非線性電報方程行波解的定性分析與求解

李 想, 張衛國, 趙 巖

(1.上海理工大學理學院,上海 200093;2.南京信息工程大學數理學院,南京 210044)

非線性電報方程行波解的定性分析與求解

李 想1, 張衛國1, 趙 巖2

(1.上海理工大學理學院,上海 200093;2.南京信息工程大學數理學院,南京 210044)

利用平面動力系統的理論和方法研究了非線性電報方程的有界行波解.分析結果表明,非線性電報方程有且僅有兩個有界行波解,并且當耗散作用較大時非線性電報方程的有界行波解呈扭狀孤波解形式,而當耗散作用較小時呈衰減振蕩解形式.在此基礎上,利用假設待定法求出了對應耗散作用較大時方程的一種扭狀孤波解的精確解,以及對應耗散作用較小時方程的衰減振蕩解近似解.進一步運用齊次化原理,建立反映衰減振蕩解精確解和近似解關系的積分方程,得到了衰減振蕩近似解的誤差估計.

非線性電報方程;平面動力系統;衰減振蕩解;近似解;誤差估計

1 問題的提出

非線性電報方程[1]

是在鋪設大西洋電纜時發現的,它在電報信號傳輸中有很大的應用.不僅如此,方程(1)還可以描述血液在動脈中的脈動所產生的壓力等.

近來有許多學者對方程(1)進行了研究.當r=0時,方程可化為

此時系統為保守系統,方程(2)同時也包含物理學上很多著名的方程,如Sin-Gordon方程和Sinh-Gordon方程的近似方程、Φ4方程、Klein-Gordan方程、Laudau-Ginzburg-Ginzburg-Higgs方程和Duffing方程.文獻[2-6]中用待定假設方法和齊次平衡法求出了其精確鐘狀和扭狀孤波解.

由于在實際應用中耗散是不可避免的,因而研究r≠0的情況十分必要.從已有文獻可知,方程(1)存在扭狀孤波解,如文獻[3-6]利用待定系數法和齊次平衡法等已求出了其扭狀孤波解;最近,文獻[7]得到了Fourier級數表示的整體解和長時間整體漸近解,并指出其按指數衰減;文獻[8]利用不動點原理研究了耦合的非線性電報方程組,證明了其至少有3個非負周期解.

然而方程(1)究竟存在多少有界行波解,是否有解仍未求出,對于那些未求出的、且有重要應用的解該如何求出,筆者將首先利用平面動力系統理論對非線性電報方程(1)的行波解對應的動力系統作全面的定性分析,畫出全局相圖,進而研究方程(1)有界行波解的個數和所有可能存在的解形式(包括鐘狀孤波解、扭狀孤波解和衰減振蕩解);其次分析耗散作用的大小對方程(1)有界行波解性態的影響,并給出兩個反應耗散作用大小的臨界值,當|r|大于或等于某臨界值時,方程(1)的行波解表現為扭狀孤波解,當|r|小于某臨界值時,方程(1)的行波解表現為衰減振蕩解.在此基礎上,給出方程(1)有界行波解的表達式,包括一種扭狀孤波解的精確表達式,以及衰減振蕩解近似解的表達式;最后給出衰減振蕩解近似解的誤差估計.這項工作的最大難點是只知近似解,而未知其對應的精確解.為克服這一困難可運用齊次化原理,建立反映衰減振蕩解精確解和近似解關系的積分方程,得到衰減振蕩解的誤差估計.

2 定性分析

設方程(1)有行波解u(x,t)=u(ξ)=u(xct),則其滿足

令x=u(ξ)和y=u′(ξ),將方程(1)化為如下等價的平面動力系統

由于系統(4)有限遠奇點的個數是由f(x)?x3+px=x(x2+p)=0的實根個數決定的,本文只研究方程(1)的有界行波解,故以下始終假定p＜0.這樣,系統(4)有3個有限遠奇點

為方便討論起見,記Di=-f′(x i),i=1,2,3.

利用平面動力系統的理論和方法[9,10],從有限遠奇點、無限遠奇點和極限環的存在性3個方面對系統進行定性分析.不失一般性,討論時假設＜0,于是得到命題1～3.

