系桿軸 H1、H2、H3 處添加相應的流源 Sf1、Sf2、Sf3作為速度約束;動力由輸入齒輪A0提供，因而在輸入端添加一個勢源Se0作為動力輸入源;由于3個主差速器的功能形式一致，因此只需對主差速器Ⅰ進行單獨標號，建立的三軸差動機構的鍵合圖模型如圖3所示.經驗證該鍵合圖的靜態關系滿足式(1)和(2).同時為便于仿真計算，將三軸差動機構的鍵合圖用虛線劃分為3個主差速器、分動器以及動力輸入5個模塊.

圖3 三軸差動機構的鍵合圖模型

圖3中IID為惰輪ID的轉動慣量;IA0為主輸入齒輪A0的轉動慣量;IH4、IC4、IA4和IB4分別為分動器Ⅳ的系桿軸H4、行星輪C4、中心輪A4和B4的轉動慣量，相應位置的主差速器Ⅱ、Ⅲ的慣性元件與主差速器Ⅰ的慣性元件一一對應.容性元件 CH1、CH2、CH3、CH4為系桿軸 H1、H2、H3、H4 扭轉剛度的倒數;在建立鍵合圖模型時，有時為了順利地實現因果關系的劃分，在不影響系統原理的前提下，可在相應的圖元之間添加一個0結和剛度很大的容性元件C0，從而改變相應鍵的因果關系，如主差速器Ⅰ中與鍵16、21及另外兩個主差速器對應鍵相連接的容性元件;由于齒輪之間的嚙合剛度較大，因此可忽略其柔度并將其作為剛性傳動考慮.

3 鍵合圖模型的仿真

3.1 鍵合仿真模型的建立

鍵合圖模型可以很方便地轉換為控制工程領域中用來表示信號流的方塊圖，而方塊圖可以使用現有控制工程理論求解且可利用Simulink進行仿真計算.根據圖3中劃分的各個模塊，建立相應的方塊圖，并將各模塊相連利用Simulink進行仿真計算，如圖4所示.

由于建立的鍵合圖模型考慮了扭轉剛度，因此該仿真模型屬于剛性系統，采用ode23tb的積分方法進行求解.通過改變速度輸入源Sf1、Sf2和Sf3之間的大小關系進行仿真，即可得到三軸差動機構在不同工況下的功率流情況.

圖4 三軸差動機構的Simulink仿真模型

從三軸差動機構鍵合圖建立及求解的過程可以看出，只要已知任意復雜輪系的傳動關系，就可以建立該輪系的鍵合圖模型進行仿真計算，而且模型的參數修改較為方便.

3.2 三軸差動機構的功率流

由于從鍵合圖可以得到任一所關心的變量以及鍵合圖各構件之間功率傳遞的特點，可以通過鍵合圖模型的求解對主差速器與分動器之間的功率流向，以及各單元轉換機構的功率流向進行判別.

以主差速器Ⅰ與分動器的連接鍵18為例，當e18·f18＞0時，功率由主差速器Ⅰ流向分動器;當e18·f18＜0時，功率由分動器Ⅳ流向主差速器Ⅰ;當e18·f18=0時，由主差速器Ⅰ與分動器之間無功率流動.另外需要對主差速器及分動器的轉換機構的功率流向進行判別.以主差速器Ⅰ為例進行說明，當TH1·(ωA1－ωH1)＞0時，在轉換機構中功率由中心輪A1流向中心輪B1;當TH1·(ωA1－ωH1)＜0時，在轉換機構中功率由中心輪B1流向中心輪A1;當TH1·(ωA1－ωH1)=0時，轉換機構中無功率流動，即主差速器Ⅰ不差動.

由于主差速器Ⅰ、Ⅱ形式和分動器間的傳動路線一致，因此系桿轉速ωH1和ωH2地位相同，當3個輸出轉速不全相等且不等于輸入轉速的一半時，可將速度輸入分為以下幾種情況:

1)ωH1≥ ωH2＞ 0.5ωA0＞ ωH3，

2)ωH1＞ 0.5ωA0＞ ωH2≥ ωH3，

3)ωH1≥ ωH3＞ 0.5ωA0＞ ωH2，

4)ωH1＞ 0.5ωA0＞ ωH3≥ ωH2，

5)ωH3≥ ωH1＞ 0.5ωA0＞ ωH2，

6)ωH3＞ 0.5ωA0＞ ωH1≥ ωH2.

