標量擬解析近似方法模擬立方體的異常電場

張金會，孫建國，張亞東

(1．吉林大學 地球探測科學與技術學院，長春130026 2．國土資源部 應用地球物理綜合解釋理論開放實驗室，長春130026;3．安徽省勘查技術院，蚌埠233005;4．長慶油田公司勘探部，西安710021)

標量擬解析近似方法模擬立方體的異常電場

張金會1，2，3，孫建國1，2，張亞東4

(1．吉林大學 地球探測科學與技術學院，長春130026 2．國土資源部 應用地球物理綜合解釋理論開放實驗室，長春130026;3．安徽省勘查技術院，蚌埠233005;4．長慶油田公司勘探部，西安710021)

擬解析近似方法是一種求解積分方程的一種近似方法，它可以處理強散射或者大擾動的電磁散射問題，在計算過程中避免了傳統微分數值方法解決問題時所遇到的大型矩陣或大型代數方程組的求解。孫建國［5]將其引入直流電場的積分方程中，并給出了求解異常電場積分方程的標量擬解析近似公式。在以前的研究中，已經驗證了均勻場中異常球體的擬解析近似解的精度，這里對均勻場中的立方體異常體進行數值模擬，得到了直流電場中異常立方體模型的標量擬解析近似解。由于復雜地電模型可以用立方體的組合進行模擬，因此對立方體異常電場擬解析近似解的研究，為三維直流電場中復雜地電模型的快速正反演模擬打下了基礎。

積分方程;擬解析近似;直流電場;立方體

在2005年J．Sun推導出直流電場的標量擬解析近似的理論公式基礎上，作者用標量擬解析近似對均勻場中的異常立方體進行研究。不同的立方體的組合，可以對復雜異常體進行模擬。當有多個異常體組合模擬復雜異常體時，異常立方體直接的異常電場會受到其它異常體所產生的二次場的影響，因此在進行模擬時，還要考慮異常體所產生的二次場之間的相互影響。作者對單獨異常體的擬解析近似方法研究，為復雜地電模型的研究打下了基礎，為三維直流電場中的復雜異常的正反演模擬奠定算法基礎，可以加快三維電法勘探的進程，具有較高的實際意義。

1 基本方程及公式

J．Sun在其文章中給出標量擬解析近似方法的理論公式，作者利用其理論公式，推導得到擬解析近似方法在實現過程中的具體實現細節部份。

在進行三維異常體數值模擬時，積分采用三維高斯積分進行計算，并對積分中出現的格林函數的奇異性進行了處理，采用處理方法簡單，不增加運算量的挖去法［18]，在控制挖去小體積限度的基礎上，得到了很好的計算效果，實現了擬解析近似方法在直流電場模擬中的應用。

一次場中異常體內部二次直流電場的積分方程［13]為:

異常體外部的積分方程［13]為:

在上面的方程中Ω表示異常體，ja(r)為二次電流密度，由式(3)給出:

其中EBa(r)為Ea(r)的Born近似;(r'，r)為并矢格林函數，由式(7)給出

J．Sun［13]于2005年通過假設電反射張量為0階張量，令:

其中 Ι為單位張量，得到了方程(4)的解:

通過對式(11)進行整理，可以得到:

在式(12)中

將式(12)代入到式(1)中，可以得到:

將式(14)得到的Ea(r)代入式(3)，可以得到ja(r)，將ja(r)代入式(2)中，即可得到異常體外部的異常電場:

通過方程(4)，我們可以建立擬解析近似的迭代方程(16)［13]:

其中m是迭代數。令

利用方程(16)，當異常體電導率同圍巖相比變化劇烈，即大擾動時，擬解析近似解不能得到想要的結果，我們可以通過式(16)的擬解析近似的迭代解得到滿意的結果。在一般情況下，迭代次數m在不超過5的情況下，我們就能得到滿意結果。

2 標量擬解析近似立方體異常體電場值計算

很多礦體可以由立方體組合進行近似，選取立方體異常進行研究，得到的異常體為立方體時的異常電場。在研究中給定異常體為立方體，利用標量擬解析近似方法進行計算，求出異常電場的擬解析近似解，并與Born近似解進行比較，選取的均勻場場源中的異常立方體進行計算。立方體邊長為100 m，中心坐標為(0 m，0 m，0 m)，通過背景介質和異常電導率變化，可以得到不同的模型。異常體外部異常電場計算點，關于立方體中心對稱分布在z=400 m處沿x方向。針對六種不同背景介質電導率與立方體異常電導率的模型，分別進行計算均勻場中不同電導率的外部電場。地電模型見圖1。

