封堵潰口的重物落水后運動過程分析

胡多海

(南京財經大學 應用數學學院，江蘇 南京 210046)

封堵潰口的重物落水后運動過程分析

胡多海

(南京財經大學 應用數學學院，江蘇 南京 210046)

封堵潰口的重物落水后的運動是一個非常復雜的過程.在合理假設的基礎上進行過程分析及其影響因素分析,利用經濟學中控制變量分析的方法和MATLAB軟件進行數據分析和挖掘.結果表明重物落水后的運動過程與封堵潰口材料、投放封堵材料的高度、水流速度、物體投放方式等因素有關,并得出重物運動過程的函數關系式.

封堵潰口；重物落水運動過程；影響因素；運動方程

Abstract:The falling-into-water movement of crevasse-blocking object is a complex process. Based on logical hypothesis, the paper analyses the process and its influence factors. The approach of variable control in economics is applied; the data are analyzed by MATLAB. It indicates that the movement is related to materials of the object, its height, velocity of current and casting method.Therefore the functional expression for object motion is formulated.

Key words:crevasse-blocking; movement; influence factors; movement equation

我國是水患頻發的國家，洪災給人民生命、財產造成重大損失，尤其是近一段時間潰壩、泥石流險情給人們留下深刻的教訓.因此，有效地開展封堵潰口的相關研究迫在眉睫.由于潰壩潰堤的高度危害性、不可重復性和經濟損失很大，無法通過相關實物試驗去研究封堵重物落水后的運動過程，只能通過理論分析和小型試驗獲取相關數據的方法進行研究，特別是小型試驗具有客觀、經費少、風險小、時間短、易重復、條件可以改變等優點.

1 重物落水后運動過程影響因素分析

重物在流動的水中運動是一個非常復雜的過程.此過程的影響因素有很多，根據實驗改變的因素分別分析某一變量對運動過程的影響，就重物的組成材料、重物的形狀、投放方式、水流速度、重物在空中的投放高度等因素來分析其對重物落水后運動過程的影響.本文設計的小型試驗選取幾種不同形狀的重物、四種不同速度的水流、在三種不同的高度多次重復試驗.

假設水流速度為均勻不變的;重物在水中的運動過程中不發生翻轉、側轉;水的密度為純水密度并保持不變;重物觸底后穩定.以傳統的方法來研究各因素對重物在水中運動的影響，即在眾多影響因素中保持其它因素不變，單一地改變某一因素，以確定這一因素對其的影響.下面以已知試驗方案為例來分析.

1) 堵口重物組成材料.堵口的材料有很多，大致分為就地取材類、預制塊體類、框架組合類和浮體沉箱類[1].各類堵口材料各有優缺點及適應性.在截流或潰決過程中，水流速度是時刻變化的，最大流速具有一定的模糊性，在模型試驗方面，根據多種形式的重物抗沖性觀測，下面選用預制塊體類，且屬于微型混泥土，材質為振搗結實的砂漿，其抗壓強度能達到試驗要求，密度為2 300 kg/m3.

2) 堵口重物的形狀.在堵口材料中選用預制塊體類，而屬于這類的材料形狀千變萬化，因此材料的形狀也是要考慮的因素之一.形狀一般有:小空心蜂巢、大空心蜂巢、小實心蜂巢、大實心蜂巢、大三角錐、小空心方磚、大空心方磚、小實心方磚、大實心方磚、小三角錐等.下面以水流速度為v=0.34 m/s，投放高度h=5 cm，投放方式平放為不變條件，分別以小空心立方體、小空心蜂巢、小實心方體、小實心蜂巢為例來分析重物形狀對其在水中運動過程的影響.利用MATLAB軟件，對第七屆研究生數學建模競賽B題[2]提供的實驗數據進行了程序實現，得到不同材料的重物在水中的運動過程見圖1.從圖1可以看出，重物在水中的運動受重物形狀的影響.

3) 投放方式.保持投放高度、水流速度等因素不變，分別把重物以平放、豎放及立放進行試驗.以投放高度h=5 cm，水流速度為v=0.34 m/s，分別以平放、豎放、立放方式進行試驗，所得結果見圖2，從圖2可以看出投放方式對重物在水中的運動過程有影響.

以堵口材料為大實心方磚，投放方式為平放作為條件進行試驗，試驗步驟及過程按照競賽題中第一組次、第二組次、第三組次及第四組次的條件進行.利用MATLAB軟件進行數據處理分別得圖3至圖6結果.

圖1 不同材料的重物在水中的運動過程

圖2 投放方式不同的重物在水中的運動過程

圖3 第一組次

圖4 第二組次

圖5 第三組次

圖6 第四組次

4) 水流速度.由以上試驗方案，根據各組次之間的條件和結果可知水流速度對重物落水后運動過程的影響.

5) 重物投放高度.在以上各組次試驗中，每一組次中的三種工況都是在相同的水流速度條件下，以不同的投放高度開始投放重物進行試驗的.從圖3-6可以看出重物投放高度對重物落水后運動過程的影響.

2 重物落水后運動過程分析

從飛機投放重物、重物進入流體直至重物觸底的整個過程分為三個過程:①飛機投出重物到重物剛接觸水面，這個過程忽略風速對重物的影響,同樣不考慮空氣對重物下落的阻礙作用，所以視這個階段的重物運動為自由落體運動，從而可知投放的高度直接決定了重物接觸到水面這一刻的瞬時速度;②重物接觸水面到重物完全浸沒在水里.這一過程比較復雜，因為水對重物的浮力是一個變化的，也就是說物體受到的合外力是變化的，加速度是變化的，同樣速度也是變化的，為了研究問題的方便同時又不會影響太大，本文做出了合理的假設進而研究該問題;③重物完全浸入水中到重物觸底.這一過程的運動情況是研究的重點.

