ADS次臨界反應堆的中子共軛方程

王 蘇，沈 峰

（中國原子能科學研究院 反應堆工程研究設計所，北京 102413）

利用高能強流質子加速器驅動質子轟擊重核會發(fā)生散裂反應，反應中產生的高能中子可用作次臨界反應堆的外加中子源（簡稱外源）以維持鏈式裂變反應，這種加速器－反應堆耦合的系統(tǒng)被稱為加速器驅動的次臨界系統(tǒng)（ADS）。在傳統(tǒng)核動力裝置的使用中會產生長半衰期的錒系核素和大量強放射性的裂變產物等，隨之而來的核廢料處置可能導致嚴重的社會和生態(tài)問題。與臨界反應堆相比，ADS的最主要優(yōu)點是具有較高的中子余額，可用于嬗變核廢料或轉換核燃料；且次臨界反應堆具有本征安全性，一旦切斷加速器束流后ms時段內即可停堆；此外，將ADS產生的熱量用于發(fā)電，可提高轉化和嬗變的經濟性［1－2］。

ADS次臨界中子學為反應堆物理學科的發(fā)展帶來新的動力，各種分析方法在傳統(tǒng)的反應堆物理框架中得到了全面的拓展和改進。由于ADS存在散裂靶區(qū)與次臨界堆芯耦合的問題，使得堆內的中子注量率分布較為特殊，尤其對次臨界熱堆而言，在其靶區(qū)周圍中子注量率和功率水平很高，全堆芯具有較高的中子能量和空間分布的不均勻性。為確保在功率運行中一旦發(fā)生質子束流或反應性變化時次臨界反應堆能夠安全運行，減小誤停堆頻率，對于次臨界中子動力學的研究是不可或缺的。由于中子能量及空間的不均勻性和計算程序的計算誤差等因素，使得在計算局部反應性擾動時利用微擾理論尤為方便。本工作建立基于微擾理論的次臨界反應堆中子動力學方程，給出含有外加源項的中子共軛方程［3］。

1 穩(wěn)態(tài)中子注量率分布的輸運方程及多群方程

在處于穩(wěn)態(tài)下的由外源驅動的次臨界堆中，任意位置處單位體積內不同能量沿著不同空間立體角運動的中子在三維直角坐標系中的平衡關系可用Boltz mann方程表示：

其中：φ為含有外中子源項輸運方程的中子注量率；Σt為總宏觀截面；Σs和Σf分別為宏觀散射截面和宏觀裂變截面；f為沿著空間立體角Ω′運動且能量為E′的中子散射后其運動方向變?yōu)棣浮⒛芰孔優(yōu)镋的幾率；χ（E）為裂變中子能譜分布函數(shù)；s（r，Ω，E）為外中子源項；r為空間位置。

Boltz mann方程是一典型的線性微分－積分方程，它包含有r（x，y，z）、E和Ω（θ，φ）6個自變量，對這樣的方程求解在數(shù)學上是很困難的，因此，需對該方程進行離散處理。將中子按能量分為若干群（共g群），并對所有空間立體角積分，則式（1）中的輸運方程可改寫成矩陣形式的擴散方程：

其中：φ為空間r（x，y，z）位置處多群中子注量率的向量表達式（φ1…φg）T；s為空間r（x，y，z）位置處多群源中子數(shù)目的向量表達式（s1…s g）T；A為空間r（x，y，z）位置處中子泄漏、總核反應及散射項算子矩陣；P為空間r（x，y，z）位置處裂變產生項算子矩陣。