圖1 均勻場中異常立方體模型示意圖Fig．1 Model of anomalous cube in the uniform field

針對于均勻場中的異常立方體，我們進行了下面幾組不同電導率的模型的試算。

(1)從下頁圖2、圖3可看出Born近似解與擬解析近似解相差很小，與異常球體表現出的現象相同。

(2)后面的圖4、圖5都是高阻立方體。由異常體引起的電場的Born近似解與擬解析近似解相差很大，這是由于Born近似解沒有考慮二次電場對異常電場的影響。當二次電場對異常電場影響較大時，使得擬解析近似解的數值較Born近似解高。

(3)圖2至圖7(見后面)中的曲線，給出了均勻場中不同背景的電導率，與異常電導率立方體模型的異常電場Ea的x、z分量。由均勻場中的球體的計算結果分析，可以得出圖中的擬解析近似解比Born近似解更接近實際結果。

3 結論

積分方程法具有直接對異常體區域進行數值積分的優點，避免了傳統數值方法解決問題時所遇到的求解大型矩陣或大型代數方程組。利用標量擬解析近似方法可以對直流電場的積分方程進行求解，作者在本文對異常體為立方體時的異常電場進行了標量擬解析近似數值模擬，該方法對于其它形狀的異常體也同樣可以適用，如橢球體、圓柱體等。作者通過對均勻場中的異常立方體進行的標量擬解析模擬，表明標量擬解析近似方法具有很強的適應性。當異常體電導率變化較大時，可以通過對標量擬解析近似解進行迭代仍可以達到很好的效果，這表明該方法可以用于大擾動問題的模擬。立方體異常體的空間組合可以用來模擬復雜分布的地下礦體，本文作者對立方體異常的擬解析近似研究，為解決復雜地電模型提供了借鑒，初步表明了該方法具有處理復雜地電結構的模型的能力。作者通過對直流電場標量擬解析近似方法實現的研究，為三維直流電場的快速正反演模擬，提供了快速的精確度高的數值模擬方法。

圖2 σ0=1．0 S，σa=0．01 S時異常電場曲線圖Fig．2 Whileσ0=1．0 S，σa=0．01 S，the anomalous electrical field curves

圖3 σ0=1．0 S，σa=0．01 S時異常電場曲線圖Fig．3 Whileσ0=1．0 S，σa=0．1 S，the anomalous electrical field curves

圖4 σ0=1．0 S，σa=－0．9 S時異常電場曲線圖Fig．4σ0=1．0 S，σa=－0．9 S，the anomalous electrical field curves

圖5 σ0=1．0 S，σa=－0．99 S時異常電場曲線圖Fig．5σ0=1．0 S，σa=－0．99 S，the anomalous electrical field curves

［1]HABASHY T M，GROOM W R，SPIESR B．Beyond the Born and Rytov Approximations:A Nonlinera Approach to Electromagnetic Scattering［J]．Journal of geophysical research，1993，98(B2):1759．

［2]ZHDANOV M S，FANG S．Quasi－liner approximation in 3－D eledtromagnetic modeling［J]．Geophysics，1996，61(3):646．

［3]ZHDANOV M S，FANG S，HURSAN G．Electromagnetic inversion using quasi－linear approximation［J]．Geophysics，2000，65(5):1501．

［4]ZHDANOV M S，DMITRIEV V I，FANG S，et al．Quasi－analytical approximations and series in electromagnetic modeling［J]．Geophysics，2000，65(6):1746．

［5]孫建國．聲波散射數值模擬的兩種新方案［J]．吉林大學學報:地球科學版，2006:863．

［6]劉寧，孫建國．起伏地表條件下的聲波散射數值模擬的積分方程法［J]．吉林大學學報:地球科學版，2007:61．

［7]陳麗虹，孫建國，王忠仁．擬線性近似方法在2_5維電阻率正演中的應用［C]．中國地球物理學會第十七屆學術年會，昆明:云南科技出版社，2001．

［8]陳麗虹，孫建國．地球物理反演的擬線性近似方法綜述［J]．地球物理學進展，2002，17(3):464．

［9]孫建國．穩定電流場的電位反射函數［C]．中國地球物理學會第十九屆年會．南京:南京師范大學出版社，2003．

圖6 σ0=0．1 S，σa=0．9 S時異常電場曲線圖Fig．6σ0=0．1 S，σa=0．9 S，the anomalous electrical field curves

圖7 σ0=0．01 S，σa=0．99 S時異常電場曲線圖Fig．7σ0=0．01 S，σa=0．99 S，The anomalous electrical field curves

