一種改進(jìn)的小波閾值去噪算法及其仿真分析

李永軍 馬立元 段永剛

(軍械工程學(xué)院導(dǎo)彈工程系，河北 石家莊 050003)

0 引言

在實(shí)際工作中，檢測(cè)到的信號(hào)中都夾雜著各種干擾信號(hào)(噪聲)，這些干擾信號(hào)的存在嚴(yán)重影響了信號(hào)本身。為了更好地對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，必須進(jìn)行去噪處理。經(jīng)實(shí)際應(yīng)用分析可知，信號(hào)往往包含許多尖峰或突變部分，且噪聲也不是平穩(wěn)的白噪聲，采用傳統(tǒng)的傅里葉變換對(duì)這種信號(hào)進(jìn)行消噪，效果不明顯。而小波變換法由于具有時(shí)頻局部化、小波基選擇靈活、計(jì)算速度快、適應(yīng)性廣以及在Besov空間中可以得到任何其他線性估計(jì)都達(dá)不到的最佳估計(jì)等優(yōu)點(diǎn)，成為信號(hào)去噪的一個(gè)強(qiáng)有力的工具。

Donoho提出基于閾值處理思想的小波域去噪技術(shù)。在小波去噪方法中，閾值法得到了廣泛應(yīng)用。這是因?yàn)橛瞄撝捣ㄈピ氩粌H能夠最大限度地抑制噪聲，而且可以很好地保留反映原始信號(hào)的特征尖峰點(diǎn)，去噪效果良好。

1 小波閾值去噪

1994年，斯坦福大學(xué)的D.L.Donoho和Johnstone在小波變換基礎(chǔ)上提出了小波閾值去噪的概念[1－2]。系統(tǒng)輸出信號(hào)，即觀測(cè)信號(hào)x(t)可表示為：

式中：s(t)為原始信號(hào);n(t)為高斯白噪聲，其服從N(0，σ2)分布。

要把s(t)從x(t)中直接提取出來(lái)是比較困難的，需要借助變換方法才能做到。為方便理解，假設(shè)信號(hào)x(t)為一維信號(hào)，經(jīng)離散采樣后，可以得到N點(diǎn)離散信號(hào)x(n)(n=0，1，2，…，N －1)。對(duì)信號(hào) x(n)作離散小波變換，即：

式中：WTx(j，k)為小波變換系數(shù);ψ()為小波函數(shù);j、k分別為小波變換的分解層數(shù)和平移時(shí)間。

小波變換，特別是正交小波變換具有很強(qiáng)的去數(shù)據(jù)相關(guān)性，它能夠使信號(hào)的能量在小波域內(nèi)集中在一些大的小波系數(shù)中，而噪聲能量卻分布于整個(gè)小波域內(nèi)。因此，經(jīng)小波分解后，信號(hào)的小波系數(shù)幅值要大于噪聲的小波系數(shù)幅值。可以認(rèn)為，幅值較大的小波系數(shù)一般以信號(hào)為主，而幅值較小的系數(shù)在很大程度上是噪聲信號(hào)。

Donoho提出的基于閾值的消噪算法(DTA)可以分為以下三個(gè)步驟：① 選擇小波和小波分解的層數(shù)j，計(jì)算含噪聲信號(hào)的小波分解系數(shù);②對(duì)每層系數(shù)選擇一個(gè)閾值，并且對(duì)高頻系數(shù)用閾值處理;③根據(jù)第j層的低頻系數(shù)和從第一層到第j層的高頻系數(shù)，計(jì)算信號(hào)的小波重構(gòu)。

小波系數(shù)的分解和信號(hào)的重構(gòu)均有成熟的算法及軟件程序，去噪的核心是閾值處理方法。

采用閾值的方法可以把信號(hào)系數(shù)保留，而使大部分的噪聲系數(shù)減小至零。Dohono提出的閾值去噪方法按照對(duì)變換系數(shù)進(jìn)行閾值處理的方法，又可以分為硬閾值法和軟閾值法。硬閾值處理首先是把信號(hào)小波變換系數(shù)的絕對(duì)值與閾值比較，小于閾值的小波系數(shù)視為零，大于閾值的小波系數(shù)不變;然后根據(jù)小波系數(shù)進(jìn)行信號(hào)重建。軟閾值處理是把小波系數(shù)大于閾值的變?yōu)樵擖c(diǎn)與閾值的差值。

