均勻圓陣多寬帶LFM信號的二維DOA估計

李 昕， 辛元芳

（安徽理工大學 電氣與信息工程學院，安徽 淮南 232001）

0 引言

隨著寬帶線性調頻（LFM）信號在雷達目標檢測、通信對抗等領域的廣泛應用，LFM 信號的波達方向（DOA）估計成為陣列信號處理研究的前沿課題。分數階傅里葉變換（FRFT）對LFM信號具有能量聚焦特性，用FRFT對LFM信號 DOA估計不存在交叉項干擾和較高的精度[1-3]。基于FRFT的LFM信號的時頻空算法DOA估計成為新熱點。

傳統 DOA估計針對的是非相干窄帶信號，如傳統的MUSIC、ESPRIT算法及改進[4-6]。而對于寬帶相干信號，傳統算法性能會急劇下降，文獻[7-8]針對相干信號的DOA估計進行了研究，但仍是基于相干窄帶信號的DOA估計。文獻[9]將窄帶空時頻分布(STFD)的求根-MUSIC算法推廣到均勻線陣寬帶相干信號的DOA估計。目前寬帶LFM信號源的DOA估計算法主要是針對均勻線陣（ULA）的，如文獻[1-2]是針對均勻線陣對寬帶LFM信號的DOA高分辨估計，文獻[3]針對均勻線陣結合Toeplitz矩陣重構法，對寬帶LFM相干DOA估計。但是現實使用的天線陣以均勻圓陣較多，第三代移動通信基站系統中主要使用的就是均勻圓陣（UCA）接收天線[5]。均勻圓陣可以同時估計信號的方位角和俯仰角，在陣元數不少于8個時均勻圓陣可以提供360度的無模糊方位角，且在各方向上有相同方向特性。而均勻線陣只能提供180度的方位角，對信號的估計只是一維的方位角，對二維的DOA估計無能為力[10-11]。

針對均勻圓陣，利用FRFT對LFM信號聚焦能力，將觀測信號變換為FRFT域的一系列平穩單頻信號，在FRFT域建立陣列信號模型，應用MUSIC算法實現多個寬帶LFM信號源的DOA估計。

1 均勻圓陣陣列模型

均勻圓陣由N個全向天線組成，均勻分布在平面內半徑為r的圓周上，空間關系以球坐標系定義，圓周中心為接收天線的參考點，如圖1所示。在高斯白噪聲環境背景下，假設Q個遠場互不相關的寬帶LFM信號入射到均勻圓陣，方位角和俯仰角分別為φq和θq(q = 1 ,2,… ,Q )，則在均勻圓陣中第i個陣元接收到的信號為：

式中， sq(t)為第q個LFM信號，fq和μq分為第q個LFM信號的初始頻率和調頻率；τiq為路徑延時；c為光速；ni(t)為高斯白噪聲。

圖1 均勻圓陣示意

2 二維DOA估計

信號 x (t)的分數階傅里葉變換基本定義式：

式中p為FRFT階次， α = pπ/2為p階FRFT域相對時域的逆時針旋轉角度， Fp是 FRFT算子。實際應用中一般采用運算量與FFT相當的分解型FRFT快速算法。

對于參考陣元接收到的第q個LFM信號 sq(t)，將其以fs采樣頻率進行離散化為：

則其離散分數階傅里葉變換為：

根據 FRFT對 LFM 的能量聚集性，顯然在 α =αq0，m=mq0， Sq( αq0,mq0)出現峰值。

同樣，對于第i個陣元接收到的第q個 LFM 信號為si,q( t) = sq( t -τi,q)，顯然第i個陣元相對參考陣元接收到的第q個LFM信號僅是產生了一個時延，而LFM信號延時后并不改變調頻率，因此 si,q(t)離散化后的DFRFT Si,q(α,m)同樣會在αq0處有最佳的能量聚集，其峰值出現的位置：mi,q= mq0+ fsτi,qcosαq0，幅度大小 Si,q( αq0, mi,q) = Aq( τi,q)?，Sq( αq0, mq0)反映了LFM信號延時后在FRFT域僅出現峰值位置和幅度的變化。由于時延τi,q二次項很小，可忽略不計，所以