［10]孫建國．穩定電流場數值模擬的擬線性近似［C]．中國地球物理學會第二十屆年會，西安:西安地圖出版社，2004．

［11]陳麗虹，孫建國．穩定電流場的擬線性近似方法研究［J]．石油地球物理勘探，2004，39(5):589．

［12]孫建國．直流電位場數值模擬的擬解析法［C]．中國地球物理學會第二十屆學術年會，西安:西安地圖出版社，2004．

［13]SUN J．On the electrical reflectivity tensor in d．c electric field modelling［J]．Geophysical Prospecting，2005(53):411．

［14]孫建國．穩定電流場擬解析近似精度分析［C]．中國地球物理學會第二十一屆年會．長春:吉林大學出版社，2005．

［15]孫建國．穩定電流場擬解析近似的數值評價［C]．中國地球物理學會第二十二屆年會，成都:四川科學技術出版社，2006．

［16]傅良魁．電法勘探教程［M]．北京:地質出版社，1983．

［17]張金會，孫建國．直流電場擬解析近似精度分析與評價［C]．中國地球物理學會第二十四屆年會．北京:中國大地出版社，2008．

［18]張金會，孫建國．格林函數的奇異性處理［J]．地球物理學進展，2009，24(6):2106．

P 631.3

A

1001—1749(2011)02—0147—06

0 前言

國家自然科學基金項目“40574052”;國家高技術研究發展計劃(863)(2006AA06Z109);國家重點基礎研究發展計劃(973)(2007CB209603)

2010－09－28改回日期:2010－12－27

張金會(1980－)，男，河北衡水人，博士，研究方向為直流電場模擬。

近年來我國資源形勢日益嚴峻，大規模的經濟建設對金屬礦的需求越來越大，對于資源的需求應該立足于國內，因此要加大國內金屬礦勘探的力度。在金屬礦勘探中，電法勘探占有重要地位，研究直流電場快速數值模擬，對于推進電法勘探的發展有著重要的意義。三維直流電場數值模擬的方法很多，大致可以分為微分方法和積分方法。在傳統的數值方法中，都會遇到大型矩陣或求解大型線性代數方程組的問題，這對計算機硬件要求高，計算周期長。尤其是在復雜地質條件下，這些問題更為突出，所以尋求快速精確的數值模擬方法，一直是地球物理工作者的研究重點。積分方程法在解決三維直流電場問題中有其優點，如積分方程法只需對異常體進行計算，而不需要對背景區域進行計算，微分方程法在計算過程中存在誤差累積并傳遞到下一次迭代中，而積分方程法不存在誤差的累積和傳遞。基于這些優點，前人對積分方程法進行了很多的研究。T M Habashy等［1]提出用局部非線性近似方法，對電磁場問題進行研究，但這種方法運算復雜不適于實際應用推廣。Zhdanov等［2]受到TM Habashy的局部非線性近似方法的啟發，在遇電磁場散射場問題時提出了擬線性近似方法求解散射場的積分方程。這種方法通過假設異常電場Ea(r)與正常電場E0(r)之間是由電反射張量聯系起來的擬線性關系，即:。簡化了電磁散射的積分方程，從而可以提高計算速度，電反射張量由最優化的方法求出。Zhdanov［3]在2000年將擬線性近似方法應用于電磁場反演，并用來反演美國新墨西哥州的CSAMT數據。由于擬線性近似時仍無法避開解線性代數方程組，因此Zhdanov經過研究后，提出假設電反射張量在異常體內為緩變函數，由一種相對簡單的替代方法確定，這種方法稱為擬解析近似方法［4]，并提出了擬解析近似序列。孫建國［5、6]在通過電磁場中的擬線性近似方法和擬解析方法研究的基礎上，先后提出將擬線性近似方法和擬解析近似方法的應用，擴展到直流電場模擬及聲波散射模擬。孫建國［7～9]分別對2.5維直流電阻率正演和地球物理反演中擬線性近似方法的應用進行了討論，接下來又研究了穩定電流場的電位反射函數。孫建國［10～12]2004年對穩定電流場中的擬線性近似方法進行了研究，給出了直流電位場數值模擬的擬解析方法。在2005年孫建國［13、14]研究了直流電場中的電反射張量，給出直流電場中的擬線性近似方法和擬解析近似方法的理論公式，并對電反射張量進行了詳細的分析，對穩定電流場擬解析近似方法也進行精度分析。在2006年，孫建國［15]又對穩定電流場擬解析近似方法進行了數值評價。在2008年，張金會［17]用擬解析近似方法對均勻場中的異常球體進行了研究，并對擬解析近似方法的精度進行了分析和研究。