硬閾值處理的數(shù)學(xué)公式可以表示為：

式中：λ為閾值;djk為小波系數(shù);為處理后小波系數(shù)。

軟閾值處理的數(shù)學(xué)公式可以表示為：

式中：λ為閾值;djk為小波系數(shù);為處理后的小波系數(shù)。式(3)和式(4)的圖形分別如圖1所示。

圖1 軟硬閾值法曲線圖Fig.1 Curves of soft and hard threshold methods

2 新閾值函數(shù)的構(gòu)建

閾值去噪法的關(guān)鍵是閾值函數(shù)的構(gòu)造，閾值函數(shù)關(guān)系著重構(gòu)信號(hào)的連續(xù)性和精度，對(duì)小波去噪的效果影響很大。但是硬閾值函數(shù)在－λ和λ處是不連續(xù)的。這種不連續(xù)性導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)容易出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象，也就是出現(xiàn)許多不期望的振蕩，失去原始信號(hào)的光滑性。而軟閾值函數(shù)雖然整體連續(xù)性好，但估計(jì)值與實(shí)際值之間總存在恒定的偏差，并且軟閾值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，具有一定的局限性[6－7]。為了克服這些缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[3]提出了軟硬閾值折衷法[3]，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

該方法在閾值估計(jì)器中加入了α因子，0≤α≤1。適當(dāng)調(diào)整α的大小，可以獲得較好的去噪效果。軟硬閾值折衷法的函數(shù)曲線如圖2所示。

圖2 軟硬閾值折衷法函數(shù)曲線Fig.2 Curves of the compromise soft and hard threshold methods

為使閾值函數(shù)更加靈活，本文提出了一種新的閾值函數(shù)——開方法。我們先考慮djk＞0的情況，設(shè)：

由式(6)可知，當(dāng)djk＞＞λ時(shí)，接近于 djk，系數(shù) n為接近速度系數(shù)，n越大，其接近速度越快。對(duì)上式進(jìn)行改寫，即：

對(duì)于一般情況，有：

因此，該方法的函數(shù)表達(dá)式為：

開方法曲線如圖3所示。

圖3 開方法曲線Fig.3 Curves of the extraction method

由于當(dāng)n增大時(shí)，函數(shù)接近硬閾值處理函數(shù);當(dāng)n減小時(shí)，函數(shù)接近軟閾值處理函數(shù)。因此，根據(jù)這一特點(diǎn)，可以得出參數(shù)n選擇的原則是：當(dāng)待降噪信號(hào)中包含了大量的同性區(qū)域或要求降噪后信號(hào)有尖銳的突變時(shí)，應(yīng)使閾值向硬閾值方向移動(dòng)，即n的取值比較大，一般可選在2左右;而在信號(hào)比較平滑的情況下，應(yīng)使閾值向軟閾值方向移動(dòng)，即n的取值在0～2之間。按照這一原則適當(dāng)調(diào)整n的大小，可以獲得更好的去噪效果。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證本文提出的閾值處理方法的有效性，在Matlab平臺(tái)下對(duì)不同去噪方法進(jìn)行仿真試驗(yàn)。對(duì)應(yīng)于特定的含噪信號(hào)，不同的小波基會(huì)產(chǎn)生不同的消噪效果。這是小波方法進(jìn)行信號(hào)消噪中的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。

小波基的選擇和小波基的類型有關(guān)。在同一待降噪信號(hào)中，既有比較平滑的區(qū)域，又有突變的區(qū)域。在平滑區(qū)域中，一般采用高正則階、高消失矩的光滑小波基函數(shù)。因?yàn)檫x擇具有較高階消失矩的小波函數(shù)，能檢測(cè)信號(hào)中更精細(xì)的奇異性，所以在重構(gòu)時(shí)，信號(hào)中的細(xì)節(jié)才能更多地得到恢復(fù)。

在突變區(qū)域中，要采用緊支撐的小波基。Daubechies基是具有緊支集的光滑正交小波基，小波的光滑性由其支集的長(zhǎng)度N來(lái)確定，通過(guò)合理選擇N值的大小，既可以簡(jiǎn)化計(jì)算的復(fù)雜程度，又保證了信號(hào)分析中的空間局部化要求。

Daubechies小波基函數(shù)使得內(nèi)積計(jì)算快、基函數(shù)疊加快，其良好的空間局部化和良好的頻率局部化，在保證了信號(hào)展開和重構(gòu)的低復(fù)雜度的同時(shí)，又保證了信號(hào)中主要成分和模式的識(shí)別。借用基和算法來(lái)進(jìn)行信號(hào)小波變換處理是一種有效的方法。這里采用Daubechies作為小波基函數(shù)。

