基于NSCT子帶自適應Bayes閾值圖像去噪方法

歐陽洪波， 全惠敏 ， 唐 淵 ， 曾業戰

（1.湖南大學 電氣與信息工程學院，湖南 長沙 410082；2.湖南工業大學 電氣與信息工程學院，湖南 株洲 412007；3.湖南理工學院 物理與電子學院，湖南 岳陽 414000）

眾所周知，在圖像的成像過程中總是不可避免地受各種噪聲的影響。因此，圖像去噪是計算機視覺和圖像處理領域中最根本和廣泛的研究方向。而去噪的關鍵任務就是去除噪聲的同時盡可能地保留原圖像的邊緣和細節。在變換域去噪過程中，合理地選取閾值非常重要，其直接影響到去噪效果。1992年，Donoho和Johnstone提出了小波閾值消噪法[1]，利用該方法進行圖像去噪簡單又有效。但Donoho給出的閾值有“過扼殺”小波系數的傾向，導致圖像重構誤差較大，而且小波變換往往對點奇異性比較敏感，且對邊緣方向表達能力有限。為了克服小波變換的局限性，2002年M.N.Do和Martin Vetterli提出了一種多方向、多分辨率的圖像表示方法，即 Contourlet變換（CT）理論[2-6]。 目前，Contourlet變換在圖像去噪等領域有廣泛的應用。但Contourlet變換不具有平移不變性，在進行圖像處理時會引入Gibbs效應。因此，A.L.Cunha、J.P.Zhou和M.N.Do等于2006年利用非下采樣塔式分解和非下采樣濾波器組構造出了非下采樣Contourlet變換[3]（Nonsubsampled Contourlet Transform， NSCT）。

在深入研究NSCT系數特性的基礎上，采用了自適應閾值對圖像分解后的NSCT系數進行硬閾值處理，該方法能自適應地調整閾值，從而有效地去除圖像中的噪聲和Gibbs偽影，保留圖像細節，獲得了更好的視覺效果和更高的PSNR值。

1 NSCT子帶自適應Bayes閾值圖像去噪方法

1.1 非下采樣Contourlet變換

與CT類似，NSCT也是將尺度分解與方向分解分開進行。非下采樣Contourlet變換分為兩部分：非下采樣的LP（Laplacian Pyramid）分解和非下采樣的 DFB（Directional Filter Bank）分解。首先采用非下采樣塔式濾波器組（Nonsubsampled Pyramid Filter bank，NSPFB）對圖像進行多尺度分解，然后再采用非下采樣方向濾波器組（Nonsubsampled Directional Filter Bank， NSDFB）對得到的各帶通子帶圖像進行方向分解，從而得到不同尺度、方向的子帶圖像系數[7-14]。與CT不同的是，NSCT在圖像的分解和重構中，取消了對圖像進行上采樣和下采樣操作，使得非下采樣Contourlet變換不僅具有多尺度、多分辨率、良好的空域、頻域局部特性和多方向特性，而且具有評議不變性。NSCT變換如圖1所示。

圖1 NSCT變換Fig.1 Nonsubsampled contourlet transform

1.2 NSCT子帶自適應Bayes閾值圖像去噪的基本思想

圖像去噪的一個重要任務就是去除噪聲的同時盡可能地保留圖像的邊緣和細節。在圖像去噪中，對NSCT系數（代表含噪圖像經過NSCT后尺度為時，第方向的系數）的處理是關鍵所在，由于待去噪的圖像一般包括4類信息，即圖像能量、明顯的邊緣信息、微弱的邊緣信息和噪聲。對NSCT后的系數進行分析，發現圖像能量主要集中在低頻子帶，其他的3類信息主要集中在高頻子帶中，圖像去噪主要處理后3類信息。而后3類信息經過NSCT后，分析發現在NSCT變換域中，明顯的邊緣信息對應的系數在同尺度下的所有不同方向子帶上都有較大的值；微弱的邊緣信息所對應的系數幾在同尺度內，某些方向子帶上的系數大，某些方向子帶上的系數小；而噪聲對應于同一層內的所有不同方向子帶中都有較小的值。基于對這些系數的觀察，可以根據NSCT后系數的特點，不同的子帶必須選擇不同的閾值。子帶系數的能量近視于系數系數的平方，能量越大說明輪廓信息越多，采用閾值去噪時應設置較小的閾值；能量越小說明輪廓信息越少，應設置較大的閾值；可以使用能量來調節閾值，同時，文中所采用的自適應Bayes閾值，當噪聲方差增大時，Bayes閾值自動增大，當噪聲方差減小時，Bayes閾值也自動減小，達到自適應去噪的目的。

