三端點區間數互反判斷矩陣的一致性測度方法

張 娜

0 引言

多屬性決策指在考慮多個指標或屬性的情況下，為選擇最佳方案或進行方案排序而進行的決策問題[1]。目前，大量的多指標決策問題已經被廣泛的應用于社會、經濟、管理、環境等各個領域。隨著社會、經濟的發展，決策問題的復雜性、不確定性以及人類思維的模糊性不斷增強，在實際決策過程中，專家的偏好信息經常以不確定性的形式表示，如區間數、模糊數等，相關研究[2～10]得到了學術界的重視。但現有的區間數和模糊數方法，存在以下不足之處：區間數在某些決策情況下有時為了覆蓋整個取值范圍，區間可能取得過大；三角模糊數通常假設端點兩兩之間呈線性關系，極大地限制了決策者偏好的表達。以教師績效考核評價為例，專家對教師績效的打分的取值范圍為[60,90]，分值差異很大，這時如果認為整個區間的取值機會相等，就會使得出的結果有很大的偏差，很難判斷其真實績效。若利用三角模糊數(60,70,90)來表示，由于現有處理方法一般需要事先假定可能性成線性方式分布，而實際上分布方式更難以確定。文獻[11]探討了區間數和三角模糊數在刻劃不確定信息時的局限性以及優勢互補性，提出了三端點區間數的概念。對于決策信息為三端點區間數的情況，也有研究成果出現[12～14]。三端點區間數既將保持了區間的取值范圍，又突出了取值可能性最大的重心點，在一定程度上彌補了兩端點區間數取值范圍過大、重心不明確的缺陷。

目前有關三端點區間數互反判斷矩陣及其一致性測度方法的研究較少，文獻[11]給出了三端點區間數互反判斷矩陣完全一致性定義，但此定義給出的條件不是太強，本文將認為其完全一致性的定義應該為一致性定義。基于此，本文將定義三端點區間數互反判斷矩陣的完全一致性、一致性和滿意一致性的概念并討論它們之間的關系；給出完全一致性、一致性和滿意一致性的測度方法。最后給出具體的算例，驗證所提出方法的有效性和適用性。

圖1 三端點區間數示意圖

1 三端點區間數及其互反判斷矩陣的定義

本文涉及的區間數、區間數互反判斷矩陣的相關概念以及三端點區間數的運算見文獻[1]、[2]、[4]、[11]等。

在群決策中，采用三端點區間數方法來表達偏好，同時考慮了區間范圍以及最可能判斷點，充分利用了已知決策信息，并有效避免了信息丟失，在一些決策情況下更符合實際。

定義1[11]設R為實數域，稱閉區間[cijL,cijM,cijU]為三端點區間數，其中cijL代表下限值，cijU代表上限值，cijM代表最可能值，且cijL≤cijM≤cijU，見圖1。

在群決策背景下，可以利用以下方法得到三端點區間數：對于單決策者的決策情況，決策先估計區間的上、下限值[cijL,cijU]，同時可以得到其它可能值的概率P(cij)，對于cijM應選擇可能值的最大概率，并且應該滿足Max[P(cij)]≥δ（δ為一常數，δ越大表明決策者偏好越集中，δ=1時該決策退化為普通數字即cijL=cijM=cijU）；對于多決策者的決策情況，可以采用數理統計方法擬合決策者的意見即可得到表達決策群體偏好的三端點區間數，即若決策者數位m，對于任意的cij統計cijk出現的頻數vk,k=1,2,…,L，其中L為決策者的分類數（vk≤m），則P(cijk)，群體決策偏好可以表示為三端點區間數[cijL,cijM,cijU]的形式[14]。

定義2 稱Cˉ=(cˉij)n×n為n階三端點區間數互反判斷矩陣，cijL≤ cijM≤ cijU，cˉij=[cijL,cijM,cijU]，cˉji=[1/cijU,1/cijM,1/cijL]，且 cˉii=[1,1,1]。

2 三端點區間數互反判斷矩陣的一致性相關定義

定義3[11]記wi(i=1,2,…,n)為三端點區間數互反判斷矩陣導出的權重，若式（1）成立，則稱三端點區間數互反判斷矩陣 Cˉ=(cˉij)n×n具有完全一致性；若不存在 wi滿足式（1），則稱其不具有完全一致性。

定義3雖然說明了決策者的一致性判斷與最可能值相符合，但是其給出的定義條件不是太強，通過此條件只可以得到最可能值的權重wiM。而要想了解群體的總意圖，必須得到權重的分布范圍，即[wiL,wiM,wiU]，為此本文重新定義了三端點區間數互補判斷矩陣完全一致性的概念。

