用正交變換化實二次型為標準形的同步求解問題

李延敏, 張 力

(1.吉林財經大學應用數學學院,長春 130117; 2.東北師范大學物理學院,長春 130024)

用正交變換化實二次型為標準形的同步求解問題

李延敏1, 張 力2

(1.吉林財經大學應用數學學院,長春 130117; 2.東北師范大學物理學院,長春 130024)

作為《關于矩陣的特征值與特征向量同步求解問題》的續篇,利用其給出的方法,證明了新的定理.通過對實對稱矩陣進行行列互逆變換,同步求出二次型的標準形及正交變換陣,簡化了復雜的施密特正交化法,較好地解決了二次型標準形與正交變換陣同步求解問題.

二次型;標準形;互逆變換;正交變換;同步求解

用正交變換化二次型為標準形的問題,一般總是由特征方程求特征值要解帶參數的行列式,而且只有先求出特征值方可由方程組求特征向量,進而再用復雜的施密特正交化法求出正交變換陣,非常繁瑣.所以,用正交變換化二次型為標準形的新方法研究引起了廣泛的興趣,如文[3]用增加約束方程解決了正交化問題;文[4]用初等變換法化二次型為標準形;文[5]用分塊陣求二次型的標準形等.但仍沒有擺脫帶參數行列式化簡和標準形與正交變換陣同步求解問題。本文繼續作者文[1]中的研究,給出了對原矩陣作行列互逆變換就可同步求出特征值和特征向量及特征向量的正交化和單位化的深化方法,較好地解決了二次型標準形與正交變換陣同步求解問題,而且不需要考慮帶參數的特征矩陣及單獨進行的復雜的施密特正交化.

為了定理的敘述方便,將文[1]中重要定義、定理、方法列于此,便于推論和新定理的引進.

定義1 矩陣的行列互逆變換:

矩陣的下列三種變換稱為行列互逆變換:

(i)互換i,j兩行,同時互換i,j列;

(iii)第i行k倍加入第j行,同時第j列-k倍加入第i列.

定理1 A為n階可對角化矩陣,并且

為解決同步求出二次型的標準形及正交變換陣問題,本文給出[1]中定理1的兩個推論及定理3.

推論1 若定理1中A是實對稱矩陣,且D=diag(λ1,λ2,…,λn)中的λi(i=1,…,n)互不相同時,則由[2]中定理知中的βi與βj相互正交(i≠j).對PT的行進行單位變換,使

推論2 若定理1中,A是實對稱矩陣,且D=diag(λ1,λ2,…,λn)中的λi有重根時,不妨λ1有k重根,其他為單根,此時

其中βi(i=1,…,k)與βj(j=k+1,…,n)正交,且βj(j=k+1,…,n)相互正交,但β1,…,βk之間不一定正交.計算內積βiβTi(i=1,…,k),求出值最小者,不妨β1β最小.做如下行列互逆變換

推論2優化了施密特正交化法,實際計算中只需重復利用推論2的方法即可得到β1,…,βk的正交化.

定理3 A為二次型f=XTAX的實對稱矩陣,則只需對A行列互逆變換化為對角陣D,對單位陣En只做相同的行變換即可化為正交陣UT,即

由于推論1、推論2中的計算方法并沒有改變定理1中所得到的最基本結論,即λ1,…,λn為A的全部特征值,α為A的對應特征值λi的特征向量,且新方法得到α,…,α是標準正交基,則由[2]中定理知:二次型的標準形為

利用定理3的方法可解決正交變換與二次型標準形同步求解問題,不僅不用求帶參數的行列式且避開了復雜的施密特正交化法,只需簡單行變即可正交化,不用進行施密特正交化法的其他步驟.下面舉例說明定理3的用法.

為了運算上的方便,這里約定:

例1 用正交變換化下列二次型為標準形,并求出標準形及正交變換:

所以二次型的標準形為

例2 用正交變換化下列二次型為標準形,并求出標準形及正交變換:

通過以上例題求解可以看出,用該方法解決了二次型的標準形及正交變換矩陣同步求解問題,尤其是對實對稱矩陣的相同特征值對應的不正交特征向量的初等變換正交化法,簡潔實用.

[1] 李延敏.關于矩陣的特征值與特征向量同步求解問題[J].大學數學,2004,20(4)：92-95.

[2] 北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數[M].3版.北京：高等教育出版社,2003.

[3] 王琳.用正交變換化實二次型為標準型方法研究[J].數學通報,1990,30(3)：31-33.

[4] 汪慶麗.用矩陣的初等變換化實二次型為標準形[J].新疆教育學院學報,2001,17(2)：22-24.

[5] 曹慶剛.用分塊矩陣求合同與求逆[J].數學通報,1990,30(10)：28-32.

The Synchronization Solution of Transforming the Real Quadratic Forms into the Canonical Forms with Orthogonal Transformation

L I Yan-min1, Z HA N G L i2
(1.School of Applied mathematics,Jilin University of Finance and Economics,Changchun 130117,China; 2.School of Physics,Northeast Normal University,Changchun 130024,China)

As the sequel of the paper“On the Cogradient Solving Question of Eigenvalue and Eigenvector of a Matrix”,in this paper,the author proved new theorems with the use of the methods given in the paper.Through carrying on reciprocal transformation of the rows and columns to the real symmetric matrix,the author obtained the standard forms and the orthogonal transformation matrix of the quadratic forms simultaneously,simplified the complex Schmidt orthogonalization method and solved well the synchronization solution problem of the canonical forms and the orthogonal transformation matrix of the quadratic forms.

quadratic forms;canonical forms;reciprocal transformation;orthogonal transformation;synchronized solution

O151.21

C

1672-1454(2011)05-0167-05

2008-11-04;[修改日期]2009-03-03

吉林省教育科學“十一五”規劃重點項目(ZC0148);吉林省教育廳重點教研項目(吉高教字[2008]41號2008193);吉林省自然科學基金項目(20101599)