一類帶移民的二次加權分枝模型

張紅霞，李俊平

1 模型建立

馬爾可夫過程是一類極為重要的隨機過程，是解決存儲問題、排隊問題、人口問題、風險問題等等的有效的數學工具。而馬爾可夫分枝過程又是馬爾可夫過程的重要分支，在排隊論、生物學、物理學等等中具有非常廣泛的應用。經典馬爾可夫分枝過程已得到廣泛研究，它的最基本的性質就是分枝性，直觀的說，分枝性就是系統中不同粒子之間是相互獨立、互不干擾的。然而，在大多數現實情況中，不同粒子之間往往不是相互獨立的，而是密切相關的，因此很多學者對經典馬爾可夫分枝模型進行了多種形式的推廣。如Pakes和Tavare[1]、Li.J.P和Chen.A.Y.[2,3]等等.本文是在前人工作的基礎上推廣了模型，同樣具有相當重要的研究意義。

針對于移民狀態下，建立以下分枝模型：

定義 1.1 一個 q-矩陣 Q={qij;??i,j?∈ Z+}被稱為 QWBI-q-矩陣,如果

在本文中，Z+={ }0,?1,?2… ，QWBI-q-矩陣：帶移民的二次加權q-矩陣；QWMBPI：帶移民的二次加權馬爾可夫分枝過程

定義1.2一個QWMBPI就是一個Z+-值的連續時間參數的馬爾可夫鏈,其轉移函數P(t)={pij()t;??i,j∈ Z+} 滿 足Kolmogorov向前方程：P'(t)=P(t)Q且Q形如(1.1).

分別表示平均出生率,移入率,死亡率。

2 吸收概率

設 ??{X(t);?t≥ 0} 是給定的 WBI-q-矩陣 Q 的(唯一的)WMBPI,顯然0為吸收狀態.

為 ??{X(t);?t≥ 0}的吸收時刻,對 ?i≥ 1,有pi(τ0＜∞)表示粒子從狀態i出發,而被吸收的概率,即到達狀態0的概率。由[4]及式(1)易知狀態集{1,2,…}構成一個連通類,所以對?i≥1,要么ai0=1,要么ai0＜1.

由文獻[1,5]易知下面的引理2.1成立.

x*i=qi0=0(0 ≤ xj≤ 1?,?i?≥ 1)的最小解.

下面的定理2.2.利用引理2.1得到了吸收概率ai0=1(?i≥1)的充分必要條件以及在三種情況下的表達式。

定理2.1記s0為方程 B(s)+s?A(s)=0在[0,1]內的最小根，q為方程B(s)=0在[0,1]內的最小根，若定義

對?i≥1,ai0=1當且僅當mb≤b0,J=+∞

而且

①若mb≤b0,J=+∞,則對?i≥1，有

②若mb≤b0,J＜+∞,則對?i≥1，有

③若b0≤mb≤+∞,則對?i≥1，有

證明對?i≥1,令

由[6](4)知：F(s)＜∞,由[7]和[6]知,對 ?s∈[ )0?,1 ，有

當mb≤b0,J=+∞時,對?s∈[ )0?,1,?i≥ 1,解(6)得：

當 J=+∞時,必有ai0=1,否則若ai0＜1,則在(7)兩端令s↑1,右端趨于-∞,而左端非負,因此矛盾。

當mb≤b0,J＜+∞時,由 J的定義知,當 J＜+∞時有,對 ?s∈i≥ 1,由(7)知

在(8)中令 s↑1,得,

則對 ?i≥1,有,

因此由引理 2.1 知：ai0≤ xi(i≥ 1).

當b0＜mb≤+∞時,易知,

(mb-b0)+ma＞0,0＜s0＜q＜1.由[7]知：

在(10)中令 s=q,則

因 此 ai0≤qi＜1,且 ai0=qi當 且 僅 當 a0=0.對?s∈(q,1)有

所以ai0≤qi.對?s∈[ )0?,s0

所以ai0≥si0.因此 si0≤ai0≤qi＜1.

綜上所述,對 ??i≥1,ai0=1當且僅當 mb?≤b0,J=+∞ .

本文討論的這類分枝模型.得到了馬爾可夫分枝過程在狀態0的吸收概率的表達式，對研究一些現象如生物繁殖、細胞癌變、原子分裂等等有重要的意義。

[1]Pakes A.G.Expiosive Markov Branching Processes[J]:Entrance Laws and Limiting Behavior[J].Adv.Appl.Prob.,1993,25.

[2]Chen A.Y.,Li J.P.,Remesh N.I.Uniqueness and Hitting Time of Weighted Markov bran-ching Processes[J].Methodology and Compu-tingin Applied Probability,2005,7.

[3]Li J.P.Markov Branching Processwith I-mmigration and Resurrection[J].Markov Pro-cessesand Related Fields,2006,12.

[4]Anderson W.J.Continuous-Time Markov Chains[M].Berlin:Springer,1990.

[5]Pakes A.G.Absorbing Markov Branching Processes with a State-dependent Immigration[J].Adv.Proc.Appl.,1993,（48）.

[6]張紅霞,李樹君,一類帶移民的加權分枝過程的有關結論[J].黑龍江科技信息,2010,（37）.

[7]張紅霞,李樹君,一類帶移民的二次加權馬爾可夫分枝過程[J].科技經濟市場,2010,（3）.