幾種模型在平面坐標轉換中的應用

姚朝龍，劉立龍

（桂林理工大學土木與建筑工程學院， 廣西 桂林 541004）

幾種模型在平面坐標轉換中的應用

姚朝龍，劉立龍

（桂林理工大學土木與建筑工程學院， 廣西 桂林 541004）

針對在平面坐標轉換時選取不同模型將得到不同的轉換精度，通過所編程序進行實驗,對比了四參數模型、六參數模型和二次曲面模型的轉換精度。實驗表明，當合理選擇轉換點時二次曲面模型在平面坐標轉換中精度高于四參數模型和六參數模型的轉換精度。

平面坐標；坐標轉換；轉換模型；轉換精度

隨著測繪技術的發展，從常規的地面測量發展到衛星大地測量，在不同時期、不同地方獲得了許多基于不同坐標系統的測量成果。由于地圖坐標是從參考橢球經過投影轉換為平面坐標，2個不同參考系統之間沒有直接的數學關系[1]。此時，常常采用二維轉換模型進行坐標轉換。對于二維轉換模型，參數的選取依賴于工程項目的需要，在大多數平面坐標轉換應用中，常常使用四參數模型、六參數模型和二次曲面模型進行二維平面坐標轉換。本文將對比四參數模型、六參數模型和二次曲面模型在平面坐標轉換中的轉換精度，得出算例的最佳模型。

1 模型及其參數求解

1.1 四參數模型

四參數模型[2]是從布爾莎公式演化而來的，其計算公式為:

設所有轉換點帶有誤差的觀測值等權，則由式(3)的誤差方程，通過間接平差法求得轉換參數向量＾的最小二乘解為：（其中 P為單位權），從而求出。則平移參數為再

1.2 六參數模型

六參數模型[1,3]是一種平面仿射變換，將兩坐標軸的指向經過2個角度旋轉 和 ，并采用2個尺度因子，即縱向尺度因子x和橫向尺度因子y。在任意2個平面坐標間的六參數仿射變換，可以用如下公式：

由以上兩式可見，X和x、y之間存在線性關系，Y和x、y之間也存在線性關系，因此以上兩式完全可以由線性回歸原理進行解算。

用一個通用型線性回歸模型代替以上兩個式子，即

對于通用線性回歸模型 (5)將 Z變為 X，則 k1、k2、k3即分別為a0、a1、a2；將Z變為Y，則分別為b0、b1、b2。

1.3 二次曲面模型

二次曲面模型[3,4]又稱二次多項式擬合，是多項式變換中的一種，已知點在兩坐標系間的坐標差異值可以用一個多項式來擬合，然后用這個多項式來預計其他點的坐標差異值。在坐標系轉換中，通常采用二次曲面模型進行擬合。其計算公式如下：

式 中，a0、a1、a2、a3、a4、a5、b0、b1、b2、b3、b4、b5為轉換參數，當轉換點個數多于 6個時，可以通過最小二乘法結合線性回歸原理求解轉換參數，其求解過程與六參數模型參數解算相似。

2 算例分析

所用算例數據[5]共15個公共點，其中10個點作為轉換點，用于求解轉換參數，5個點作為檢驗點，點位分布如圖 1所示。為了對比四參數模型、六參數模型和二次曲面模型在兩平面坐標系的轉換精度，本文采用筆者利用VB所編坐標轉換程序進行坐標轉換，并進行精度分析。

圖1 公共點點位分布圖

表1 三種模型的轉換殘差比較/m

表2 轉換殘差統計表/m

其中x'、y'為轉換后坐標值，x、y為同名點原坐標值。

坐標分量X、Y轉換中誤差：

當計算內符合精度，n為轉換點個數；計算外符合精度，n為檢驗點個數。

從表1、表2可以看出，四參數模型和六參數模型的最大、最小轉換殘差絕對值都在1 cm左右，六參數模型的內符合精度優于四參數模型，外符合精度與四參數模型相同。二次曲面模型的轉換精度均高于四參數模型和六參數模型的轉換精度，其最大、最小轉換殘差絕對值都在mm級，轉換點內、外符合點位中誤差也達到了mm級。

3 結 語

本文通過對比 3種模型在平面坐標轉換中的轉換精度可以看出，當選擇合理的轉換點點位和轉換點個數進行轉換參數的求解時，3種模型的轉換精度都在cm級范圍內，由于六參數模型采用了2個旋轉參數和2個尺度因子，其轉換精度比四參數模型的轉換精度高，而二次曲面模型由于考慮了系統畸變的影響，在2種轉換模型中轉換精度最高，達到mm級。

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Application of SeveralModels to Plane Coordinate Transformation

by YAO Chaolong

Aiming at the coordinate transformation between two 2D coordinate systems,diffrient accuracies from diffrientmodelsw ill be achieved.This paper utilized the program to compare the accuracy of four-parametermodel,six-parametermodel and second-degree polynom ialmodel.Results from testing showed when reasonable choose transforming points,theaccuracy of second-degree polynomialmodelisbetter than theaccuraciesof four-parametermodeland six-parametermodelin2D coordinate transformation.

plane coordinate systems,coordinate transformation,conversion model, transformation accuracy （Page:64）

P226.3

B

1672-4623(2011)02-0064-03

2010-01-14

項目來源：國家自然科學基金資助項目（41064001）。

姚朝龍，碩士，主要從事測繪信息采集與數據處理研究。