基于MATLAB的鎖相環非線性分析

劉科江

（電子科技大學電子工程學院，四川 成都 611731）

基于MATLAB的鎖相環非線性分析

劉科江

（電子科技大學電子工程學院，四川 成都 611731）

鎖相環通常工作在捕捉和跟蹤兩種模式下的一種。在捕捉模式下，鎖相環試圖使 VCO的輸出信號與輸入信號在頻率和相位上同步。但是在捕捉模式下，VCO的輸出信號與輸入信號的相位差可能相當大，鎖相環此時工作在非線性狀態，需要用非線性模型來進行分析。分析非線性模型是很困難的，常常需要進行仿真。利用 MATLAB工具，使用微分方程法研究鎖相環系統的非線性特性。

鎖相環；微分方程法；非線性；MATLAB

鎖相環是一種相位反饋的閉環自動控制系統，環路鎖定之后，平均穩態頻差等于零，穩態相差為固定值，鎖相環的這一重要特征使其在電視、通信、雷達、遙測遙感、測量儀表，特別是在人造衛星和宇宙飛船的無線電系統中，得到了廣泛應用。近年來，鎖相環路的研究日趨深入，應用更加廣泛。由于鑒相器模型是非線性的，所以鎖相環是一個非線性系統，很難用傳統的解析方法來分析，因而我們求助于仿真。下面我們使用微分方程法來分析一個二階鎖相環的非線性特性。

（一）鎖相環模型

1.鎖相環框圖

鎖相環基本模型如圖1所示。假設輸入信號為

而壓控振蕩器的輸出信號表達式假設為

鎖相環的就是使 VCO的相位與輸入信號的相位同步，使得他們的相位差很小

圖1 鎖相環框圖

2.鑒相器模型

開發鎖相環模型的第一步就是建立鑒相器的模型。鑒相器的特性在很大程度上決定著鎖相環的工作特性。有許多種不同類型的鑒相器，而選擇在特定環境下所使用的鑒相器模型取決于具體的應用。最常見的鑒相器模型就是正弦鑒相器，它的輸出與輸入信號的相位差的正弦成正比。正弦鑒相器可以看成是有一個乘法器和一個低通濾波器組成的，則鑒相器輸出信號為

其中， )()(tt? 稱為相位差。我們希望VCO的輸出相位是輸入相位的一個估計，因此，鎖相環正常工作要求相位差趨于零。在穩態時，相位差是否為零取決于輸入信號和環路濾波器。使用傳遞函數為 F(s)而單位沖擊響應為 f(t) 的環路濾波器，對鑒相器輸出進行濾波。這樣，VCO的輸入為

由定義，VCO的輸出頻率偏差與VCO的輸入信號成正比，這樣

式中，Kd是VCO常數，單位HzV。帶入上面式子可得到

式中cvdAAKG= 。

3.非線性相位模型

從 6式可以看出， )(t與 )(t之間的關系與載波頻率完全沒有關系，因此仿真模型中不需要考慮載波頻率。我們要尋找一個能描述 )(t與 )(t之間合適關系的模型。這種模型如圖 2所示，稱為鎖相環非線性相位模型。由于正弦函數是非線性的，所以他是一種非線性模型。這也是一種相位模型，他建立的輸入信號相位偏差和 VCO相位偏差之間的關系，而不是建立環路實際輸入信號與VCO信號之間的關系。

圖2 鎖相環非線性相位模型

4.線性相位模型和傳遞函數

若相位差很小，可以做如下近似

則環路方程變為

對（8）式做拉普拉斯變換，積分變換相當除以s，時域卷積相當頻域相乘，得

因此，關聯VCO相位和輸入相位的傳遞函數H(s)為

（二）仿真

1.二階鎖相環

鎖相環的捕捉和跟蹤特性很大程度上取決于環路階數。鎖相環實現的階數等于傳遞函數H(s)中有限極點的個數。因此，鎖相環實現的階數比環路濾波器傳遞函數F(s)中極點個數大一，這個多出來的極點就是來及 VCO模型的積分器，下面我們分析一下二階鎖相環。

對于二階鎖相環，環路濾波器的傳遞函數一般形式是

實際應用中， 遠小于1。對于環路線性傳遞函數，將濾波器傳遞函數代入式（10）得

2.仿真流程圖

環路濾波器不是一個真分式函數，應用長除法得

其中就有

其時域表達式為

我們可以直接實現濾波器模型，并定義a1=(1?)a，a2=a。可以得到二階鎖相環的信號流程，如圖3所示。

圖3 二階鎖相環的信號流圖

3.使用微分方程法對鎖相環仿真

現在考慮使用微分方程法對鎖相環進行仿真。首先導出微分方程。由圖2可得

因為圖2中鎖相環模型中的VCO能用一個積分器表示，于是就有

把式（17）代入式（18），并應用式（11）于環路濾波器，則

假設二階環式是“理想的”（即 =0），此問題可以得到一點簡化。

由于乘s等于時域微分，所以得到微分方程

又由定義有

和

于是式子（20）可以寫成

式中 )(t是鎖相環的相位差，而 )(t是輸入信號的相位偏差。

（三）仿真結果及分析

假設這個系統在0tt= 時刻有一個頻率階躍信號，此時，其中fΔ=1MHz。當

=0.1，環路自由振蕩頻率n=200KHz，則由上面的仿真模型可以得到以下結果。

1.相位誤差

穩態相位誤差可以用拉普拉斯變換終值定理來計算。環路的閉環相位傳遞函數為H(s)，則相位差傳遞函數為E(s)=1—H(s)，那么利用終值定理可以得到

代入以上數據，可以得到 )(∞ = 0.3755 rad，圖 4中穩態相位差的結果為0.384516 rad，因此，仿真結果和理論推導結論一致。

圖4 相位差

2.捕獲與跟蹤過程

圖5顯示了VCO的輸出信號頻率的變化過程，能看到在頻率捕獲過程中的“周期滑動”現象。這是在輸入頻率的變化大大超過環路的固有頻率時，非線性同步器表現出來的特性。在圖中我們也能看到相位鎖定時所需要的時間。

圖5 輸入頻率和VCO輸出頻率

（四）結語

本文通過建立鎖相環的非線性相位模型，使用微分方程法，利用MATLAB仿真工具，從定量上分析了鎖相環的非線性相位特性。從仿真圖形可以看到，仿真結果與理論分析結果相吻合。通過這種分析方法，能為鎖相環設計提供定量的分析，有助于電路的優化設計。

[1] Donald R.Stephens. Phase-locked loops for wireless communications [M].New York:Kluwer Academic Publisher,2002:5-7.

[2] Dan H.Wolaver.Phase-Locked Loop Circuit Design[M].New Jersey:Prentice Hall,1991:8-11.

[3] Roland E. Best.Phase-Locked Loops Design,simulation,and Application[M].5.New York .The McGraw-Hill Companies,2003:35-36.

[4] Tapio Rapinoja.Behavioral model based simulation methods for charge-pump PLL[C]//The IEEE International Baltic Electronics Conference,Tallinn:IEEE,2006,10:1-4.

[5] Qi Jing, See-Mei Chan.Characterizing PLL Jitter from power supply fluctuation using mixed-signal simulations[C]//The IEEE International Quality Electronic Design,Penang:IEEE,2010,8:112-117.

TP273

A

1008-1151(2011)05-0060-02

2011-02-18

劉科江（1985－），男，電子科技大學電子工程學院在讀碩士，研究方向微波線性和非線性電路系統。