合理考慮梁受壓鋼筋的配筋設(shè)計(jì)方案

胡 理 梁 博 湯學(xué)宏

(1．中國(guó)建筑科學(xué)研究院，北京 100013;2．中國(guó)石化工程建設(shè)公司，北京 100101)

1 前言

對(duì)于考慮抗震設(shè)計(jì)的梁的正截面計(jì)算，由于計(jì)算或構(gòu)造要求，通常其上下部均配有縱向鋼筋，甚至在有的情況下，上下配筋還可能數(shù)量相當(dāng)。例如，《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》GB 50010—2010［1］的強(qiáng)制性條文中對(duì)考慮抗震設(shè)計(jì)的框架梁梁端截面的底部和頂部縱向受力鋼筋截面面積的比值，除按計(jì)算確定外，一級(jí)抗震等級(jí)不應(yīng)小于0．5，二級(jí)不應(yīng)小于0．3。但是，通常情況下，在設(shè)計(jì)梁的底(頂)部受拉配筋時(shí)，并不知道頂(底)部已經(jīng)存在的受壓鋼筋面積，所以在設(shè)計(jì)中一般沒有考慮已經(jīng)存在的受壓鋼筋對(duì)抗彎配筋計(jì)算的影響，上下部的縱向鋼筋面積分別由截面的正負(fù)彎矩的最不利效應(yīng)決定。通過本文中的分析可以得出，當(dāng)受壓鋼筋面積與將要配置的抗彎受拉鋼筋面積相當(dāng)時(shí)，如果不考慮其影響，將使總的配筋量增多，造成材料浪費(fèi)。本文將深入研究如何合理地考慮梁的受壓鋼筋的正截面配筋設(shè)計(jì)方法，先進(jìn)行基于計(jì)算公式的理論分析，然后采用數(shù)值計(jì)算方法求解出大量數(shù)據(jù)，通過圖表對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，再根據(jù)工程要求提出合理的滿足精度要求的簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)方法。

2 受壓鋼筋配筋量對(duì)受拉鋼筋配筋量的影響分析

在已知受壓鋼筋的情況下，對(duì)于一般的雙筋截面設(shè)計(jì)，通常是先假設(shè)受壓鋼筋受壓屈服，如果計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)其未屈服，則采用對(duì)受壓鋼筋取矩并忽略混凝土作用的簡(jiǎn)化方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。在本節(jié)中，需要準(zhǔn)確地分析已知的受壓鋼筋配筋量對(duì)抗彎計(jì)算所需要的受拉鋼筋配筋量的影響，如果已確定受壓鋼筋未受壓屈服，就不能采用簡(jiǎn)化方法來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)，而應(yīng)該準(zhǔn)確地計(jì)算受壓鋼筋的真實(shí)應(yīng)力，進(jìn)而準(zhǔn)確地計(jì)算出此時(shí)抗彎所需受拉鋼筋面積，得出準(zhǔn)確的影響規(guī)律。

不失一般性，可以選擇工程中最為簡(jiǎn)單和常用的矩形截面進(jìn)行分析，并假設(shè)梁的項(xiàng)部和底部采用同類、同級(jí)別鋼筋，已知受壓鋼筋面積A's和彎矩M條件下，用于抗彎配筋設(shè)計(jì)的兩個(gè)平衡方程和一個(gè)物理方程如下［2］:(其中σ's為受壓鋼筋的應(yīng)力，以受壓為正，因?yàn)榇颂幱懻摰腁's可能受壓也可能受拉，所以在下文中將A's稱為受壓側(cè)鋼筋面積。)

對(duì)于(1)式，當(dāng)M一定時(shí)，考察 As隨 x在 (0，h0)范圍內(nèi)逐漸增大時(shí)的變化趨勢(shì):當(dāng)x在(0，a')范圍內(nèi)時(shí)，As隨x增加而減小;當(dāng)x在(a'，h0)時(shí)，As隨x增加而增加。

對(duì)于(2)式，當(dāng)M一定時(shí)，考察x隨A's在［0，∞)范圍內(nèi)逐漸增大時(shí)的變化趨勢(shì):當(dāng)A's=0，根據(jù)式(1)、(2)、(3)進(jìn)行抗彎設(shè)計(jì)時(shí)計(jì)算出的x取值使σ's＞0(即x＞ β1a')時(shí)，如果x減小，則A's將增加以滿足平衡方程(2)式，反之，A's的增加將導(dǎo)致x的減小，隨著A's趨于無(wú)窮，x逐漸減小而無(wú)限接近β1a';當(dāng)A's=0時(shí)求得的x取值使σ's＜0(即x＜β1a')時(shí)，x的增加導(dǎo)致A's的增加，反之，A's的增加導(dǎo)致x的贈(zèng)加，隨著A's趨于無(wú)窮，x逐漸增大而無(wú)限接近β1a'。