命題1系統(4)有3個不同的有限遠奇點,其類型如下:

a.當＞0時,由于det(J(x2,0))=＜0,det(J(x i,0))=-2＞0,i=1,3,且r-＜0,故P2為鞍點,P1和P3在D1=D3＞0時都為不穩定結點,而在D1=D3＜0時都為不穩定焦點.

b.當＜0時,由于det(J(x i,0))=-2＜0,i=1,3,det(J(x2,0))=p b-＞0且＜0,故P1和P3為鞍點,P2在D2＞0時為不穩定結點,在D2＜0時為不穩定焦點.

命題2對系統(4)作Poincaré變換后可得,系,顯然,x i(i=1,2,3)是f(x)=0的實根,且在x軸上表現為x1≤x2≤x3,其中,x1,x3關于原點對稱.

系統在P i(i=1,2,3)處的雅可比矩陣記為統(4)僅在y軸上存在一對無窮遠奇點A i(i=1,2),其中,A1在y軸的正方向上,A2在y軸的負方向上.當＞0時,A i(i=1,2)周圍各存在一個雙曲型區域;當b-＜0時,A i(i=1,2)周圍各存在一個橢圓型區域.此外,Poincaré圓盤的圓周為軌線.

結合前面3個命題,同時為以后說明方便,分別給出=0和＜0時,系統(4)在不同條件下的全局相圖,如圖1和圖2所示.

圖1 =0時的全局相圖Fig.1 Global phase portrait in case of=0

圖2 ＜0時的全局相圖Fig.2 Global phase portrait in case of＜0

由圖1和圖2可知,系統(4)有且僅有兩條異宿軌L(P i,P2)或L(P2,P i),i=1,3,因系統(4)的有界軌線對應于方程(1)的有界行波解,故可得定理1.

定理1方程(1)有且僅有兩個有界行波解.其中,圖1(a)中同宿軌L(P2,P2)分別對應兩個鐘狀孤波解;圖1(b)中異宿軌L(P1,P3)和L(P3,P1)、圖2(a)中異宿軌L(Pi,P2)(i=1,3)和圖2(c)中異宿軌L(P2,P i)(i=1,3)分別對應兩個扭狀孤波解;圖2(b)中異宿軌L(Pi,P2)(i=1,3)和圖2(d)中異宿軌L(P2,P i)(i=1,3)分別對應兩個振蕩行波解.

3 有界行波解的性態與耗散系數r之間的關系

由前面的定性分析知,P2是鞍點,Pi(i=1,3)是不穩定奇點,且系統(4)在(x,y)平面上存在軌線L(Pi,P2)(i=1,3)(見圖2(a),圖2(b)).因當ξ→-∞時,L(Pi,P2)(i=1,3)分別趨于Pi(i=1,3),當ξ→+∞時,L(P i,P2)(i=1,3)均趨于P2,又x=u(ξ)和y=u′(ξ),故方程(3)不存在滿足u(-∞)=u(+∞)的有界解,只可能存在滿足以下兩種情況的有界解:

情況1u(-∞)=x1,u(+∞)=0;

情況2u(-∞)=x3,u(+∞)=0.

即方程(5)只可能存在滿足下列情況的有界解:

情況3V(-∞)=0,V(+∞)=w;

情況4V(-∞)=1,V(+∞)=w.

a.當＜0,＜r1,方程(5)存在單調上升的有界解V(ξ)滿足情況3.

b.當＜0,r1＜＜0,方程(5)存在振蕩解V(ξ)滿足情況3.

進一步轉化到方程(1)中,定理立即得證.

證明證明過程類似定理2.

以方程(1)對應圖2(d)焦-鞍軌線L(P2,Pi),i=1,3的振蕩行波解為例進行討論,對于圖2(b)中的振蕩行波解的衰減性可類似得到.

a.方程(1)對應圖2(d)中軌線L(P2,P1)的振蕩行波解u(ξ)存在最小值點.該解在的右側具有單增性,而在其左側具有衰減性,即在ξ軸上存在無窮可數個極大值點(i=1,2…,+∞)和極小值點(i=1,2,…,+∞),使得

b.方程(1)對應圖2(d)中軌線L(P2,P1)的振蕩行波解u(ξ)存在最大值點.該解在的右側具有單減性,而在其左側具有衰減性,即在ξ軸上存在無窮可數個極大值點(i=1,2,…,+∞)和極小值點(i=1,2,…,+∞),使得

b.證明過程類似a.

