常用隸屬函數在圖像處理中的對比研究

孟慶柏， 賴惠成， 唐曉強

（新疆大學 信息科學與工程學院，新疆 830046）

0 引言

在圖像處理過程中，將一個三維物體映射成二維時，會丟失部分信息；在圖像處理中存在著一些模棱兩可或模糊不清的概念，如邊緣、邊界、紋理等；在低水平圖像處理的結果轉換過程中，圖像中會出現模棱兩可和模糊不清的地方，因而，圖像所具有的不確定性往往是模糊性。所以，近年來模糊集與系統理論已經被許多學者應用于圖像處理的研究中。

邊緣檢測是圖像處理、計算機視覺中最基礎的內容，也是至今仍沒有得到圓滿解決的一類問題。模糊集理論是L.A.Zadeh[1]于1965年給出的,它是描述不精確或不確定問題的一種計算工具,用于研究信息系統中認識的不完善、不準確問題。圖像所具有的不確定性往往是模糊性,自從1981年Pal和King[2]開始將模糊度理論引入圖像處理領域,模糊度理論就被廣泛應用于圖像增強、閾值選取、圖像邊緣檢測和圖像的質量評價等方面的研究。模糊邊緣檢測主要利用模糊增強技術來增強不同區域之間的對比,并使得邊緣細化,有利于準確定位邊緣,從而能夠提取出模糊的邊緣。其缺點是計算要涉及變換以及矩陣求逆等較為復雜的運算。在模糊邊緣檢測中隸屬函數的選取是十分重要的，它關系到如何將一幅圖像轉換到模糊域中。這里利用4種不同的隸屬函數去對圖像進行模糊化，將數字圖像轉換到等效的模糊特征平面上，并提取圖像的邊緣信息。

1 算法原理

1.1 數字圖像的模糊化

計算機中的數據都是以二進制數形式存儲的，圖像也不例外。圖像在計算機中存儲、讀取、識別、處理也是采用整數矩陣的形式。圖像中每一個像素點的亮暗程度都對應著整數矩陣的一個數值，即形成像素點的灰度值矩陣，整數矩陣的每一個行列對應掃描圖像時采樣點的兩個坐標，即圖像像素點的位置。如果用I[3-5]描述一幅灰度級數為L、大小為M×N的灰度圖像，其矩陣表達式為：

圖像的模糊化就是將圖像灰度矩陣轉換到模糊集中形成模糊特征矩陣，把圖像每個像素點的灰度值轉換成具有相對于某個特定灰度級的隸屬程度，這樣用一個模糊值就可代表圖像中某一部分的明暗程度。因此,模糊集合特征函數的取值范圍是在0和1之間,以便表示元素屬于一個給定集合的程度。

定義： 論域U中的模糊子集A,是以隸屬函數u為表征的集合。即由映射u：U →[0,1],確定論域U的一個模糊子集A。u稱為模糊子集的隸屬函數, u稱為U對A的隸屬度,它表示論域U中的元素u屬于其模糊子集A的程度。它在[0,1]閉區間內可連續取值,隸屬度也可簡記為A(u)。利用隸屬函數u對式(1)進行轉換可形成如下的模糊矩陣：

其中umn表示點(m,n)的灰度級xmn相對于某特定灰度級的隸屬度。

采用4種不同的隸屬函數[6]對圖像進行模糊化。用這4種不同的隸屬函數將圖像模糊化的過程分別為：

(1)直線型隸屬函數

其中 xmn表示原始圖像像素點(m，n)的灰度值， xmax表示最大灰度值， xmin表示最小灰度值， pmn表示像素用直線型隸屬函數映射到模糊集中對應的值， pmn∈ [ 0,1]。 u1mn表示像素用S型隸屬函數映射到模糊集中對應的值， u1mn∈ [ 0,1]，u2mn表示像素用Z型隸屬函數映射到模糊集中對應的值，u2mn∈ [ 0,1]，umn表示像素用∏型隸屬函數映射到模糊集中對應的值， umn∈ [ 0,1]， xT是選擇的閾值。閾值參數 xT是通過Otsu算法計算所得。

1.2 圖像的邊緣檢測

圖像的邊緣檢測[7]方法很多，采用Canny算子法[8]進行圖像的邊緣檢測，Canny算子具有較好的邊緣檢測性能和抗噪聲性能，它能夠得到單像素寬的邊緣，且得到的圖像邊緣較完整，取得了令人滿意的邊緣檢測結果。

2 實驗結果及對比分析

2.1 實驗結果

實驗在Matlab7.0環境下實現，分別對經過4種不同的隸屬函數進行模糊化后的房子圖像、輪胎圖像和Lena圖像進行邊緣檢測,并且對各種方法進行對比分析。

其中圖1(a)、圖2(a)、圖3(a)是用直線型隸屬函數，圖1(b)、圖2(b)、圖3(b)是用S型隸屬函數，圖1(c)、圖2(c)、圖3(c)是用Z型隸屬函數，圖1(d)、圖2(d)、圖3(d)是用∏型隸屬函數對三幅圖像分別進行模糊化后并進行邊緣檢測的結果。