1) 過程①的分析.在這個過程中由于重物的密度比較大，同時體積又不太大，可以忽略空氣、風速等因素影響，僅僅考慮重物所受重力作用，所以這個過程可以視為一個自由落體運動，假設重物投放高度為h，從重物投出到剛接觸水面所用的時間為t1，此時重物速度為v1，由重力加速度公式有所以

2) 過程②的分析.這一過程中水對物體的浮力是變化的，因為排開水的體積是一個從0到1的連續變化過程，由于物體的高度是一個很小的值，也就是說這個過程所經歷的時間是很短的，為了研究問題的方便而且對結果不會產生很大影響，假設在受力分析時視浮力為一個定值，整個過程中浮力用完全浸入水中的浮力，也就是最大浮力的平均值來代替，即，式中:F1為浮力;1為水的密度;V1為物體體積.物體完全浸入水中的過程是研究的重點，也是研究的難點，物體在水中的運動所受的水流作用力的影響因素有很多，為了研究的需要主要考慮的有[3]:水流的速度v，流體的動力粘滯系數μ，邊界層厚，水深H，重物與水底距離d，重物寬度b，高度s，順水流方向上的長度l，另外，有時還考慮到物體迎流面的法線方向與流體方向的夾角.因此水流作用力可表達為[3]

式中:CD和CL分別為拖拽力系數和上舉力系數;v為水流速度，A1為塊體在垂直于來流方向的投影面積，A2為塊體在來流方向的投影面積，對球體而言，可取A1=A2，而偏離球體的塊體，A1與A2的取值不同;塊體最低部位到床面的距離d與水深H的比值d/H計入作用力系數CD、CL.由式(2)得到CD和CL的表達式為[5]

水平方向:重物剛接觸水面時水平方向的速度為0，在與水接觸以后，在水平方向上受到水流的沖擊，產生拖曳力，這時的拖曳力是變化的，因為，其中A1是變化的，同樣是從0到1的變化過程，根據上面的面積變化同樣的思想，不妨設，需要說明的是這時v是一個相對速度(水和物體之間的相對速度).因為這個公式在物體相對與地面是靜止時才能用[6].所以這里要考慮一個相對速度，由于物體剛接觸水面水平速度非常小，而且這個過程所經歷的時間很短，為了研究的需要可以認為v就是原來水相對于地面的速度.從物體接觸水面到完全進入過程所需時間為重物進水后的水平速度為

3) 過程③的分析.當物體完全浸入水中，對于方磚來說前后方的力相互抵消了，故只需研究二維的上下方、左右方受力情況，進而分析運動的狀態即可.把運動分解成兩個分運動，要分析運動就要研究該物體受力情況，雖然力不是維持物體運動的原因，但是力可以改變物體運動，所以還是要對力進行研究，同樣把力也分解成二維的，一個是水平方向的，另一個是豎直方向的.

豎直方向:水是一個理想的流體.為了便于研究的需要，只考慮重物受到兩個力的作用，在豎直方向上水的浮力是向上的，物體自身的重力是向下的，對于任何系統的機械運動都必須服從牛頓第二定律(F=ma)，所以是有

水平方向:把水和方磚看成一個運動系統，不受外力的作用，動量保持不變，系統內部的動量可能發生轉移，也就是說一個物體的動量減少必然等于另一個物體的動量增加，根據動量守恒定律同時利用高等數學的微分知識來列方程，為

豎直方向上解微分方程⑺得

且有F1=1gV1，這里的重物為大實心方磚，根據已知條件算得m1=0.588 8 kg，V=0.000 256 m3.當t=0時y=0，可以解得c2=0.

綜上所述，建立了重物落水后運動軌跡坐標(x，y)的橫坐標x與時間t以及縱坐標y與時間t之間的關系式:因而，只要給定時間t，根據模型就可以知道重物的位置.

3 結 論

利用基本的試驗理論原理，通過試驗記錄相關數據，根據MATLAB軟件進行數據處理，得出重物落水后運動過程的影響因素為重物組成材料、重物形狀、重物投放方式、投放高度以及水流速度等.最后給出運動過程橫縱坐標隨時間變化的函數關系式.

[1] 洪娟. 堵口料體及其應用技術研究綜述[J]. 人民黃河,2009,31(8):20-22.

[2] 2010年第七屆全國研究生建模競賽試題[EB/OL]. (2010-09-17)[2010-10-28] http://downLoad.csdn.net/source/2700991.

[3] 孔瓏. 流體力學[M]. 北京:高等教育出版社,2003:99-118.

[4] 陳小兵.水力學[M]. 北京:中國水利水電出版社,2004:70-98.

[5] JAMAL M S.立體力學手冊[M]. 鄧敦夏,譯. 北京:中國石化出版社,2004:469-496.

[6] 李霞. 基于動網格的物體下沉運動的二維數值模擬[J]. 港工技術,2010,47(1):4-7.

(責任編輯: 沈鳳英)

Analysis of Falling-into-water Movement of Crevasse-blocking Object

HU Duo-hai
(School of Applied Mathematics, Nanjing University of Finance and Economics, Nanjing 210046, China)

O35

A

1008-5475(2011)01-0053-05

Evett[4]等人的計算公式

2010-11-05;

2010-12-14

胡多海(1984-),男,安徽安慶人,碩士生,主要從事非線性分析及經濟應用研究.