一個(gè)特殊矩陣n次冪的推廣

耿秀榮, 陳雪雯

(1.桂林航天工業(yè)高等專科學(xué)校信息工程系,廣西桂林 541004; 2.廣西經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,廣西南寧 530021)

一個(gè)特殊矩陣n次冪的推廣

耿秀榮1, 陳雪雯2

(1.桂林航天工業(yè)高等專科學(xué)校信息工程系,廣西桂林 541004; 2.廣西經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,廣西南寧 530021)

對(duì)一類特殊矩陣n次冪進(jìn)行推廣,可得到一般性結(jié)論.而該結(jié)論能用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)λ=1時(shí)的結(jié)論是其特例.

特殊矩陣;n次冪;推廣

文[1]由兩個(gè)特殊低階方陣的n次冪得出k階方陣

的n次冪如下:

引理1[1]已知矩陣

我們對(duì)此結(jié)果進(jìn)行推廣,可以很自然地得到一般性的結(jié)論.

1 問題提出

對(duì)于方陣

我們把其主對(duì)角線上的數(shù)字“1”推廣為“λ”(其中,“λ”可以為任意非零實(shí)數(shù)).這時(shí),我們?cè)O(shè)

那么,如何計(jì)算矩陣A的n次冪(Ak×k)n呢?

2 問題解答

因?yàn)榫仃嘇的階數(shù)和方次都不確定,所以我們難以總結(jié)規(guī)律.我們不妨先討論矩陣A的階數(shù)分別為k=2,3,4,…時(shí),尋求An的規(guī)律,在此基礎(chǔ)上,再對(duì)(Ak×k)n進(jìn)行歸納總結(jié).

顯然,可用數(shù)學(xué)歸納法證得

解根據(jù)矩陣的乘法運(yùn)算法則[2],得

由此,我們可以猜測(cè)

采用數(shù)學(xué)歸納法證明如下.當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論顯然成立.

假設(shè)當(dāng)n=m時(shí),結(jié)論成立,即

則當(dāng)n=m+1時(shí),有

所以,當(dāng)n=m+1時(shí),結(jié)論成立.

隨著矩陣階數(shù)k的增大和方次n的升高=1,2,…,n)的系數(shù)分別為

它們恰好構(gòu)成楊輝三角,也正好是二項(xiàng)式(a+b)k-2各項(xiàng)的系數(shù)=0,1,2,…,k-2).于是,我們猜測(cè)如下結(jié)論:

證用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論顯然成立.

假設(shè)當(dāng)n=m時(shí),結(jié)論成立,即

即當(dāng)n=m+1時(shí),結(jié)論正確.所以,原命題成立.特別地,當(dāng)λ=1時(shí),即得引理1.

3 結(jié)束語

本文由一類特殊低階方陣的n次冪得出k階方陣A的n次冪的規(guī)律,并用數(shù)學(xué)歸納法給予證明.而文[1]的結(jié)果是當(dāng)λ=1時(shí)的一個(gè)特例.

[1] 劉文軍.求一個(gè)特殊矩陣的n次冪的方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2007,23(2)：155-157.

[2] 王萼芳,石生明.高等代數(shù)[M].3版.北京：高等教育出版社,2003.

A Generalization of thenth Power of a Special Matrix

GENG Xiu-rong1,CH EN Xue-w en2
(1.Guilin College of Aerospace Technology,Guilin,Guangxi 541004,China; 2.Guangxi Economic and Trade Institute of Vocation and Technology,Nanning Guangxi 530021,China)

Through the generalization of thenth power of a specialmatrix,a universal conclusion can be draw n.And it can be p roved by utilizing Mathematical induction.Whenλ=1,the conclusion is its special case.

a specialmatrix;thenth power;generalization

O151

C

1672-1454(2011)05-0130-04

2009-03-09

新世紀(jì)廣西高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目(2011JGA 163)