基于壓縮傳感的寬帶頻譜協方差感知算法*

魏 苗，練秋生

(燕山大學信息科學與工程學院，河北秦皇島 066004)

隨著無線通信技術的飛速發展，頻譜資源變得越來越緊張，尤其是3 GHz以下頻段的頻譜利用率低，認知無線電(Cognitive Radio，CR)被認為是目前解決這一問題最有潛力的通信技術之一［1－2］。頻譜感知是認知無線電的基本功能，是實現頻譜管理、頻譜共享的前提。所謂“感知”，就是在時域、頻域和空域多維空間，對被分配給主用戶(初始授權用戶)頻段不斷地進行頻譜檢測，檢測這些頻段內主用戶是否工作，從而得到頻譜的使用情況［3］。

認知無線電需要檢測一個非常大的頻帶范圍來找到最好的可利用的頻帶，帶寬可能要高達幾GHz，稱為寬帶感知。寬帶感知是實現認知無線電系統的前提，是未來認知無線電通信系統必須解決的關鍵技術之一，它需要超寬的射頻前端，非?？斓臄底痔幚碓O備，高頻率處理轉換技術水平嚴重制約了高寬帶的發展。如果在一個很大的頻帶范圍內是空閑的，也就是說信號在頻域是稀疏的，又由于實際稀疏數據觀察值成組出現，即組稀疏的特性，可以將最近發展起來的壓縮傳感 CS(Compressed Sensing，CS)［4］技術應用于寬帶頻譜感知，此時再采樣時就不用高于信號帶寬的兩倍，減緩了數字處理設備的壓力。網絡能夠正常運行，依賴于信息的快速傳輸，因此需要快速準地找到可利用的頻譜［5］。

本文在頻譜協方差感知(Spectrum Covariance Sensing，SCS)［6］的基礎上利用寬帶信號頻譜稀疏以及組稀疏的思想提出了基于壓縮傳感的頻譜協方差感知算法，對欠采樣信號進行重構，直接使用重構信號進行傳輸和檢測，大大降低了傳輸信號信道帶寬的要求和信號存儲的要求，緩解了信號采集端的壓力，降低了系統的成本。

1 SCS頻譜感知方法

令xc(t)=sc(t)+ηc(t)為接收信號，其中sc(t)為可能的主用戶信號，ηc(t)為噪聲信號。定義x(n)xc(nTs)，s(n)sc(nTs)，其中Ts=1/fs為采樣間隔，fs為采樣率。存在兩種假設:①H0表示主用戶不存在;②H1表示主用戶存在。接收信號樣本表示如下:

x(n)為認知用戶接收到的實際信號;s(n)為主用戶發射信號;η(n)為加性高斯白噪聲(AWGN)。

頻譜協方差感知算法利用接收信號和噪聲在頻域的不同的統計相關性進行檢測來判斷主用戶的存在與否。根據統計協方差理論，計算接收信號樣本部分頻譜的協方差矩陣，構造檢測統計量T1/T2，當其大于閾值γ時，則主用戶信號存在，否則主用戶信號不存在，該方法稱為SCS算法［6］。其中T1為協方差矩陣所有元素的和，T2為協方差矩陣對角線元素的和，閾值γ由預設虛警概率Pfa確定。頻譜感知的性能可由兩種概率來衡量:檢測概率Pd與虛警概率Pfa。其中

SCS算法流程圖如圖1所示。

圖1 SCS算法流程圖

SCS算法的虛警概率與檢測概率表達式分別為［6］

其中，K表示低通濾波器的截止頻率，Nd表示感知窗的數目，γ表示SCS算法的決策閾值，與分別表示Nd個感知窗下導頻與噪聲的相關累加和，Γp表示有效的信噪比。

SCS是一種高度有效的頻譜感知算法，有效降低了頻譜感知時間，提高了感知靈敏度且有效克服了噪聲不確定性。

2 基于壓縮傳感的SCS算法

寬帶傳輸技術比傳統的傳輸技術有很多優點，因而引起了廣泛的關注。但是寬帶頻譜感知面臨著相當大的技術挑戰，一個最主要的實現方面的挑戰是傳統的頻譜估計方法的采樣率為奈奎斯特速率或者是高于奈奎斯特速率。要使信號采樣后能夠不失真還原，采樣頻率必須大于信號最高頻率的兩倍，該采樣率稱作奈奎斯特采樣率，該理論也是統治了信息處理領域多年的基本理論之一。

