數學思想在地球運動類試題教學中的應用舉隅

浙江省金華第一中學（321015） 王洋平

自從公元前二世紀古希臘地理學家兼天文學家埃拉托色尼用幾何學的方法計算地球的周長，奠定了數理地理的初步基礎開始，就昭示著地理與數學的不解之緣。數學作為基本的問題解決工具，在中學地理教學中有著獨特的作用，其結果的定量使得很多地理結論有了事實的依據和明確的數據。地球運動類試題一直是教學中的一大重難點，也是復習教學的重頭戲。本文就結合地球運動類試題，談談一些基本數學思想在實際教學中的具體應用。

一、代數方程思想

例1（2010·浙江文綜·6）讀圖1，某經線上有一點M，虛線為過M點地面垂直線，L1、L2分別是二至日正午太陽光線。當角α、β之差小于6°時，M點的緯度范圍是

A．3°N～3°S

B．6°N～17.5°N

C．3°N～17.5°N或3°S～17.5°S

D．17.5°S～23.5°S或17.5°N～23.5°N

參考答案：A

1. 應用代數方程步驟如下

根據材料和圖像可作圖2（作M地平線m），可知∠1=90°-α、∠2=90°-β，因此α-β=∠2-∠1，另據材料可知∣∠1-∠2∣=∣αβ∣，即兩者差值絕對值小于6°。設該地緯度為X，則有下列方程組：

X+23.5°=90°-∠1 ........ (1)

23.5°- X=90°-∠2 ........ (2)

(1)- (2)可得

2X=∣∠1-∠2∣=（0,6）……即0可取而6不可取，得知X=（0,3），即緯度范圍為3°N～3°S。

2. 應用過程探析

圖1

圖2

分析和求解問題時，由描述的地理情景或題給條件，根據地理概念和地理規律，從時間關系、空間關系以及相關地理事物之間的數值關系等，建立方程（組），這是該類問題解決的基本策略。方程組的最終確立需要借助于地理原理，即用數學方程（組）的形式把地理原理進行定量表達，使地理結論更加明確和清晰，如方程(1)的確立就是建立于地理原理——兩地緯度差即為兩地正午太陽高度差。而最終結論的呈現，則只要把方程組簡單的解出即可。這樣使問題解決過程更加定量化，學生的模仿更加“有路可走”。

二、幾何圖形思想

例2（2010·金華模擬·9）圖3弧S為某局部經線圈， M、N兩地緯度相同，O為該經線圈圓心，某日太陽光與S位于同一平面且相切于M。此日M地的正午太陽高度為

A.0° B. α

C.90°—α D. 23.5°+α

參考答案：B

1. 應用幾何圖形步驟如下

依據所給可知，M、N兩地緯度相同即兩點中間有極點，而要尋求的就是α與該地正午太陽高度角之間的關聯。根據同一緯度、同一經線圈的兩點同時接受太陽，說明該地出現極晝，即分別為0點和12點時的太陽光線圖。這是采用什么樣幾何圖形的決策基礎。

第一步：先用幾何圖像表示出兩地的太陽高度，作M、N兩地的地平線，相交于P（如圖4）。

第二步：則有α+∠1+∠2+∠MPN=360°（四邊形內角之和為360°）。

圖3

圖4

∠1+∠2=90°（兩角皆為地平線和球半徑的夾角），所以有α+∠MPN=180°。

第三步：∠3+∠MPN=180°（兩角相鄰為互補角），所以有α=∠3 。

第四步：∠3=∠4（兩角為平行光線上的同位角），所以有α=∠4。

而根據太陽光與S位于同一平面且相切于M可知，M所在緯度是剛好出現極晝的緯度，而此時N即為正午12點，所以N地的太陽高度（圖示∠4）即為M地的正午太陽高度。可知答案為B。

2. 應用過程探析

幾何圖形思想是指在對地理現象做出分析的基礎上，通過反映題給條件或相關情景的幾何圖形（如題中四邊形OMPN、太陽光線構成的一組平行線），應用地理規律（如題中地平線與球半徑的夾角為直角、太陽光線是平行光等）和數學知識（如題中四邊形內角和為360°、同位角相等等）求解地理問題的方法。地球運動中凡涉及空間的問題都多少與幾何知識有關，諸如正午太陽高度、零時太陽高度、平行入射的太陽光線、緯度及緯度差、經線及經度差、自轉和公轉軌道圖等都可以用幾何圖形表示，平時教學中也要多為學生用幾何圖形來表達相應的地理概念，為學生建立比較好的空間想象力，同時恰當的利用幾何圖像相關原理建立和佐證地理數據的不同相關性，這樣為學生在解題和應用的遷移打下很好基礎。