本文選取了Bumps信號(hào)和Blocks信號(hào)兩種Matlab中常用的信號(hào)作為原始信號(hào)[4－5]。

為模擬實(shí)際信號(hào)，向兩種信號(hào)中加入噪聲，噪聲方差為 0.1，其中輸入 Bumps含噪信號(hào)的信噪比是15.343 dB，Blocks 含噪信號(hào)的信噪比是 17.504 dB。分別用傳統(tǒng)的軟硬閾值法和文獻(xiàn)[3]提出的軟硬閾值折衷法與文中提出的開方法閾值法進(jìn)行了去噪處理。分解層數(shù)為5層，開方法閾值法中的n取為1.8。

對(duì)于閾值的選取，Dohono等人曾給出通用閾值的選取，但在有些應(yīng)用過(guò)程中發(fā)現(xiàn)該閾值并非十分理想，還需根據(jù)具體情況對(duì)其作一定的改進(jìn)。閾值主要由噪聲方差的估計(jì)值和子帶系數(shù)的能量分布共同確定，大部分情況下，需要從觀測(cè)數(shù)據(jù)中估計(jì)噪聲方差。如果閾值λ選取過(guò)小，去噪后的信號(hào)仍然有噪聲的存在，造成去噪不完全;反之，如果閾值λ選取過(guò)大，部分有用信號(hào)將被誤認(rèn)為噪聲而被濾掉，引起偏差。由于噪聲的小波變換系數(shù)隨著尺度的增大而減小，對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪時(shí)，不同的分解層閾值的選取應(yīng)該有所不同，并且隨分解尺度的增大，閾值應(yīng)該有所減小。

本文采用文獻(xiàn)[3]給出的方法，即針對(duì)不同的分解尺度j，給出閾值的選取方法1)，其中，N為相應(yīng)層的小波變換系數(shù)的個(gè)數(shù)，σ為噪聲方差。更加合適的閾值選取方法有待于今后進(jìn)一步的研究。

Bumps和Blocks的原信號(hào)與含噪Bumps和Blocks信號(hào)時(shí)域圖如圖4所示。

圖4 Bumps和Blocks原信號(hào)與含噪信號(hào)時(shí)域圖Fig.4 Time domain graphic of Bumps and Blocks original signal and noising signal

經(jīng)試驗(yàn)可知，這幾種方法都能去除大部分的噪聲信號(hào)，其中，硬閾值方法殘留噪聲最多，軟閾值去噪比較平滑，但其對(duì)原始信號(hào)中突變的重現(xiàn)不夠。開方法在平滑度上要優(yōu)于軟硬閾值折衷法和硬閾值法，比軟閾值法略差，但在突變信號(hào)的保留上明顯優(yōu)于軟閾值法。

兩信號(hào)分別采用不同閾值處理方法進(jìn)行處理的結(jié)果如圖5所示。

圖5 各閾值處理方法去噪結(jié)果Fig.5 Results of each threshold processing method

為了能夠?qū)Ψ治鼋Y(jié)果進(jìn)行量化，本文對(duì)幾種方法進(jìn)行了500次仿真分析試驗(yàn)并統(tǒng)計(jì)平均，得到各方法的信噪比(SNR)和均方差(MSE)如表1所示。

從表1可以看出，文獻(xiàn)[3]的方法和本文提出的方法去噪效果均優(yōu)于軟閾值法和硬閾值法，開方法的效果略優(yōu)于折衷法。

表1 SNR和MSE比較Tab.1 Comparison of SNR and MSE

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)Donoho和Johnstone提出的軟硬閾值去噪方法的缺點(diǎn)，構(gòu)造了一種新的閾值函數(shù)，并對(duì)其進(jìn)行分析，最后通過(guò)仿真試驗(yàn)將該方法與傳統(tǒng)的硬軟閾值法和文獻(xiàn)[3]提出的軟硬閾值折衷法進(jìn)行了比較。從試驗(yàn)數(shù)據(jù)上可以看出，本文的開方去噪方法在進(jìn)行去噪處理時(shí)，在信噪比增益和最小均方誤差意義上均優(yōu)于傳統(tǒng)的軟硬閾值法和軟硬閾值折衷法。試驗(yàn)結(jié)果表明，新方法兼顧了軟硬閾值法的優(yōu)點(diǎn)，在去噪效果上要優(yōu)于以上三種方法。但由于該方法的參數(shù)n的確定需要一定的經(jīng)驗(yàn)判斷，所以在使用時(shí)可能需要多次的試驗(yàn)進(jìn)行比較，以確定n的最佳取值。

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