酉群的某些性質

楊 娟, 肖 艷, 羅清華

(江西藍天學院公教部,江西南昌 330029)

酉群的某些性質

楊 娟, 肖 艷, 羅清華

(江西藍天學院公教部,江西南昌 330029)

利用類比的方法將酉群SU(1,2;C)的部分性質推廣到n維,得到了酉群SU(1,n;C)的一些性質1關鍵詞:斜駛元素; 拋物元素; 橢圓元素; 特征值

1 引 言

在雙曲幾何中,關于酉群的性質,在文獻[1-5]中都給出了很詳細的各種性質.而在文獻[6]中, John R.Parker將中全純復雙曲等距群A分為以下三類:

特別地橢圓元素又分為邊界橢圓元素與正則橢圓元素,若A在5上有兩個不動點則A為邊界橢圓元素,否則A為正則橢圓元素.

同時,他證明了如下定理:

定理A 設A是酉群SU(1,2;C)中的矩陣.則有下列三種情況之一成立:

(1)若A有兩個零特征向量λ和?λ-1且|λ|≠1,則A為斜駛元素;

(2)若A有一個模等于1的特征值,且它的向量空間是由零向量生成的,則A為拋物元素;

(3)若A有一個負的特征向量,則A為橢圓元素.

本文主要是將定理A推廣到n維復空間中,得到如下定理:

定理 設A是酉群SU(1,n;C)中的矩陣1則有下列三種情況之一成立:

(1)若A有兩個零特征向量λ和?λ-1且|λ|≠1,則A為斜駛元素;

(2)若A有一個模等于1的特征值,且它的向量空間是由零向量生成的,則A為拋物元素;

(3)若A有一個負的特征向量,則A為橢圓元素.

2 基本知識

(1)若A只在5HnC上有兩個不動點,則A為斜駛元素;

3 定理的證明

為了證明定理,我們首先證明以下一些引理.

引理3.1 設A∈SU(1,n;C)且λ是A的一個特征值,則.也是A的特征值,其中λ∈C1

證明:因為A∈SU(1,n;C),我們可以設A是保持Hermitian內積〈,¨〉的酉矩陣,則

又由引理3.3,知〈ui,ui〉中至多只有一個是非正的.又Hermitian內積〈,¨〉是非退化且不定的,故〈ui,ui〉都是非零的且至少有一個是負的1

同理可證〈An1,w〉=0,所以An1=λn1,λ≠01

因此n1也是A的一個特征向量.又A只有一個特征值eiθ,故n1是v與w的線性組合,得出矛盾,所以〈v, v〉=0,〈w,w〉=01

同理可證當j=3,4,5,…,n維時,A的特征空間是由零向量生成的.

下面我們完成定理的證明.

[1]W.M.G oldman,Complex hyperbolic geometry[M].Oxford University Press,Oxford,1999.

[2]S.S.Chen,Greenberg L.Hyperbolic Spaces[M].Contributions to Analysis.Academic Press,New Y ork,1974:49-87.

[3]D.B.A.Epstein,Complex hyperbolic geometry[M].Analytical Geometry Aspects of Hyperbolic Space,ed.D.B.A.Epstein, London Mathematical Society Lecture Notes Series,111(1987)93-111.

[4]Beardon A.The Geometry of Discrete Groups.Graduate Texts in Mathematics,vol.9.[M].Springer-Verlag,New Y ork,1983.

[5]Kamiya,S.Notes on non-discrete subgroup of^U(1,n;F)[J].Hiroshima Math.J.Num.13,501-506(1982).

[6]John R.Parker.Notes on Complex Hyperbolic Geometry[M].Lecture notes,University of Durham.July 11,(2003)3-19.

Abstract:In this paper,we generalize some propertiesofSU(1,2;C)to high dimension with analogous method,andobtain some basic properties of unitary groupSU(1,n;C).

Key words:loxodromic elements; parabolic elements; elliptic elements; eigenvalue

Some Properties of Unitary Group

Y ANGJuan, XIAO Yan, LUO Qing-hua

(Department of Public Teaching,Jiangxi Blue Sky University,Nanchang,Jiangxi 330029)

O174.51

A

1671-9743(2011)02-0026-04

2011-02-08

楊 娟(1982-),女,湖南洞口人,江西藍天學院助教,碩士,主要研究復分析1