圖1 對房子圖像進行對比分析

圖2 對輪胎圖像進行對比分析

2.2 實驗結果分析

從上面的實驗結果可以看出：圖1是對房子圖像進行對比，該圖中水平方向，垂直方向和斜方向的邊緣比較豐富。圖1(a)的邊緣檢測效果較好，房子的窗戶輪廓清晰，所檢測到的邊緣較細，邊緣信息豐富。圖1(b)能大體檢測出圖像的邊緣信息，但是在窗戶的細節上不如圖1(a)效果明顯。圖1(c)中房子的煙囪的邊緣沒有能很好的檢測出來，且窗戶出現了一些偽邊緣，檢測效果不是很理想。圖1(d)檢測到的邊緣很完整，但是在某些細節上不如圖1(a)細膩如煙囪。從圖1中各圖可以看出，每一幅圖都能較好地完成邊緣檢測，圖1(a)檢測的效果要比其它三幅圖好。一幅圖像中水平方向、垂直方向和斜方向的直線型的邊緣較多，建議選用直線型的隸屬函數模糊化。

圖2是對輪胎圖像進行對比，該圖像中曲線型的邊緣比較豐富。圖2(a)能大體檢測出圖像的邊緣，但是檢測效果不是很理想，直線型邊緣還是能很好地檢測出來。圖2(b)和圖2(c)對弧線型的邊緣檢測效果特別好，很明顯它們的檢測效果要比圖2(a)好，S型和Z型的隸屬函數是相似的所以它們檢測得到的邊緣相似，只是在細節上有點區別，例如在輪胎的中軸上，圖2(b)比圖2(c)更細。圖2(d)檢測到的效果也很不錯，但是它檢測到的邊緣不是很細致，出現很多的虛假邊緣。圖 2(b)和圖 2(c)檢測的效果最好。一幅圖像中曲線型的邊緣較多，建議選用S型或Z型的隸屬函數模糊化。

圖3是對Lena圖像進行對比，該圖像中邊緣類型比較豐富，有直線型邊緣也有曲線型邊緣。圖3(a)對Lena圖像的帽沿檢測的效果很好，相比之下圖3(b)和圖3(c)對Lena圖像的頭發和眼睛等曲線型的邊緣處檢測的效果更好，圖 3(d)在整體上檢測到的邊緣很豐富，它既能很好的檢測出直線型邊緣如帽沿部分，又能檢測出曲線型邊緣如頭發眼睛等部位，但是它檢測到的虛假邊緣也比較多。一幅圖像中邊緣比較復雜，邊緣類型比較多，建議選用∏型隸屬函數進行模糊化。

3 結語

通過利用 4種不同的隸屬函數對同一幅圖像進行模糊化，將模糊化后的圖像用Canny算子法進行邊緣檢測。通過對實驗結果對比分析可得：圖像中對于水平方向、垂直方向和斜方向的直線型的邊緣以上4種方法獲得的邊緣檢測的效果都很好。而對于曲線型邊緣S型、Z型和∏型都能取得滿意的效果。如果一幅圖像中水平方向、垂直方向和斜方向的直線型邊緣較多，優先選取直線型的隸屬函數對圖像進行模糊化，如果圖像中曲線型的邊緣較多優先選取S型或Z型的隸屬函數對圖像進行模糊化。如果圖像中邊緣比較復雜，邊緣類型比較豐富優先選取∏型隸屬函數對圖像進行模糊化。

[1] ZADCH L A.Fuzzy Sets[J].Information and Control,1965(08)：338-353.

[2] PALS K,KING R A.Image Enhancement Using Smoothing with Fuzzy Sets[J]. IEEE Trans.Syst.Man,Cybern,1981,11(07)：494-501.

[3] 楊帆，汪林林，王佐成.一種新的多方向模糊形態學邊緣檢測算法[J].微計算機信息，2009,25(03)：299-301.

[4] 楊帆，汪林林，王佐成.自適應多方向模糊形態學邊緣檢測算法[J].計算機應用研究，2009，26(03)：1177-1179.

[5] 杜亞琴，郭雷，高世偉.基于模糊集的圖像邊緣檢測算法[J].電子測量與儀器學報，2007,21(06)：22-24.

[6] 梁保松，曹殿立.模糊數學及其應用[M].北京：科學出版社，2007.

[7] 唐曉強，賴惠成.形態學結構元素選取算法研究[J].通信技術，2010,43(07)：163-16,203.

[8] 余萍，崔少飛，趙振兵，等.圖像配準中的邊緣提取方法的研究[J].通信技術，2008,41(06)：161-163.