由以上分析可知，由于LFM信號的FRFT是一種線性變換，所以對于同一個陣元接收到Q個LFM信號的疊加，會在FRFT域出現Q個峰值；不同陣元接收到的Q個信號，會在對應Q個相同階次的FRFT域上出現明顯能量聚集，僅是峰值出現的位置不同。因此可以通過選取峰值，實現具有不同時頻特性的LFM信號，變換為FRFT域的一系列平穩單頻信號，從而簡化數據。

對式（1）進行DFRFT，則第q個信號在 (αq0,mk,q)位置具有相對應的峰值點近似為：

所有陣元的空間時頻輸出用向量表示，得到FRFT的空間時頻分布數據模型：

根據以上模型，顯然由于 Aq( τi,q)為第q個信號的FRFT方向向量，其值僅與時延τi,q有關，即僅與第q個信號俯仰角φq和方位角θq有關，且是時不變的，因此可以利用MUSIC算法進行DOA估計。

根據以上分析，可以給出針對均勻圓陣的FRFT-MUSIC算法的計算方法：

①對參考陣元上接收到的信號進行FRFT變換，并進行二維峰值搜索，得到 Q個 LFM 信號出現峰值的坐標

②計算各個陣元接收信號關于{(αq0)}Qq=1的FRFT變換，并得到峰值位置{(mi,q)}，由式（4）得空間時頻輸出向量X；

③計算相關矩陣 RXX=XXH，并對 RXX進行特征值分解，由小特征值對應的向量構成噪聲子空間 UN；

④遍歷θ和φ角，根據 MUSIC算法P(θq,φq)=得到LFM信號的FRFT-MUSIC空間譜估計，并進行二維峰值即搜索可得到θq和φq。

⑤當存在多個LFM信號時，重復④，即可得到各個信號的DOA估計。

3 仿真實驗結果

Q=2個遠場 LFM 信號，初始頻率和調頻率分別為f1= 9 MHz和μ1=-6 ×1 011Hz/s，f2= 1 2MHz和μ=1×1012Hz/s，入射角分別為 ( θ1,φ1) = (60°，170°)，(θ2,φ2)=(20°，50°)。采樣頻率為50 MHz，采樣快拍數為1 024。圖2分別給出了信噪比SNR＝10時，均勻圓陣的兩個LFM信號的MUSIC譜 P (θ,φ)。由其峰值位置可以得到兩個信號的入射角估計值分為(60.89°，170.31°)，(20.57°，50.23°)。

圖2 兩個LFM信號的二維空間譜（SNR=10）

取0～40 dB間隔5 dB的不同信噪比下各作100次獨立實驗，得到兩信號估計的均方根誤差（RMSE）與信噪比之間的關系如圖3。

圖3 RMSE隨SNR變化曲線

仿真結果表明，針對均勻圓陣所提出的基于 FRFT和MUSIC算法的方法能夠有效的對多個LFM信號的進行二維DOA估計。該方法不需要對LFM信號的初始頻率進行估計，對于多個寬帶LFM信號，也不存在交叉項的干擾，有較高的估計精度，且計算復雜度較小，適于實際工程中實現。

4 結語

針對均勻圓陣，利用LFM信號在FRFT域的聚集性，將具有不同時頻特性LFM信號的分離，變換為FRFT域的一系列平穩單頻信號，構造新的空時頻分布模型數據，并結合傳統MUSIC算法實現多個寬帶LFM信號源的DOA估計。通過仿真結果表明在低信噪比條件下能夠得到較好的估計性能。對于多寬帶 LFM 信號，不存在交叉項的干擾，計算復雜度較小，且具有較高的估計精度。

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