將消失項和產生項歸并為反應堆多群方程的系數(shù)矩陣算子M（M＝A＋P），將式（2）改寫為：

對于1個ADS系統(tǒng)，一旦給定其幾何結構、材料特性及外源參數(shù)（源強和能譜分布等），即可由式（3）中的多群方程解出穩(wěn)態(tài)時次臨界反應堆的分群中子注量率分布。但由于反應堆處于次臨界狀態(tài)，外源中子的增殖效應發(fā)揮了舉足輕重的作用，這使得不能僅依靠中子注量率分布來快速有效地計算如反應性變化、反應性系數(shù)及緩發(fā)中子份額等其他物理參數(shù)。為將來分析次臨界反應堆的安全特性，需進一步推導出次臨界反應堆的多群共軛方程。

2 多群共軛方程

根據(jù)傳統(tǒng)的反應堆物理理論，臨界反應堆的分群擴散方程Mcφc＝0存在共軛方程M＊cφ＊c＝0，其中，Mc和M＊c互為共軛算子。對于分群近似情況，M＊c即為Mc的轉置矩陣，φc為臨界堆多群中子注量率函數(shù)，φ＊c為臨界堆多群中子價值函數(shù)。

對于含有外源的次臨界反應堆，假設存在與式（3）共軛的方程，如式（4）所示：

式中：算子矩陣M＊具有與原方程中M相同的矩陣階數(shù)；向量φ＊、s＊與原方程中的向量φ、s具有相同的維數(shù)。

式（3）與（4）的共軛條件為：

式中：〈 〉為內積算符，積分空間為整個次臨界反應堆。

由經典反應堆理論［3］可知，與臨界反應堆相同，對于分群近似的擴散方程，算子矩陣M＊和M互為轉置，即M＊j，i＝M i，j，則將式（5）等式兩端相減可得：

式中：V為體積。

由于空間某位置處具有某一能量的中子對反應堆穩(wěn)定功率的貢獻是相同的，不管其是來源于外加中子還是裂變產生的中子，因此，某一能群外加中子源的價值必然正比于與其相同能群的裂變中子的價值，設s＊j＝CΣf，jφ＊j（C為待定常數(shù)，Σf，j為第j群中子的宏觀裂變截面），將其代入式（6）的右側得：

若次臨界較低，s和Aφ、Mφ相比較小，當C取值滿足sj＝CΣf，jφj時，則近似有共軛條件〈φ＊，Mφ＋s〉－〈φ，M＊φ＊＋s＊〉＝0。

式中：R為全堆的裂變率；W為全堆功率；Ef為平均每次裂變釋放的能量。

從式（8）可看出，S正比于W。當給定外源源強、能譜及其他如幾何和材料參數(shù)時，可得到次臨界堆的穩(wěn)態(tài)功率，由此可得到常數(shù)C及分群源中子價值s＊j的表達式：

將s＊j代入式（4）得：

式（11）與式（3）相比，含S的表達式中同時含有φ＊j，需進一步處理。構造非零矩陣

得：

其中：

對于式（12），在無外源條件下（S＝0），該方程可簡化為無外源穩(wěn)態(tài)（即臨界）下的中子共軛方程。

式（12）和（3）必然滿足共軛關系，即滿足下式的關系：

觀察組與對照組進行心臟超聲檢查，使用彩色多普勒超聲診斷儀（GEvivid7），探頭頻率2MHz至4MHz，指導患者取左側臥位，將探頭放在患者心尖搏動處，放映患者心臟尖端四腔切面，觀察心臟血流、心臟瓣膜、各形式間隔厚度、各心房室的內徑，對左心室射血分數(shù)進行測量，周期為三期，記錄平均值。

式（14）兩端可分別表示為：

由于算子矩陣M＊和M互為共軛算子，必然滿足：

則由式（14）和（17）可得：

可看出，在穩(wěn)態(tài)下，式（18）右端即為反應堆功率歸一化后的S倍。為進一步得到反應堆功率歸一化值為1的結果，對式（12）兩端同除以S，即可得到按反應堆功率歸一化后的中子共軛方程：