對(duì)于式(3)，明顯地，σ's是x的遞增函數(shù)，當(dāng)x= β1a'時(shí)，σ's=0。

綜上分析，根據(jù)A's=0時(shí)由M進(jìn)行抗彎設(shè)計(jì)時(shí)計(jì)算出的x0值的不同，As隨A's的變化趨勢(shì)可以分以下四種情況:① 當(dāng)0＜x0＜β1a'時(shí)，A's↑?x↑?As↓;② 當(dāng) x0=β1a'時(shí)，A's↑?x不變 ?As不變;③當(dāng)β1a'＜x0≤a'時(shí)，A's↑?x↓?As↑;④ 當(dāng)x0＞a'時(shí)，開始階段，A's↑?x↓?As↓，當(dāng)x減小到a'后，與③相同。

以上分析沒有考慮界限受壓區(qū)高度的影響，如果考慮的話，情況也是類似的。在上面的三個(gè)方程中，如果已經(jīng)確定受壓鋼筋不能受壓屈服，則(1)、(2)、(3)式聯(lián)立即為含有3個(gè)未知數(shù)(分別為x，σ's，As)的非線性方程組，需要采用數(shù)值方法求解，下一節(jié)將采用數(shù)值方法對(duì)實(shí)例進(jìn)行計(jì)算分析，并給出符合上述規(guī)律的比較直觀的結(jié)果。

3 考慮受壓側(cè)鋼筋進(jìn)行抗彎設(shè)計(jì)的數(shù)值計(jì)算方法和計(jì)算結(jié)果分析

為了便于推導(dǎo)，將上節(jié)中的平衡方程(1)式改為力平衡方程(4)，如下:

對(duì)于以上方程組(4)、(2)、(3)的求解，可以分兩種情況討論。在已知A's(≥0)的條件下，當(dāng)假設(shè)受壓側(cè)鋼筋應(yīng)力σ's已確定時(shí)(受壓屈服或受拉屈服)，通過(4)、(2)式可直接求x和As;當(dāng)受壓側(cè)鋼筋未受壓屈服或受拉屈服時(shí)，σ's的取值未知，與混凝土受壓區(qū)高度x有關(guān)，需要通過(4)、(2)、(3)式聯(lián)立求解，其中包含3個(gè)未知數(shù)(分別為 x，σ's，As)，求解該非線性方程組時(shí)，需采用數(shù)值方法。將(3)式代入(2)式，并對(duì)(2)式進(jìn)行整理后，可設(shè)f(x)，并求出其一階和二階導(dǎo)數(shù)f'(x)、f″(x)如下:

這樣就將非線性方法組的求解轉(zhuǎn)化為求f(x)=0的根，進(jìn)而根據(jù)x值由(4)式求As。實(shí)際用于設(shè)計(jì)時(shí)，h0－a'＞0是確定的，則f(x)的導(dǎo)數(shù)具有如下性質(zhì):f'(x)＞ 0，x ∈ (0，h0);f″(x)＜ 0，x ∈(0，h0)。當(dāng)確定含根區(qū)間時(shí)，對(duì)于實(shí)際情況，因?yàn)榫哂忻鞔_的物理意義，可以保證根的存在唯一性，根據(jù)Newton迭代法的非局部收斂性的條件［3］，對(duì)于該問題，只需要用于迭代的x的初值滿足一定條件即可保證求解收斂。具體來(lái)說(shuō)，由于f'(x)＞0，根據(jù)受壓側(cè)鋼筋恰好受壓屈服和恰好受拉屈服時(shí)的受壓區(qū)高度x確定的f(x)值的符號(hào)，可以很容易地判斷是否處于未屈服狀態(tài)，如果已判斷處于未屈服狀態(tài)，則相應(yīng)的有根區(qū)間的上下邊界也即受壓側(cè)鋼筋恰好受壓屈服和恰好受拉屈服時(shí)的x值。為了滿足Newton迭代的非局部收斂條件，可取迭代初值為受壓側(cè)鋼筋恰好受拉屈服時(shí)的x值。

根據(jù)以上分析，通過編程實(shí)現(xiàn)上述算法(進(jìn)行迭代求解時(shí)，受壓區(qū)高度x的連續(xù)項(xiàng)差的限值取為含根區(qū)間寬度的1/10000，可以認(rèn)為此時(shí)的計(jì)算結(jié)果為精確解)，對(duì)于如下條件的矩形截面梁:①截面參數(shù):b=250 mm，h=600 mm，h0=560 mm，a'=40 mm;②材料參數(shù):C30，HRB400;③截面內(nèi)力:彎矩 M 分別取30、50、62．233 6、75、100、150、200、300、430．138、500、600、700、800 kN·m，當(dāng) A's=0 時(shí)對(duì)應(yīng)的x0值如表1所示，計(jì)算結(jié)果如圖1所示，其中每一條曲線代表M為一定值時(shí)，As隨A's的從0逐漸增加，根據(jù)上述方程組求得的變化曲線，其中(a)、(b)圖分別為M取值較小和較大的情況，(a)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)點(diǎn)的縱坐標(biāo)與相應(yīng)曲線的位置代表了這條曲線的變化趨勢(shì)，(b)圖中也已畫出M較小的曲線，其形狀基本上是水平的，沒有像(a)圖一樣標(biāo)出相應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)。

