非線性“Good”Boussinesq方程的顯式多辛格式

黃浪揚

（華僑大學數學科學學院，福建泉州362021）

非線性“Good”Boussinesq方程的顯式多辛格式

黃浪揚

（華僑大學數學科學學院，福建泉州362021）

對非線性“Good”Boussinesq方程的一個多辛方程組進行數值離散，導出方程的離散多辛守恒律，得到一個與此數值離散方法等價的，新的7點顯式多辛格式.通過孤立波的數值模擬試驗表明，所構造格式既能很好地模擬單孤立波運動的波形，又能很好地模擬雙孤立波的碰撞過程，可有效地模擬原孤立波的時間演化，具有長時間的數值穩定性.

非線性“Good”Boussinesq方程；多辛方程組；顯式多辛格式；多辛守恒律；孤立波試驗

近年來，多辛數值方法的研究［1－3］受到了廣泛的重視，它涉及了流體力學、量子力學、結構力學等許多研究領域.文［4］構造了非線性“Good”Boussinesq方程的一個隱式的15點多辛Preissmann格式.本文進一步提出此方程的一個新的7點顯式多辛格式.

1 多辛方程組形式

考慮滿足周期邊界條件的非線性“Good”Boussinesq方程utt＝－uxxxx＋uxx＋（G′（u））xx.（1）式（1）中，G（u）：R→R是某個非線性光滑函數.根據文［1］引入的多辛積分的概念，引入正則動量v＝ux，ut＝px，wx＝p，則式（1）可改寫成多辛方程組的形式，有

對變分方程組（3）兩邊與d z作外積運算，可得重要的多辛守恒律為

式（4）中，Λ為外積算子.求解多辛方程組（2）的數值方法，可表示為

式（5）中，zi，j＝z（xi，tj）＝z（i·h，j·τ），h和τ分別是空間步長和時間步長，?i，jt，?i，jx分別為算子?t，?x的離散.Bridges等［1］稱能保持多辛守恒律（5）的離散形式的格式為多辛格式.

2 顯式多辛格式

首先考察一些差分算子的性質［3］.定義向前差分算子Dtfj＝（fj＋1－fj）／τ，Dxfi＝（fi＋1－fi）／h，易得推廣的Leibniz法則，有

以上性質對t方向也成立，只要算符運算是雙線性的，離散的Leibniz法則就成立.例如外積運算，此時f，g是一形式.

對多辛方程組（2）的分量形式進行離散，可得到其離散格式，有

定理1 格式（8）是多辛格式，它滿足離散多辛守恒律

證明 式（8）對應的變分方程組為

用d uji外積式（10）的第1個方程，可得

3 數值例子

取G（u）＝u3／3，則非線性“Good”Boussinesq方程（1）的精確孤立波解為

對于非線性“Good”Boussinesq方程的顯式多辛格式，采取在有限區域I＝（XL，XR）上設置人工邊界和周期邊界條件的方法進行數值模擬.即對人工邊界XL和XR取得足夠遠，以滿足周期邊界條件.由于格式（15）是三層格式，所以為簡便起見，格式初始時的第1層和第2層的值均取精確值.

3.1 單孤立波的模擬

在孤立波解式（16）中，取振幅A為0.5，初相ξ0為0，且XL＝－50，XR＝50，時間步長τ為0.01，空間步長h為0.5.顯式多辛格式（15）在t∈［0，100］時，單孤立波傳播的模擬結果如圖1所示.

3.2 同向雙孤立波的模擬

在孤立波解式（16）中，取兩個不同振幅、不同初相的孤立波分別進行數值模擬試驗.當振幅A分別為1，0.25，相應的初相ξ0分別為－60，－80，此時XL＝－100，XR＝100，時間步長τ為0.01，空間步長h為0.5.顯式多辛格式（15）模擬雙孤立波同向傳播時，其碰撞分離的模擬結果如圖2所示.

圖2 雙孤立波的碰撞過程Fig.2 Collision process of two solitons

圖1 單孤立波的傳播Fig.1 Propagation of soliton

4 結論

由圖1（數值模擬試驗均計算10 000步，下同）可知，顯式多辛格式（15）能很好地模擬單孤立波運動的波形，不出現振蕩現象.由圖2可知，顯式多辛格式（15）同樣能夠很好地模擬雙孤立波的碰撞過程，碰撞后，兩個孤立子保持原來的形狀及速度傳播，好象碰撞沒有發生過似的.

由此可見，所構造的顯式多辛格式能夠成功、有效地模擬原孤立波的時間演化，具有長時間的數值穩定性.由于多辛格式（15）是顯式的，因此計算量比隱式的15點多辛Preissmann格式大大減小，數值模擬結果與理論相符.

［1］ BRIDGES T J，REICH S.Multi－symplectic integrators：Numerical schemes for Hamiltonian PDEs that conserve symplecticity［J］.Physics Letter（A），2001，284（4－5）：184－193.

［2］ 黃浪揚.廣義Pochhammer－Chree方程的多辛Fourier擬譜格式及孤立波試驗［J］.華僑大學學報：自然科學版，2008，29（3）：468－471.

［3］ 王雨順，王斌，秦孟兆.偏微分方程的局部保結構算法［J］.中國科學：A輯，2008，38（4）：377－397.

［4］ 曾文平，黃浪揚，秦孟兆.“Good”Boussinesq方程的多辛算法［J］.應用數學和力學，2002，23（7）：743－748.

Explicit Multi－Symplectic Scheme for Nonlinear“Good”Boussinesq Equation

HUANG Lang－yang
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

By discretizing the multi－symplectic systems of the nonlinear“Good”Boussinesq equation，we have derived the discretized multi－symplectic conservation laws.A new seven－point explicit multi－symplectic scheme which is equivalent to the discretized method is obtained.It is showen that the scheme constructed in this paper has excellent long－time numerical behavier by numerical experiments.

nonlinear“Good”Boussinesq equation；multi－symplectic systems；explicit multi－symplectic scheme；multisymplectic conservation laws；solitary wave experiments

O 241.82

A

（責任編輯：陳志賢 英文審校：張金順，黃心中）

1000－5013（2011）01－0100－03

2009－04－11

黃浪揚（1974－），男，副教授，主要從事偏微分方程數值解法的研究.E－mail：hly6＠163.com.

國家自然科學基金資助項目（10901074）；福建省自然科學基金資助項目（Z0511029）