認知無線電需要檢測一個非常大的頻帶范圍來找到最好的可利用的頻帶，帶寬可能要高達幾GHz，稱為寬帶感知。目前的認知無線電局限于對存在硬件設備允許的操作帶寬范圍內，寬帶感知需要超寬的射頻前端，非?？斓臄底痔幚碓O備，頻譜感知的許多理論工作在實際中很難實現。壓縮傳感為解決高寬帶帶來的模數轉換和器件方面的技術瓶頸提供了一條指路明燈。為此，本文結合壓縮傳感與SCS的思想提出了基于壓縮傳感的頻譜協方差感知算法。壓縮傳感理論是對傳統奈奎斯特采樣定理的擴展，可大大減少恢復信號所需的采樣值數目，在信號及圖像處理領域具有廣闊的應用前景。它允許獲得稀疏信號的欠采樣，然后重構奎斯特速率信號，最后進行重構信號的CR頻譜感知。

基于壓縮傳感的SCS算法流程圖如圖2所示。

圖2 基于壓縮傳感的SCS算法流程圖

壓縮傳感重構是指利用獲得的觀測值通過合適的算法恢復原始信號或圖像的過程。目前的重構算法大致分基于貪婪思想的重構算法和基于最優化思想的重構算法。貪婪算法中經典算法是匹配追蹤(MP，Matching Pursuit)算法［7］，正交匹配追蹤 OMP(Orthogonal Matching Pursuit)算法［8］，逐步正交匹配追蹤算 StOMP［9］(Stagewise Orthogonal Matching Pursuit)等，基于最優化的算法有非凸優化算法［10］、凸優化算法及光滑l0范數(SL0)算法［11］等。

接收信號使用模擬信息轉換器［12－13］(analog-toinformation converter，AIC)進行壓縮采樣，AIC在概念上可以理解為奈奎斯特速率下的ADC操作，然后再進行壓縮采樣。ADC的輸出rk為N×1維向量

記壓縮采樣矩陣A為M×N維矩陣，則AIC的輸出yk為M×1維向量(M＜N)

于是得到(9)式:

其中，A為M×N維的壓縮采樣矩陣。

根據寬帶頻譜中信號頻譜的稀疏特性，可求信號在頻域的稀疏表示Zx為

則(9)式可表達為

則對寬帶信號的頻譜感知可以轉化為l1范數的最優化問題:

在一些實際應用中，非零稀疏系數通常不是隨機分布的，而是成組出現，稱為組稀疏。本文利用寬帶信號頻譜稀疏特性的基礎上結合非零稀疏系數成組出現即組稀疏的特性對信號進行重構。

將Zx進行分組為

其中，Zxk，i為第k組的第i個樣本。

因此，組稀疏的最優化問題可通過復合范數‖Zx‖2，1來解決，即

其中，

重構算法實現可表述為以下步驟:

①設置參數 輸入加噪信號x和觀測矩陣A，求得觀測值:y=Ax。

②初始化 加噪信號x=0。

③求取與加噪信號x等長度的隨機信號的平均頻譜xnsg，設置初始化參數xsigma=0.001。

④設置最大迭代次數Iter，dsigma=xsigma/Iter，令初始迭代次數k=0。

⑤約束平面投影 將x向約束平面作正交投影，并更新重構信號。

xk+1=xk+AT(y－Axk)

⑥計算重構信號xk+1的頻譜Zx，并獲得鄰域頻譜向量 Zx1=［Zx(2)，Zx(1:n－1)T］T和 Zx2=［Zx(2:n)T，Zx(n－1)］T，其中n為奈奎斯特樣本數目。

⑧閾值判斷 若M＞xsigma*xnsg，則保留頻譜Zx的幅值，否則置0，獲得重構信號頻譜。

⑨對重構信號頻譜求逆變換獲得重構加噪信號x。

⑩更新參數xsigma=xsigma-dsigma。

（11）迭代結束條件判斷 若k＜Iter，令k=k+1，返回步驟⑤，否則向下執行步驟（12）。

（12）輸出重構信號xk+1。

3 仿真結果

在IEEE 802.22中使用許多主用戶信號，僅考慮基于DTV信號的WAS_3_27_06022000_REF信號作為主用戶信號。21.52 MHz采樣的ATSC信號經下抽樣后采樣率Fs=2.152 MHz，為了驗證算法的性能，需要添加白噪聲來獲得不同的信噪比，本文對WAS_3_27_06022000_REF信號進行1 000次檢測驗證主用戶的存在與否。