三、假設猜測思想

例3（2010·浙江模擬·9）圖5中圓弧代表赤道，O為中心點，其中甲乙兩點位于赤道，箭頭代表地球自轉方向。其中甲地兩側日期不同，乙地兩側晝夜情況不同。此時北京時間可能為

A．2：00 B． 8：00 C．18：00 D．22：00

參考答案：C

1. 假設猜測步驟如下

根據題中所給可知，甲是日界線與赤道交點，乙是晨昏線與赤道交點，但不管是晨昏線還是日界線均有兩條，但也只是各有兩條，所以假設猜測如下：

(1) 設乙為昏線與赤道交點，則乙地方時為18點。

(2) 設乙為晨線與赤道交點，則乙地方時為6點。

(3) 設甲為國際日期變更線與赤道交點，則甲位于180°附近。

圖5

(4) 設甲為昨天和今天交界線（即地方時為零點）與赤道交點，則甲地方時為0點。

上述的四種可能猜測中，根據甲在乙西側120°可知甲地方時必小于乙8小時，所以如果甲地地方時為0點，則乙地方時為8點，均不符合(1) (2)兩種對乙的假設，所以甲只能是符合(3)類假設，可知甲位于180°，而乙可以是上述的(1) (2)假設，可知甲(180°)地方時為10點或22點，所以北京時間即東八區為6點或者18點。

2. 應用過程探析

在試題給出的信息不是完全充分的情況下，特別是在結論有多種可能性時，虛設猜測思想是非常好的策略。假設猜測思想在數學中非常常見，即具體就是按給出的情景假設多種可能，最終在數學原則或者地理原理下進行對假設猜測的否定。一般否定原則來自于常見的地理概念、原理和現象，或者是題中所給條件（如上題甲乙夾角為120°）。應該說地理中廣泛的用到假設猜測，如魏格納的大陸漂移學說等。同時假設猜測可以拓展學生思維，同時也是一種很好的解決問題策略。平時教學中也要給學生充分的展示空間和假想猜測時間，不要急著給學生明白直接的答案。

四、輔助圖像思想

例4（2010·全國卷Ⅰ·9）假設從空中R點看到地表的緯線m和晨昏線n，如圖6所示。R點在地表的垂直投影為S，則S地的緯度

圖6

A. 與M地相同 B. 介于M、N兩地之間

C. 高于N地 D. 低于M地

參考答案：D

1. 輔助作圖步驟如下

第一步：根據圖像，畫出一個符合題給圖像的緯線m和晨昏線n分布圖（如圖7）。

第二步：尋找空中俯視點R。根據看到的緯線為直線，可知空中俯視點R應是緯線m的延長線上（即圖7中的R點，當然也可在左邊）。

第三步：尋找R點在地表的垂直投影S。垂直投影即為R點與地心的連線與地表的交點（圖7中的S點）。

作圖完成后，即可發現S點的緯度是低于M地。這樣通過簡單添加輔助線和復原完整圖像的過程，解決問題與無形中。

圖7

2. 應用過程探析

近幾年高考中，局部圖像是該類試題出現的基本載體，因此，在實際解題中，能更好的得到成像視角，恢復成完整圖像是作輔助圖的基本步驟，也是最主要的一步。該類圖像的一般成像視角是側視和俯視兩種，所以高考類圖像十之八九不會離開這兩類母圖。作輔助圖像時，還需要根據試題實際，根據地理原理，作出符合要求的輔助線或者添加陰影，從而通過作圖來探討圖中各要素之間的相互關系，或者直接得出結論。

綜上所述的四類數學思想應為幾乎所有的高中學生所具備的，這為其具體應用作了很好的鋪墊。同時地球運動類試題，因其難度而困倒不少高三文科學生，特別是針對文科類學生普遍缺乏數學知識和空間想象能力，導致在實際解題和理解該類現象時，遇到不少障礙。因此，在地球運動知識的教學中，特別是高三的復習教學中，需要針對該類知識進行有效的數學思想滲透，多運用數學語言和數學方法表述地球運動知識和圖像，以便更好的讓數學思想、方法為地理服務。