通過仿真可得各種速度約束下三軸差動機構的功率流情況，如圖5所示.圖中三軸差動機構的基本構件用“●”來表示，主差速器及分動器分別由4個“●”組成一個單元，圖中實線表示構件之間的功率傳遞，虛線表示主差速器及分動器的轉換機構中功率的流動情況，箭頭表示功率的流動方向.其中工況2)和4)的功率流一致，3)和5)的功率流一致.

另外，當ωH2＞ωH1時，分動器轉換機構中功率由A4流向B4;當ωH2=ωH1時，分動器轉換機構中無功率流動.當3個輸出轉速有1個轉速等于輸入轉速的一半時，該轉速對應的主差速器與分動器間無功率流動;當3個輸出轉速相等時，分動器無功率輸入，即分動器不工作，相當于機器人在直管中運行.

通過對三軸差動機構不同速度約束下的功率流情況進行分析，根據的得出的功率流圖，可知該機構屬于功率匯流型，無循環功率存在，不存在自鎖的可能性.

4 效率計算

在得到三軸差動機構各差速器間的功率流向及各差速器轉換機構的功率流向后，便可進行三軸差動機構的力矩特性分析，從而對三軸差動機構的效率進行計算.由于受篇幅限制，只對圖5(a)的功率流情況進行效率分析.

圖5 不同速度約束下的三軸差動機構的功率流圖

對動力輸入齒輪A0進行受力分析，可得

式中:TA0為主輸入齒輪A0的輸入力矩;T'Ai為差速器內部對中心齒輪Ai的作用力矩，其中i=1，2，3;TAi為差速器外部對中心齒輪Ai的作用力矩，其中i=1，2，3，且=－TAi;i0為初級傳動比，i0=－1;η0為單對直齒輪的傳動效率.

對3個主差速器及分動器有力矩平衡關系為

式中:TAi為差速器外部對中心齒輪Ai的作用力矩;TBi為差速器外部對中心齒輪Bi的作用力矩;THi為差速器外部對系桿Hi的作用力矩，其中i=1，2，3，4.

根據功率流圖5(a)，可得主差速器與分動器間的力矩傳遞關系

式中:iA4－B1、iB4－B2、iB3－H4為差速器間齒輪的傳動比，其中 iA4－B1=iB4－B2= － 1，iB3－H4=2.

根據主差速器與分動器轉換機構的功率流向，得

聯立式(5)～(8)可得三軸差動機構輸出力矩與輸入力矩的關系

從式(9)可以得出三軸差動機構的輸出力矩近似相等，約為輸入力矩的2/3.

當ωH1≥ωH2＞0.5ωA0＞ ωH3，假設3個輸出軸的速比關系為ωH1∶ωH2∶ωH3=1∶λ1∶λ2，聯立式(1)可得3個輸出軸的轉速

從式(10)可以看出，三軸差動機構的效率與輸出轉速的速比、轉換機構的傳動效率和單對直齒輪的傳動效率有關.

因此三軸差動機構的效率為

5 結論

1)將鍵合圖理論成功應用于復雜輪系的功率流分析，該理論可作為復雜輪系功率流分析的一種新的方法，比傳統方法更具系統性，便于使用計算機進行求解.

2)利用絕對速度法建立了三軸差動機構的鍵合圖模型，并根據相應的轉換規則對該模型進行了仿真求解.

3)通過仿真可以得到三軸差動機構在不同速度約束下的內部功率流，以及主差速器和分動器轉換機構的功率流情況，得出了三軸差動機構屬于功率匯流型機構的結論.

4)在求得三軸差動機構功率流的基礎上，對該機構的力矩傳遞特性進行了分析，并對三軸差動機構進行了效率計算，為其推廣和應用奠定了基礎.

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