基于網絡參量的頻率響應研究

2011-09-19 08:41:14王乙斐青海銀

電子設計工程 2011年5期

王乙斐，李新，王穎，青海銀

（1.武漢大學電氣工程學院，湖北武漢 430079；2.武漢大學電子信息學院，湖北武漢 430079）

在射頻微波中，濾波器屬于無源器件，它可以讓有用信號盡可能無衰減的通過，讓無用信號盡可能大的衰減。對線性網絡而言，切向電磁場所對應的歸一化等效電壓、歸一化等效電流之間的關系可用線性代數方程組來表示。線性方程組的系數即為網絡參量。在同一工作頻率下，網絡參量由網絡自身特性決定，與外界激勵源無關[1]。因此，任何一個微波不均勻結構都是可以用適當的網絡來等效的。實際工程上應用的濾波器都是有損濾波器，因此對于這些濾波器還應考慮通帶內的插入衰減。通過對濾波器網絡參量的分析可以得到更為準確的頻率響應。

1 問題引出

在進行模擬濾波器的設計時，發現有些頗令人匪夷所思的現象。如圖1所示的9階巴特沃斯低通原型濾波器，查表得到如下參數：g1=0.347 3，g2=1.000，g3=1.532，g4=1.879，g5=2.000，g6=1.879，g7=1.532，g8=1.000，g9=0.347 3。

圖1 9階巴特沃斯低通原型濾波器電路Fig.1 Circuit of 9-order Butterworth low-pass prototype filter

在計算濾波器的響應時，若簡單地用負載兩端的電壓與輸入端電壓之比，即通常所說的系統傳遞函數H（ω）來計算，得到的幅頻特性如圖2所示。

從圖2中可以看到，用傳遞函數H（ω）得到的濾波器幅頻特性在歸一化頻率1處并不為-3 dB，這與巴特沃斯濾波器并不相符。而且在頻率1～1.2之間還有一個上突的尖峰，此時對應負載電壓大于輸入電壓，而LC濾波網絡是無源網絡，輸出功率肯定是小于輸入功率的，那上述現象又如何解釋？另外，上述響應特性明顯是不平坦的，這也與巴特沃斯濾波器的另一稱呼最大平坦響應濾波器格格不入。因此其間肯定存在一些與通常看法不一樣之處，本文針對此問題展開深入討論。

圖2 傳遞函數得到的濾波器幅頻特性Fig.2 Amplitude-frequency characteristics showed by transfer function

2 網絡理論

在進行射頻、微波電路設計時，節點電路理論已不再適用，需要引入分布參數電路分析方法。這時可采用復雜的場分析法，但更多地時候是采用微波網絡法來分析電路。對于微波網絡而言，最重要的參數就是S（散射）和A（轉移）參量[1]。

2.1 散射參量

散射參量是描述各端口入波和出波之間關系的網絡參量，而入波和出波實際上是各端口的歸一化電壓入射波和歸一化電壓反射波。若定義進入網絡的波稱為“入波”，記為入射波a；從網絡中出來的波稱為“出波”，記為反射波b。入波與出波之間的關系是線性關系，可以用下列線性方程組來表示：

簡寫為：[b]=[S][a]；

其中：[b]=[b1b2… bn]T，[a]=[a1a2… an]T分別為入波列矩陣和出波列矩陣。

其中：S11表示1口接信號源，2口接匹配負載時，1口的電壓反射系數；S21表示1口接信號源，2口接匹配負載時，1口到2口的電壓傳輸系數。

2.2 轉移參量

圖3所示為二端口網絡N，當以輸出端口2上的歸一化等效電壓和歸一化等效電流I2為自變量，以輸入端口1上的為因變量時，可以寫出以下關系式：

寫成矩陣形式有：

圖3 典型二端口網絡Fig.3 Typical two-port network

2.3 系統的頻率響應

3 問題探討

3.1 插入衰減法

將濾波器視為一個網絡，如圖4所示，引入微波網絡理論。

圖4 濾波器網絡Fig.4 Filter network

其中，濾波器用散射參量[S]描述。網絡理論中有一個重要的工作特性參量叫插入衰減L，它定義為當網絡的輸出端口接匹配負載時，輸入端的入射波功率Pi與輸出端出射波功率（即負載吸收功率之比）PL之比，即

可見插入衰減與S21密切相關，一般也可以通過S21來得到插入衰減。但插入衰減的概念仍然大有用處，因為它具有直觀的物理意義，而且目前濾波器的綜合方法就是基于“插入衰減法”[2-3]。圖5是利用S21得到的上述9階低通原型濾波器的幅頻特性。

從圖5可以看到，它符合最大平坦響應特性，且在歸一化截止頻率處衰減3 dB，這正是標準的濾波器幅頻響應特性。

圖5 由S21得到的濾波器幅頻特性Fig.5 Amplitude-frequency characteristics showed by S21

那么為何微波網絡濾波器的頻率特性不是用濾波器的傳遞函數來描述，卻用一個稱為插入衰減的量來描述？傳遞函數會有上突的尖峰，而插入衰減卻很好地符合我們對濾波特性的認識和理解。

在圖4中，可以把濾波器和匹配負載視為一個網絡，其兩端口為端口1和端口2′，端口2′是終端開路的，可以用轉移參量[A]來描述。根據[A]的定義式（3），有：

首先，負載rL兩端的電壓應該是一樣的，即：

（7）式中用到了a2=0的條件，這由圖4不難得到，因為負載是匹配的，故不會有反射波。

比較圖6、圖2，兩者完全一致，這也進一步論證了推導的正確性。

3.2 結果分析

圖6 由S21/（1+S11）得到的濾波器幅頻特性Fig.6 Amplitude-frequency characteristics showed by S21/（1+S11）

第二，負載端電壓大于輸入端電壓并不違反能量守恒定律。這是由于輸入阻抗與負載阻抗并不相同，若將兩者算出，可以得到輸入功率與負載功率（由電壓的平方除以阻抗然后取實部得到）是相等的。因為LC濾波網絡是無源無損網絡，輸入功率全部消耗在負載上。因此，負載端電壓大于輸入端電壓不僅不違反能量守恒定律，它恰恰是能量守恒的結果。