定義4 稱三端點區間數互反判斷矩陣Cˉ=(cˉij)n×n具有完全一致性，若對于?i＜k＜l均有cij=cikckj。

引理1[2]數字互反判斷矩陣A具有一致性的充分必要條件是，存在向量v=(v1,v2,…,vn)T使得，其中成立。

定義5 稱三端點區間數互反判斷矩陣Cˉ=(cˉij)n×n具有一致性，若對于三端點區間數互反判斷最可能值數字矩陣(cˉijM)n×n具有一致性，即 cˉijM=cˉikMcˉkjM；i,k,j=1,2,…,n 。

定義5說明：若專家給出的三端點區間數互反判斷最可能值數字矩陣具有一致性，表明專家給出的偏好含有一致性信息，根據此偏好信息可以得到比較合理的排序；若不具有一致性，說明專家給出的偏好信息不合理，若有條件最好進行修正。

定理1定義3的完全一致性條件等價于定義5的一致性條件。

證明：設定義3的三端點區間數互反判斷矩陣 Cˉ=(cˉij)n×n具有完全一致性，則有，i,j=1,2,…,n；i≠j。 對 三 端 點 區 間數 最 可 能 值數 字 矩 陣 (cˉijM)n×n，，即三端點區間數互反判斷矩陣 Cˉ=(cˉij)n×n滿足定義5一致性條件。

設三端點區間數互反判斷矩陣 Cˉ=(cˉij)n×n滿足定義5的一致性條件，那么 (cˉijM)n×n具有一致性，即 cˉijM=cˉikMcˉkjM，根據引理1可得，存在向量 w=(w1,w2,…,wn)T，使得成立，令wi(i=1,2,…,n)為三端點區間數互反判斷矩陣導出的權重，式（1）成立，故三端點區間數互反判斷矩陣 Cˉ=(cˉij)n×n滿足定義3完全一致性的概念。證畢。

定理2 設 Cˉ=(cˉij)n×n為三端點區間數互反判斷矩陣，若Cˉ具有完全一致性，則其具有一致性。

證明：設 Cˉ=(cˉij)n×n為三端點區間數互反判斷矩陣，要證明Cˉ具有一致性，只需要證明最可能值數字矩陣(cˉijM)n×n具有一致性，即 cˉijM=cˉikMcˉkjM;i,k,j=1,2,…,n 。由定義 4及三端點區間數的運算可知，對于?i＜k＜l，有cij=cikckj時，最可能值數字矩陣 cˉijM=cˉikMcˉkjM必然成立。證畢。

定理2研究了定義4與定義5的關系，得出若一個三端點區間數互反判斷矩陣具有完全一致性，那么其一定具有一致性。

定理3 定義4中三端點區間數互反判斷矩陣Cˉ=(cˉij)n×n完全一致性的定義可以得到三端點區間數權重的分布范圍[wiL,wiM,wiU]。

證明：由定理1和定理2可知，若Cˉ具有完全一致性，則其具有一致性，即存在向量wM=(w1M,,…,)T使得，(i,j∈N)其中 wiM＞0(i∈N)，且=1成立，此條件只可以得到最可能值的權重wiM，權重范圍[wiL,wiU]可根據兩端點區間數互反判斷矩陣一致性定義得到，具體見文獻[15]。因此，若Cˉ具有完全一致性，可以得到三端點區間數權重[wiL,wiM,wiU]。證畢。

定理4 三端點區間數互反判斷矩陣Cˉ=(cˉij)n×n具有一致性當且僅當凸集Sw非空，其中

證明：設 Cˉ=(cˉij)n×n為三端點區間數互反判斷矩陣，若 Cˉ具有一致性，根據定義5可知，有 cˉijM=cˉikMcˉkjM;i,k,j=1,2,…,n，則由引理1易知Sw非空。若凸集Sw非空，則不妨設w=(w1,w2,…,wn)T是Sw中一個元素，對于任意的i,j∈N，令而且cM=cMcM;i,k,j=1,2,…,n，由定義5ijikkj可知 Cˉ=(cˉij)n×n具有一致性。 證畢。