由圖1(a)并參照前一節(jié)的分析，可知:(1)M=30 kN·m和M=50 kN·m所對(duì)應(yīng)的曲線規(guī)律與上一節(jié)中變化趨勢(shì)①相符;(2)M=62．233 6 kN·m所對(duì)應(yīng)的曲線與上一節(jié)中的變化趨勢(shì)②相符，因?yàn)榇藭r(shí)恰好x0=β1a'成立;(3)M=70 kN·m所對(duì)應(yīng)的曲線對(duì)應(yīng)上一節(jié)中變化趨勢(shì)③;(4)M=100 kN·m所對(duì)應(yīng)的曲線對(duì)應(yīng)上一節(jié)中變化趨勢(shì)④，當(dāng)M取更大時(shí)，變化趨勢(shì)與M=100時(shí)的趨勢(shì)相同。以上是從圖1(a)所得到的規(guī)律，但這些規(guī)律的實(shí)用性并不強(qiáng)，因?yàn)檫@些曲線的變化趨勢(shì)接近水平，受壓鋼筋對(duì)受拉鋼筋的影響是很小的。此外，在較小彎矩的情況，計(jì)算配筋較小，甚至不足以滿足規(guī)范中的構(gòu)造要求而不起控制作用，所以受壓鋼筋的多少對(duì)受拉鋼筋的影響幾乎可以忽略不計(jì)。

現(xiàn)對(duì)圖1(b)進(jìn)行分析，從該圖得出的信息對(duì)于進(jìn)一步地分析是很重要的。由圖1(b)可知，當(dāng)彎矩取值在200～800 kN·m范圍內(nèi)的各組情況，當(dāng)已知的受壓側(cè)鋼筋A(yù)'s增大到一定程度(可取與受拉側(cè)鋼筋量相同時(shí)，如圖1(b)中45°斜線)，可以認(rèn)為As隨A's的增加不再變化。于是可以推斷，當(dāng)已知受壓側(cè)鋼筋較受拉側(cè)鋼筋配筋量多時(shí)，如果采用對(duì)稱配筋的方式來(lái)計(jì)算受拉鋼筋，可以得到足夠精確的結(jié)果，這樣也就解決了本節(jié)一開始提出的不知道受壓側(cè)鋼筋配筋量的問題，下一節(jié)將繼續(xù)討論對(duì)稱配筋的精確計(jì)算方法。

圖1 A's-As圖(M(kN·m)取一定值)

表1 是否考慮受壓鋼筋時(shí)受拉鋼筋配筋量對(duì)比表

對(duì)圖1中的結(jié)果進(jìn)行整理如表1所示，在表1中，x0是A's=0時(shí)由M進(jìn)行抗彎設(shè)計(jì)求出的受壓區(qū)高度(已考慮界限受壓區(qū)高度的影響)，As0為此時(shí)的受拉鋼筋面積;As∞為已知A's=5 000 mm2時(shí)由M進(jìn)行抗彎設(shè)計(jì)求出的受拉鋼筋面積，配筋率ρ對(duì)兩種結(jié)果進(jìn)行比較，如果將不考慮受壓鋼筋的影響情況看成是一種簡(jiǎn)化計(jì)算，則相對(duì)誤差εr由表1可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)配筋率較小時(shí)，兩者的區(qū)別不大，當(dāng)配筋率大于0．75%左右時(shí)，不考慮受壓鋼筋影向的簡(jiǎn)化方法將使配筋量增加5～25%左右，例如當(dāng)配筋率為1．63%(M=430．138)時(shí)，相對(duì)誤差最大，為26．12%。

4 假設(shè)對(duì)稱配筋進(jìn)行抗彎設(shè)計(jì)的數(shù)值計(jì)算方法和計(jì)算結(jié)果分析

由于已假設(shè)對(duì)稱配筋，即，則上文中的平衡方程(4)、(2)改為如下形式:

