探析集合課程教學內容的內涵

龔光劍

（廣西右江民族商業學校，廣西 百色 533000）

探析集合課程教學內容的內涵

龔光劍

（廣西右江民族商業學校，廣西 百色 533000）

集合語言是現代數學的基本語言，集合的初步知識與其他數學知識內容有著密切的關系。通過對集合知識內涵的探討，掌握集合的有關知識，對學習、掌握和使用數學語言有好處。

探析；集合；內涵

集合語言是現代數學的基本語言，集合的初步知識與其他數學知識內容有著密切的關系。通過對集合知識內涵的探討，掌握好集合的有關知識，是學習、掌握和使用數學語言的基礎。本文將結合實際從不同角度多層面對集合的各知識點進行剖釋，以便學習者能更快更好更易地從各方面了解集合內容的深度和廣度，幫助學習者更好地理解集合知識，運用集合知識解決數學問題。

（一）重點難點

1.集合的概念

集合是數學中最原始的不定義的概念，只能給出描述性說明：某些指定的對象集在一起就成為一個集合。組成集合的對象叫元素。集合常用大寫字母A，B，C，……來表示，元素常用小寫字母a，b，c，……來表示。

集合是一個確定的整體，因此對集合也可以這樣描述：具有某種屬性的對象的全體組成一個集合。

提醒：（1）對于集合，我們一定要從整體的角度來看待它。例如由“我們班的同學”組成的一個集合A，則它是一個整體，也就是一個班集體，也可以用我們班的序號來代替它。

（2）要注意組成集合的“對象”的廣泛性：一個方面，任何一個確定的對象都要可以組成一個集合，如人、動物、物體、數、方程，不等式都可以作為組成集合的對象；另一方面，就是集合本身也可以作為集合的對象，如上面所提到的集合A，可以作為“我們年級各班”組成的集合B的元素。

（3）構成集合的對象必須是“確定”的且“不同”的。其中“確定”是指構成集合的對象具有非常明確的特征，這個特征不是模棱兩可的；“不同”是指構成集合的各個對象互不相同。

特殊數集的表示：N*=｛正整數｝，N=｛自然數｝，Z=｛整數｝，Q=｛有理數｝，R=｛實數｝。

2.元素與集合的關系

元素與集合的關系有屬于與不屬于兩種：元素 a屬于集合A，記作a∈A;元素a不屬于集合A，記作a?A。

提醒：（1）符號“∈”及“?”表示元素與集合之間的關系，即屬于與不屬于，它不能表示集合與集合之間的關系。

（2）a∈A與a?A取決于a是不是集合A中的元素，根據集合中元素的確定性，可知對任何a與A，a∈A與a?A這兩種情況有且只有一種成立。

例：用符號∈與?真空：分析：要注意字母所表示集合的含義。

3.集合元素特征

（1）元素的確定性：設A是給定的一個集合，a是某一具體對象，剛a或者是A的元素或者不是A的元素。兩種情況必有一種且只有一種成立。例如：元素-2是方程y2+3y+2=0所有實數根所組成集合的元素，而2不是其集合的元素。

（2）元素的互異性：對于給定的集合中任意兩元素都是不同的，即元素不能重復。如方程 x2-4x+4=0的根構成的集合只有2一個元素，不能出現有兩個重復的元素2，2。

（3）元素的無序性：在給定的集合中元素之間順序關系，即集合中的兩元素交換次序后所得的集合與原來的集合是同一個集合。如由2和3構成的集合與方程y2-5y+6=0的根構成的集合是同一個集合。

集合的元素必須具備確定性、互異性、無序性；反過來，一組對象若不具備這三性，則這組對象也就不能構成集合。

集合的元素的“三性”，既是解決有關問題的切入點，又是我們解題的疏忽與易錯點。

4.集合的分類

按集合的元素個數的多少，可分為有限集、無限集。

空集就是不含任何元素的集合，空集可用“φ”表示。

提醒：（1）空集就像一個無處不在的幽靈，要處處設防，時刻提高警惕，才不至于掉進空集這一陷阱之中。

（2）由于φ中沒有元素，即0個元素，規定它屬于有限集。空集雖不含任何元素，可它卻有兩個方面的作用：

②空集在反映集合與集合之間的關系上直到“橋梁”的作用，使一些難以表達的總是得到簡明扼要地表達。如由直線 + =4點組成的集合A，由拋物線 =- 2上的點組成的集合B，則由A與B的公共元素組成的集合可簡記為φ。

（二）方法技巧

1.列舉法

用列舉法表示集合，就是把集合的元素一一列舉出來，并寫在大括號內。

提醒：用列舉法表示集合時，必須注意如下幾點：（1）元素與元素之間必須用“，”隔開；（2）集合的元素必須是明確的；（3）不必考慮元素出現的先后順序；（4）集合的元素不能重復；（5）集合的元素可以表示任何事物；（6）對含有較多元素的集合，如果構成該集合的元素具有明顯的規律，可用列舉法表示，但是必須把元素間的規律顯示清楚后，才能用省略號表示，如N*=｛1，2，3，…｝。