定理5 三端點區間數互反判斷矩陣Cˉ=(cˉij)n×n具有一致性的充分必要條件是

證明：若三端點區間數互反判斷矩陣 Cˉ=(cˉij)n×n具有一致性，則凸集Sw非空，即存在向量w=(w1,w2,…,wn)T使得下列不等式成立：

當三端點區間數互反判斷矩陣不具有一致性時，可以由定義6判別它是否具有滿意一致性。

定義6 稱三端點區間數互反判斷矩陣Cˉ=(cˉij)n×n具有滿意一致性，如果存在實數互反判斷矩陣 C?M=(c?ijM)n×n（c?ijM∈[(1-δij)cijM,(1+δij)cijM]）具有一致性，其中 δij為允許決策的偏差。δij越大滿意一致性越差，決策偏好越分散；δij越小滿意一致性越強，決策偏好越集中。

定理6 三端點區間數互反判斷矩陣Cˉ=(cˉij)n×n具有一致性，則必具有滿意一致性。

證明：若三端點區間數互反判斷矩陣 Cˉ=(cˉij)n×n具有一致性，則三端點區間數互反判斷最可能值數字矩陣(cˉijM)n×n具有一致性，令 C?M=(c?ijM)n×n=(cˉijM)n×n，存在實數互反判斷矩陣 C?M=(c?ijM)n×n（c?ijM∈[(1- δij)cijM,(1+ δij)cijM]）具有一致性（其中 δij=0），根據定義6可知 Cˉ=(cˉij)n×n具有滿意一致性。

定理6研究了定義5與定義6的關系，得出若一個三端點區間數互反判斷矩陣具有一致性，那么其一定具有滿意一致性。

定理7 存在實數互反判斷矩陣 C?M=(c?ijM)n×n(c?ijM∈[(1-δij)cijM,(1+δij)cijM])具有一致性的充分必要條件是對于任意i＜j∈N ，有

證明：若存在實數互反判斷矩陣 C?M=(c?ijM)n×n(c?ijM∈[(1-δij)cijM,(1+δij)cijM])具有一致性，根據文獻[5]實數互反判斷矩陣具有一致性的定義可知，對于任意的i,k,j∈N，都有

又由于

所以，對于任意的i＜j∈N，有

若對于任意的i＜j∈N ，有

令：

于是有

由定理5可知[(1-δij)cijM,(1+δij)cijM]構成的矩陣具有一致性。由定理4可知凸集Sw非空，所以存在實數互反判斷矩陣 C?M=(c?ijM)n×n(c?ijM∈[(1-δij)cijM,(1+δij)cijM]) 具有一致性。證畢。

3 算例分析

算例1設3個方案的決策問題有三端點區間數互反判斷矩陣：

由于[1,2,3]×[1,3/2,2]=[1,3,6]，根據定義4可知C具有完全一致性。根據定義5證明C具有一致性。

算例2設4個方案的決策問題有三端點區間數互反判斷矩陣：

由于c12c23=[1,2,3]×[1,2,4]=[1,4,12]，c13=[3,4,5]≠c12c23，所以三端點區間數互反判斷矩陣C不具有完全一致性。

但C的最可能值數字矩陣為：

對于 ?i（k,j=1,2,3,4），有 cijM=cikMckjM，因此三端點區間數互反判斷矩陣C具有一致性。

上面分析可以看出三端點區間數互反判斷矩陣C不具有完全一致性，但具有一致性。

算例3設3個方案的決策問題有三端點區間數互反判斷矩陣：

由于C的最可能值數字矩陣為：

由于c13M=7/2，c12Mc23M=57/20，c13M≠c12Mc23M，因此三端點區間數互反判斷矩陣C不具有一致性。

根據定義6及定理7判斷其是否具有滿意一致性，設δij=0.2為允許決策的偏差。

對于任意i＜j，有

由于對于任意i＜j∈N ，有

所以三端點區間數互反判斷矩陣C在δij=0.2允許決策的偏差范圍內具有滿意一致性。

4 結論

目前國內外學者關于三端點區間數互反判斷矩陣的一致性測度的研究尚處于起步階段。為此，本文對其進行了深入研究，提出了三端點區間數互反判斷矩陣的完全一致性、一致性、以及滿意一致性定義，并討論了它們之間的關系，具有一定的理論意義。若決策者給出的偏好信息滿足完全一致性，說明決策者給出的所有信息都具有一致性，都是合理信息；若決策者給出的偏好信息滿足一致性，說明此信息含有一致性信息，可以根據此信息求解出合理的最可能權重向量；若決策者給出的信息不滿足一致性，如果可能的話最好對偏好信息進行改進，否則若滿足滿意一致性，說明此信息在一定可信度范圍內含有一致性信息，對三端點區間數互反判斷矩陣一致性定義的討論為多屬性決策方法的研究提供了更加合理的理論依據。對于滿足不同一致性的三端點區間數互反判斷矩陣，如何選用更合理的排序方法是今后進一步研究的方向。

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