在圖3中，使用固定虛警概率Pfa=0.01，其中選擇感知窗數目Nd=6，每個感知窗的時間ts=0.1 ms，因此總感知時間Ts=ts×Nd=0.6 ms，驗證了 SCS算法以及壓縮比分別為M/N=0.25，0.5，1時在不同信噪比下的檢測概率，SCS算法的檢測概率與壓縮比為M/N=1時的檢測概率完重合。由圖3可以看出，隨著信噪比的提高，檢測概率有所提高，但是壓縮比的降低對檢測概率影響不大。例如當信噪比分別為6 dB與8 dB時，壓縮比為0.25時僅僅比壓縮比為1時檢測概率分別降低0.076與0.068。

圖3 不同信噪比與壓縮比下的檢測概率

但是在圖3中，檢測性能并不理想。由于檢測性能與參數Nd和ts有關，在圖4和圖5中改變參數來驗證系統檢測概率的變化。在圖4中，固定虛警概率Pfa=0.01，SNR=－6 dB，ts=0.1 ms，感知窗數目分別為Nd1=6，Nd2=12，因此總感知時間分別為Ts1=ts×Nd1=0.6 ms，Ts2=ts×Nd2=1.2 ms。在壓縮感知中，當壓縮比為1時，每個感知窗的采樣點數為2|log2(Fs×ts)|=128，因此總采樣點數分別為N1=128×6=768，N2=128×12=1 536，壓縮比M/N(N=［N1，N2］)從 0.1%變化到50%，由圖4可知，Nd越大，檢測概率越高，即總感知時間越長檢測性能越好，且Nd的增加使檢測概率提高很快。

圖4 不同感知窗寬度下的檢測概率

在圖5 中，固定壓縮比M/N=0.25，SNR=－6 dB，Nd=6，每個感知窗的時間分別為ts1=0.1 ms，ts2=0.2 ms，因此總感知時間分別為Ts1=ts1×Nd=0.6 ms，Ts2=ts2×Nd=1.2 ms，虛警概率從 0.001 變化到 0.05。由圖5可知，在同一壓縮比下，虛警概率越小，檢測概率越低，ts越大，檢測概率越高，即總感知時間越長檢測性能越好，且ts的增加使檢測概率提高很快。

圖5 不同ts下的ROC曲線

由圖3可以看出壓縮比越大，檢測性能越好，但是壓縮比的改變對系統的檢測性能影響不大，因此下面需要進一步驗證當壓縮比達到多少時就能達到理想的檢測效果，又由圖4、圖5可知，Nd與ts越大，檢測效果越好。如圖6所示，設置Nd=12，ts=0.2 ms，Pfa=0.01，驗證信噪比分別為－6 dB 與－10 dB壓縮比M/N從0.1%變化到50%的檢測性能。由圖6可知，當壓縮比為0.1時系統的檢測概率接近100%，達到了很好的檢測效果。

圖6 不同壓縮比下的檢測概率

圖7給出了SCS算法中低通濾波下采樣后信號z(n)的頻譜圖和M/N=0.1時對z(n)進行重構后的頻譜圖，圖8給出了z(n)的局部頻譜圖和M/N=0.1時對其進行重構的局部頻譜圖，由圖8可以看出，低通濾波器的截至頻率為40 kHz。圖7、圖8表明當壓縮比為0.1時能夠很好地重構出頻譜的位置。

圖7 z(n)頻譜圖和M/N=0.1重構頻譜圖

圖8 z(n)局部頻譜圖和M/N=0.1重構局部頻譜圖

4 結束語

本為利用寬帶信號頻譜的稀疏性以及實際稀疏數據觀察值成組稀疏的特性，將壓縮傳感技術應用到認知無線電協方差頻譜感知中來減輕現代模擬數字硬件設備的采樣局限性，該方法對寬帶信號能以遠低于Nyquist采樣率的速率進行采樣，大大降低了A/D轉換器的要求，緩解了信號采集端的壓力，降低了系統的成本，當壓縮比為0.1時能很好地估計出信號所占用頻段。

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