綜上所述,方程(1)有界行波解的性態由耗散作用的大小決定.當耗散作用較大,即|r|大于某臨界值時,方程(1)的有界行波解表現為扭狀孤波解;當耗散作用較小,即|r|小于某臨界值時,方程(1)的有界行波解表現為衰減振蕩解.

4 有界行波解

4.1 鐘狀和扭狀孤波解

利用文獻[12]中的方法,分別將

代入到方程(2)中,進行數值計算,可得定理5～7.

容易驗證,定理5中所給兩個解分別對應圖1(a)中的同宿軌L(P2,P2);定理6中所給兩個解對應圖1(b)中的同宿軌L(P1,P3)和L(P3,P1);定理7中所給兩個解式(13)和式(14)分別對應圖2(a)中的同宿軌L(P1,P2)和L(P3,P2).

4.2 衰減振蕩解的近似解

近似表示方程(1)對應焦-鞍軌線L(P2,P3)的衰減振蕩解的振蕩部分.

將式(11)代入方程(1),略去eα(ξ-ξ0)的高階項后,可得

當ξ→-∞時,由于式(11)趨于x2=0,故C=0.進一步,可得

因無論B取正值還是負值,A2sin(Bξ)的值均相同,故以后始終假設B＞0.立即有如下定理:

其中,u*(ξ),B,A2分別由式(7)、式(14)、式(13)給出.

其中,u*(ξ),B,A2同上.

顯然,β1,c1和c2分別與定理8中的B,A1和A2相等

因衰減振蕩解是有界解,故存在M＞0使得|u(ξ)|＜M.進一步,由式(27),得

式(21)是方程(1)衰減振蕩解的振幅估計.由式(21),易見隨著ξ＜0的不斷減小,u(ξ)將不斷接近0.

最后,由式(20)和式(21),得

式(30)表明,方程(1)對應圖2(d)中焦-鞍軌線L(P2,P3)的衰減振蕩解的近似解式(15)與真解間的誤差不超過

[1] FARLOW SJ.Partial Differential Equations for Scientists and Engineers[M].New York:Wiley Interscience,1982.

[2] 張衛國.幾個非線性演化方程的解析解[J].數學研究與評論,1992,12(3):421-426.

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Qualitative analysis and traveling wave solutions of nonlinear telegraph equation

LIXiang1, ZHANGWei-guo1, ZHAOYan2
(1.College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China;2.Mathematics Department,Najing University ofⅠnformation Science and Technology,Nanjing 210044,China)

Bounded traveling wave solutions of nonlinear telegraph equation were discussed by use of the theory and method of planar dynamical systems.The results indicate that the nonlinear telegraph equation has only two bounded traveling wave solutions.When the dissipation effect is strong,the bounded traveling wave solutions of nonlinear telegraph equation appear as kink solitary wave solutions;and when it is weak,they appear as damped oscillatory solutions.Based on the above discussion,a kink solitary wave solution corresponding to the strong dissipation effect,and approximate damped oscillatory solutions corresponding to the weak dissipation effect were obtained by using undetermined coefficients method.Furthermore,base on homogenization principle,the error estimates of approximate damped oscillatory solutions were given by establishing the integral equations reflecting the relations between exact solutions and approximate solutions.

nonlinear telegraph equation;planar dynamical systems;damped oscillatory solutions;approximate solutions;error estimate

O 175.2

A

1007-6735(2011)04-0372-07

2010-04-28

國家自然科學基金資助項目(11071164);上海市重點學科建設資助項目(S30501);上海市自然科學基金資助項目(10ZR1420800)

李 想(1986-),女,碩士研究生.研究方向:非線性系統的理論與應用.E-mail:lixiang278361999@sina.com張衛國(聯系人),男,教授.研究方向:非線性系統的理論與應用.E-mail:zwgzwm@yahoo.com.cn