與上一節(jié)類似，對(duì)于以上方程的求解，可以分兩種情況討論。當(dāng)假設(shè)受壓側(cè)鋼筋應(yīng)力σ's確定時(shí)(只能受拉屈服，不可能受壓屈服)，通過(5)、(6)式可直接求x和As;當(dāng)受壓側(cè)鋼筋沒有受拉屈服時(shí)，σ's的取值未知，與混凝土受壓區(qū)高度x有關(guān)，通過(5)、(6)、(3)式聯(lián)立求解，包含3個(gè)未知數(shù)(分別為 x，σ's，As)，求解該非線性方程組時(shí)，仍需采用數(shù)值方法。與上文中的求解思路類似，但此時(shí)的f(x)的性質(zhì)并不像上文中的f(x)那么好，不能完全滿足的Newton迭代法的非局部收斂條件，綜合考慮后可以選擇二分區(qū)間搜索法。根據(jù)以上分析，通過編程實(shí)現(xiàn)上述算法，結(jié)果如圖2所示的對(duì)稱配筋面積As隨設(shè)計(jì)彎矩M的變化曲線。《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》規(guī)定當(dāng)x＜2a'時(shí)，可采用不考慮混凝土作用的簡(jiǎn)化算法，而此處的對(duì)稱配筋的x也是滿足這個(gè)條件的，在圖2中也按這種簡(jiǎn)化方法畫出了相應(yīng)的As隨設(shè)計(jì)彎矩M的變化曲線，可以發(fā)現(xiàn)兩條曲線基本重合。兩種方法的計(jì)算結(jié)果比較如圖3所示，其中ρ為配筋率，ε為相對(duì)誤差。可以看出，精確算法和簡(jiǎn)化算法的結(jié)果符合得很好，僅在配筋率較小(小于0．2%左右)的情況下才產(chǎn)生5%以上的誤差，在工程設(shè)計(jì)中采用這種簡(jiǎn)化方法是合理的。

5 結(jié)論

根據(jù)第3節(jié)的分析，如果知道梁的底(頂)部配筋量比頂(底)部配筋多時(shí)，我們可以先按對(duì)稱配筋來(lái)計(jì)算頂(底)部受拉鋼筋，根據(jù)第4節(jié)的分析，對(duì)稱配筋受拉鋼筋的計(jì)算可以采用規(guī)范的簡(jiǎn)化方法，來(lái)計(jì)算頂(底)部鋼筋，再計(jì)算底(頂)部受壓鋼筋時(shí)就可以把上一步得到的頂(底)部鋼筋作為已知條件，這樣就解決了受壓側(cè)鋼筋未知的問題，只需要知道梁頂部和底部的配筋量相對(duì)大小即可。對(duì)于具有兩個(gè)對(duì)稱軸的矩形截面來(lái)說(shuō)，可以由正負(fù)彎矩的絕對(duì)值大小即可以判斷頂部和底部的配筋量相對(duì)大小，所以本文的設(shè)計(jì)方案圓滿地解決了矩形截面考慮受壓鋼筋的正截面配筋設(shè)計(jì)問題。對(duì)于T形截面，不能簡(jiǎn)單地根據(jù)內(nèi)力判斷配筋量相對(duì)大小，只能先進(jìn)行試算來(lái)確定相對(duì)大小，再按本文的方法來(lái)考慮受壓鋼筋的影響。

需要說(shuō)明的是，本文考慮已經(jīng)存在的受壓鋼筋作用的設(shè)計(jì)方法與通常所說(shuō)的按雙筋設(shè)計(jì)是有區(qū)別的。后者是一個(gè)控制彎矩決定了受拉和受壓兩側(cè)的鋼筋，其受壓區(qū)高度取界限受壓區(qū)高度，梁的變形能力和延性偏低，總是采用雙筋截面設(shè)計(jì)也是不經(jīng)濟(jì)的;而前者的受壓側(cè)鋼筋一般是由其相應(yīng)的起控制作用的彎矩決定，與控制受拉鋼筋的彎矩是沒有關(guān)系的。例如，梁的頂部鋼筋先是由截面的控制負(fù)彎矩決定的，當(dāng)根據(jù)控制正彎矩計(jì)算底部鋼筋時(shí)，根據(jù)已知的受壓側(cè)鋼筋配筋量，來(lái)考慮其對(duì)底部鋼筋的影響，當(dāng)已知的受壓側(cè)鋼筋不足時(shí)，才轉(zhuǎn)化為按雙筋設(shè)計(jì)。所以說(shuō)考慮受壓側(cè)鋼筋的設(shè)計(jì)方法與梁的延性減小并沒有直接對(duì)應(yīng)的關(guān)系，也不存在不經(jīng)濟(jì)的問題。通過本文的分析可知，本文的方法在很多情況下還可以產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)的效果。

［1］中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)．GB 50010－2010混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范［S］．北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2010．

［2］滕智明，朱金銓．混凝土結(jié)構(gòu)及砌體結(jié)構(gòu)(上冊(cè))［M］．北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2003年6月第2版．

［3］吳勃英，王德明，丁效華，等．?dāng)?shù)值分析原理［M］．北京:科學(xué)出版社，2003年8月第1版．