1.3 NSCT子帶自適應Bayes閾值

NSCT采用具有各向異性的Contourlet基來捕捉圖像的方向性信息，在將小波域的BayesShrink閾值推廣到NSCT域時，必須充分利用NSCT自身的這種多方向選擇特性。與小波變換相比，NSCT的方向選擇更加靈活，并且變換域尺度大小與原圖像相同。在相同尺度、方向的情況下，NSCT系數小于小波系數。因此，文中提出帶有尺度及方向信息的子帶Bayes自適應閾值去噪方法。

用貝葉斯（Bayes）估計可以得到小波閾值函數的去噪方法，以下方法是將Chang在2000年提出的BayesShrink閾值估計方法[15]應用于NSCT中。BayesShrink方法是在Bayes準則下得到的，設在Bayes風險最小的條件下得到的理想閾值為：

式中：rbayes（t）為 Bayes 風險函數。

要求出上式中t?的解析表達式非常困難，且計算繁瑣，因此一般情況下利用數值方法求出其近似解:

當 β∈[0.5， 4]時，rBayes（與 rBayes（tBayes）相差不到 5%。 而通過大量實驗表明，自然圖像各自帶的β取值在一個很小的范圍內，大致滿足β∈[0.5，4]，因此tBayes的選擇是合理的。從另一方面來看，該閾值的估計也符合直觀理解，對固定的原始圖像，當噪聲方差增大時，tBayes也增大，從而可去除更多的噪聲影響；而當噪聲方差減小時，閾值tBayes也減小，從而保留更多的系數。

含噪圖像進行NSCT的模型為

事實上，原始NSCT系數分解后的高能量區域主要對應劇烈變化的圖像特征，基于這樣的思想，對BayesShrink方法進行自適應改進，即將Bayes閾值公式（2）改進為：

在NSCT中選擇 “maxflat”塔式濾波器進行三層分解和“dmaxflat7”進行方向濾波，方向數分別為 2、4、8時，研究發現當c為4 080時去噪效果最好。

1.4 NSCT子帶自適應Bayes閾值算法流程圖

1）對去噪圖像進行NSCT，得到尺度為k時，第j方向的系數。

3）按式（6）計算尺度為k時，第j方向的NSCT子帶自適應閾值函數。

4）進行閾值處理。文中采用硬閾值去噪得到新的非下采樣 Contourlet系數。

圖2 算法流程圖Fig.2 Flow chart of program algorithm

1.5 實驗結果及分析

為驗證文中所提出算法的有效性，選取加有均值為零、方 差 為 15、20、25、30 的 高 斯 白 噪 聲 的 圖 像 Lena、Peppers、Barbara進行實驗。表1給出了文中方法和Contourlet多尺度閾值去噪、Contourlet自適應閾值去噪的PSNR值，圖3為方差為25時Lena、Peppers和Barbara圖像去噪后的局部結果。由表1可以看出，噪聲較低時本算法比Contourlet多尺度閾值去噪、Contourlet自適應閾值去噪算法得到的PSNR值明顯要高，但噪聲增強后去噪效果變差；由圖3可以看到，在保留圖像細節的同時，該方法有效地去除了發絲狀的Gibbs失真，在Lena的臉部、辣椒蒂附近、桌子腳周圍處效果更突出。相對其他方法，幾種圖像中的Barbara去噪效果改善稍差，這與圖像本身特征有關。

2 結 論

文中結合BayesShrink閾值去噪，在研究NSCT特性基礎上，提出了一種基于非下采樣Contourlet子帶自適應Bayes圖像去噪方法。利用NSCT平移不變性、多分辨率、多方向的特點，能夠根據NSCT系數在各個尺度各個方向的能量，自適應調整去噪閾值。實驗的結果證明，該算法在圖像去噪上能獲得更好的視覺效果和更高的峰值信噪比。同時需要指出的是，利用非采樣Contourlet變換雖然能夠取得優于基于Contourlet變換的融合效果，但是非采樣Contourlet變換的算法復雜度更高、計算耗時長，因此如何提高運算速度還需要進一步的研究。

表1 不同去噪方法去噪PSNR值對比Tab.1 PSNR with different denosing methods

圖3 圖像 Lena、Peppers、Barbara去噪效果Fig.3 Denoising results for “Lena”image、“Peppers”image、“Barbara”image

[1]Donoho D L.De-noising by soft-thresholding[J].IEEE Trans on IT，1995，41（3）:613-627.