對于一給定的穩(wěn)態(tài)（以下標0代表該穩(wěn)態(tài)下的取值），式（18）右端可進一步改寫為：

其中：

式（21）顯然不適用于外源為0的情況。從式（22）可看出，穩(wěn)態(tài)時n＊s，0與單位體積內的外源中子數(shù)s0在整個次臨界反應堆做內積，結果為歸一化功率，n＊s，0的物理意義是，在已有外源s0和形成的次臨界反應堆功率W0的基礎上，在空間某位置處每各向同性地引入1個外源中子所引起的次臨界反應堆穩(wěn)定功率增加的比例。而且，n＊s，0與引入外源中子的位置、中子能量和反應堆已有穩(wěn)定功率有關，因此，可稱其為與功率相關的次臨界中子價值函數(shù)。

在計算n＊s，0時，將與計算反應堆中子注量率分布的方法相同，并不采用求解逆矩陣的方法，而采用內外迭代的方式進行計算。在進行中子價值計算時，式（20）中的系數(shù)矩陣可由全反應堆擴散計算所需的群常數(shù)矩陣轉換得到，兩者同屬于正定矩陣，均可進行收斂性確定的內外迭代計算。

則式（18）在給定的穩(wěn)態(tài)下滿足：

3 增殖特性

對于不帶外源的反應堆，已知其多群中子注量率φc可由穩(wěn)態(tài)特征值方程Aφc＋Pφc＝0給出，而其共軛函數(shù)φc＊由方程A＊φc＊＋＊φc＊＝0給出。則對于不帶外加中子源的反應堆，其有效增殖因數(shù)keff的表達式為：

在外源驅動的次臨界反應堆中，由于外源中子所在位置和能量的不同，其對反應堆功率的貢獻可能是不同的，所得到的次臨界增殖因數(shù)也可能不同，因而有必要給出新的增殖因數(shù)的表達式［4］。

對于帶外源的次臨界系統(tǒng)，由Aφ＝－（Pφ＋s）可得其增殖因數(shù)表達式：

式（24）定義中的分子是全堆單位時間內裂變產生的總中子數(shù)，分母表示全堆單位時間內消失的總中子數(shù)。由式（24）變化得到的式（25）直觀地體現(xiàn)了次臨界狀態(tài)源中子的增殖效應。但該定義并未考慮中子價值造成的影響。為了方便進一步分析微小擾動引起的反應性變化和更為準確地描述次臨界系統(tǒng)的中子特性，應考慮中子價值的權重，給出次臨界有效增殖因數(shù)ksub的定義。因空間某位置處引入某能量的中子和該位置處裂變產生相同能量的中子在堆內所起的作用相同，ksub的定義如下：

keff、ks、ksub具有相似的 定 義 形 式，其中，keff是傳統(tǒng)反應堆物理分析中的有效增殖因數(shù)，它是系統(tǒng)內裂變中子的產生率與系統(tǒng)內中子的總消失率之比，它反映的是反應堆本身的增殖能力，與外源無關。ks是在外加中子源條件下全反應堆中子數(shù)目平衡的歸并得到的。而ksub是考慮了不同中子注量率分布和中子價值分布的次臨界有效增殖因數(shù)，更易于應用微擾理論進一步分析得到反應性的變化。在反應堆逼近臨界時，占反應堆總中子密度明顯比例的外源將不能再存在于反應堆中，因此，ks和keff，1將趨于一致，且ksub和keff，2趨于一致。可看出，ks與ksub的關系如同keff，1與keff，2的關系。在應用到外源驅動的次臨界反應堆中，ksub和ks的定義均是適用的，但ksub較易準確計算微擾引起的反應性變化量。

4 結論

本研究基于經典反應堆物理的中子價值理論，給出了穩(wěn)態(tài)條件下外加中子源的次臨界反應堆多群中子共軛方程的表達式，推導出中子價值函數(shù)表達式及其物理意義，并給出了次臨界反應堆的增殖因數(shù)的不同定義方式和區(qū)別，為進一步開展ADS次臨界反應堆的中子動力學的研究和分析奠定基礎。

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