2.描述法

描述法就是把集合的元素所具有的屬性描述出來，并寫在大括號內，它又分為（1）文字描述法——用文字把元素所具有的屬性描述出來，如{自然數｝；（2）符號描述法——用符號把元素所具有的屬性描述出來，即｛ |P( )｝或｛

∈A|P( )等。

提醒：（1）用符號描述法表示集合時注意：弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是數、還是有序實數對（點）、還是集合、還是其他形式？元素具有怎樣的屬性？當題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。

（2）用描述法表示集合時，若需要多層次描述屬性時，可選用邏輯聯結詞“且”與“或”等聯結；若描述部分出現元素記號以外的字母時，要對新字母說明其含義或指出其取值范圍。

例：用描述法表示下列集合：

思考：用描述法表示集合的優、缺點在哪里？

描述法突出了元素所具有的屬性，其中文字描述法通俗易懂；而符號描述法則簡潔概括，但有點抽象，不易看出集合中到底有哪些元素。

（3）解決用符號描述法表示的集合的問題時，首先要弄清元素所具有的形式；其次透過符號的表象，弄清元素到底具有怎樣的屬性。 這就需要仔細審題，透徹地理解題意，有時還需要借助特殊的探討方能順利地解決問題。

3.Venn圖法

Venn圖法就是一個用一條封閉的曲線圈成一個區域來表示一個集合。如集合A=｛2的倍數｝和B=｛3的倍數｝可表示為下圖。

4.集合表示的常見錯誤

使用列舉法表示集合最容易出現下述兩類錯誤：

一是沒有弄清集合的元素所具有的形式，就胡亂表示．

例如：集合｛ x2-9=0｝與｛x|x2-9=0， ∈R｝，容易將前者與后者等同起來，事實上前都是用列舉法表示的集合，元素是等式“ 2-9=0”，而后者是元素是實數 3和－3。

二是沒有準確把握符號描述法中的符號所描述的具體屬性。

例如：區別符號“0”“ φ”“｛0｝”“｛φ｝”。

事實上“0”是一個數，它可以作為集合的元素；而“φ”則是一個集合，由于集合也可以作為另一個集合的元素，因此“φ”也可以作為某些集合的元素；“｛0｝”則是由數 0組成的一個單元素集合；“｛φ｝”是由“φ”為元素組成的一個集合。

（三）遷移創新

1.集合語言

集合語言是現代數學的基本語言，也就是用集合的有關概念和符號來敘述問題的語言。集合語言與其他語言的關系以及它的構成如下：

集合語言的不同形態各有自己的特點，符號語言比較簡潔、嚴謹，可大大縮短語言表達的“長度”，有利于推理、計算；圖象語言易引起清晰的視覺形象，它能直觀地表達概念、定理的本質以及相互間的關系，在抽象的數學思維面前起著具體休和幫助理解的作用；普通語言比較自然、生動，它能將問題所研究的對象的含義更加明白地敘述出來，教科書上的概念、定理等多以普通評議敘述。在數學解題中，如果數學問題有抽象的字母和符號語言出現，解題能力強的人在審題時往往會先畫出草圖或把問題變為普通語言。如果問題是以普通語言形式表達的，如應用題，為了便于計算和進行推理，則往往需要引進字母變量建立數學模型。尤其是幾何問題，離開符號語言將寸步難行。這些都說明解題時各種語言間的互譯是必要的，它可達到簡縮思維過程的目的，擺脫思維受阻的困境，有時還能產生妙解。

2.解決集合問題的關鍵

解決集合問題的關鍵：弄清集合由哪些元素所構成的．如何弄清呢？關鍵在于：（1）把抽象問題具體化、形象化．也就是把用描述法表示的集合用列舉法來表示，或用圖示法來表示抽象的集合，或用圖形來表示集合．當集合的元素為有序實數對時，可用平面直角坐標系中的圖形表示相關的集合。（2）運用“元素分析法”。元素分析法就是抓住元素進行分析，也就是抓住元素進行分析，也就是元素形式（即代表元）如何？元素應具有哪些屬性？元素是否滿足“三性”（確定、互異、無序）？

運用元素分析法解題，能準確理解和把握集合的內涵，能有意識地引導我們分析集合是由哪些元素所組成的，而且還能有效地避免解題的錯誤。

（1）若a∈ ，則a是否屬于S？

（2）對于S中任意兩個元素 x1， x2，問 x1+x2， x1· x2是否屬于S？

綜合①②可得：當n=0時，S中元素個數為0；當n 0時，S中元素個數為1。

點評：把握元素特征是解決本題的關鍵，同時要注意緊扣條件。

G420

A

1008-1151(2011)05-0169-02

2011-02-14

龔光劍（1976－），男，廣西百色人，廣西右江民族商業學校講師。