[2]Do M N，Contourlets V M.A directional multiresolution image representation [C]//International Conference on Image Processing，2002（1）：357-360.

[3]Cunha A L，ZHOU Jian-ping，Do N M.The nonsubsampled contourlet transform:theory，design，and application[J].IEEE Trans.on Image Processing，2006，15（10）:3089-3101.

[4]Duncan D Y，Do M N.Directional multiscale statistical modeling of images using the contourlet transform[J].IEEE Trans Image Proc，2006，15（6）:1610-1620.

[5]Do M N，Vetterli M.Pyramidal directional filter banks and curvelets[C]//Proceedings of International Conference on Image Processing，2001：158-161.

[6]YANG Fan，ZHAO Rui-zhen，HU Shao-hai.Adaptive algorithm for image denoising based on corrlation properties of contourlet coefficients[J].Acta Optica Sinica，2009，29（2）:358-361.

[7]ZHANG Qiang，GUO Bao-long.Remote sensing image fusion based on the nonsubsampled contourlet transform[J].Acta Optica Sinica，2008，28（1）:74-80.

[8]Cunha A L，Zhou J，Do M N.The nonsubsampled contourlet transform:Theory，design，and applications[J].IEEE Trans Image Proc，2006，15（10）:3089-3101.

[9]郭雷，劉坤.基于非下采樣Contourlet變換的自適應圖像融合算法[J].西北工業大學報，2009，27（2）:255-258.

GUO Lei，LIU Kun.ApplyingNSCT （Nonsubsampled Contourlet Transform）theory to achieving effective image fusion[J].Journal of Northwestern Polytechnical University，2009，27（2）:255-258.

[10]劉哲.基于非下采樣輪廓小波變換的圖像去噪[J].光電子·激光，2009，20（7）:954-958.

LIU Zhe.Image denoising via nonsubsampled wavelet-based contourlet transform[J].Journal ofOptoelectronics.Laser，2009，20（7）:954-958.

[11]何力，曲仕茹，張大奇.基于非下采樣Contourlet系數尺度相關性的圖像增強算法[J].西北工業大學學報，2010，28（1）:42-46.

HE Li，QU Shi-Ru，ZHANG Da-qi.Image enhancement based on inter-scale correlationsofnonsubsampled contourlet coefficients[J].JournalofNorthwesternPolytechnicalUniversity，2010，28（1）:42-46.

[12]楊鵬.一種基于非下采樣Contourlet變換的子帶自適應閾值去噪方法[J].西北大學報：自然科學版，2010，40（2）:251-255.

YANG Peng.Image denoising use adaptive threshold by subband in nonsubsampled Contourlet domain[J].Journal of Northwest University：Natural Science Edition，2010，40（2）:251-255.

[13]劉國金，曾孝平，劉刈.基于非下采樣Contourlet變換和圖正則化去噪[J].計算機應用，2010，30（6）:1556-1558.

LIU Guo-jin，ZENG Xiao-ping，LIU Yi.Image denoising based on graph regularization and nonsubsampled Contourlet transform[J].Journal of Computer Applications，2010，30（6）:1556-1558.

[14]陳建軍，田逢春，邱宇，等.基于非下采樣Contourlet和擴散的圖像去噪[J].計算機工程，2010，36（14）:185-189.

CHEN Jian-jun，TIAN Feng-Chun，QIU Yu，elat.Image denoising based on nonsubsampled contourlet and diffusion[J].Journal of Computer Engineering，2010，36（14）:185-189.

[15]Chang S G，Yu B，Vetterlim M.Adaptive wavelet thresholding for image denoising and compression[J].IEEE Trans.Image Proc，2000，9（9）:1532-1546.