Dirichlet型空間到μ-Bloch空間的加權Ces‘aro算子

趙艷輝, 張學軍

(1.湖南科技學院數學與計算科學系,湖南永州 425006; 2.湖南師范大學數學與計算機科學學院,湖南長沙 410006)

Dirichlet型空間到μ-Bloch空間的加權Ces‘aro算子

趙艷輝1, 張學軍2

(1.湖南科技學院數學與計算科學系,湖南永州 425006; 2.湖南師范大學數學與計算機科學學院,湖南長沙 410006)

主要討論了Cn中單位球上Dirichlet型空間Dp到μ-Bloch空間βμ的加權Ces‘aro算子Tg的有界性和緊性問題,給出了Tg為Dp到βμ有界算子或緊算子的充要條件.

Dirichlet型空間,μ-Bloch空間;加權Ces‘aro算子;有界性;緊性

1 問題的引進和定義

用dv表示Cn中單位球B上的正規Lebesgue測度,dσ為單位球面δB上的正規面測度.設B表示Cn上的單位球,H(B)代表B上的全純數類.對[0,1)上的連續函數μ(r)=0,如果存在常數a,b (0＜a＜b),使得

則稱μ是[0,1)上的一個正規函數.作為一個加權,正規函數μ通常被用來定義混合模空間[1].設μ是一個正規函數,B上的全純函數f如果滿足

則稱f屬于μ-Bloch空間βμ;如果f滿足

[2]可知,存在常數c＞0,使得

我們知道,D0為Hardy空間H2,D-1為Bergman空間L.

在單復變中定義了如下Ces‘aro算子:

對多復變的情形,給定g∈H(B),定義加權Ces‘aro算子為

文獻[1],[10]在單位球中討論了混合模空間和Bloch型空間上加權Ces‘aro算子的有界性和緊性問題.文獻[11]討論了單位球中Bloch型空間βp之間及Dirichlet型空間Dq之間的加權Ces‘aro算子的有界性和緊性問題.本文的主要工作就是在Cn中的單位球上來給出Tg為Dirichlet型空間Dq到βμ空間的有界算子和緊算子的充要條件.

2 有關引理及其證明

引理2.1[14]若f∈Dp,則

引理2.2 設μ為[0,1)上的正規函數,g∈H(B),則Tg為Dp到βμ的緊算子的充要條件是:對Dp上任一有界序列{fj},如果它在B的任一緊子集上一致收斂于0,就有‖Tg(fj)‖βμ→0(j→∞).

證由引理2.1和Montel定理按定義可證.

3 關于加權Ces‘aro算子的有界性

定理3.1 設-∞＜p＜+∞,μ為[0,1)上的正規函數,g∈H(B),則Tg為Dp到βμ之有界算子的充要條件是:

證(i)充分性.任取f∈Dp,由于Tg(f)(0)=0,且R[Tg(f)](z)=f(z)Rg(z),由引理2.1可得

這表明Tg是Dp到βμ的有界算子.

必要性.設Tg為Dp到βμ的有界算子,當p＞n時,取f(z)=1,因為

所以‖fω‖Dp≤c.由Tg是Dp到βμ的有界算子知

由ω的任意性知當p=n時,(3.2)式成立.

證此時由定理3.1知

再由極大模原理有Rg(z)=0,這意味著g為常值函數.

4 關于加權Ces‘aro算子的緊性

定理4.1 設-∞＜p＜+∞,μ為[0,1)上的正規函數,g∈H(B),則Tg為Dp到βμ之緊算子的充要條件為

證(i)充分性.若(i),(ii),(iii)成立,則g∈βμ.任取點列{fj},滿足‖fj‖Dp≤1且在B上內閉一致收斂于0.

當p＜n時,若(4.1)式成立,則對?ε＞0,存在0＜δ＜1,當δ＜|z|＜1時,有

由于{fj}在E={z∶|z|≤δ}上一致收斂于0,故存在自然數N,當j＞N時,有|fj(z)|＜ε對一切z∈E成立.從而當j＞N時,由引理2.1及g∈βμ知

由ε的任意性和引理2.2知Tg為Dp到βμ的緊算子.類似可證:當p=n時,若(4.2)式成立時Tg為Dp到βμ的緊算子,當p＞n時,由g∈βμ,0類似可得結論.反之,設Tg為Dp到βμ的緊算子,取f(z)=1∈Dp可得g∈βμ.

下面證明(4.1)式成立.現假設(4.1)式不成立,則存在點列{zj}?B及常數ε0＞0,滿足|zj|→1 (j→∞)以及

類似定理3.1中(i)的必要性的證明可得‖fj‖Dp≤c.且顯然{fj}內閉一致收斂于0,根據引理2.2知

當p=n時,若(4.2)式不成立,則存在點列{zj}?B及常數ε0＞0,滿足|zj|→1 (j→∞)以及

此處pk為至多k次的多項式,故由文獻[12]中命題1.4.10可得

再由文獻[13]中引理2.1知,‖fj‖Dn≤c.但由(4.4)式知

這與引理2.2矛盾!因此必有(4.2)式成立.

當p＞n時,下面證明g∈βμ,0.

即{fj}在Dp上有界,且顯然{fj}內閉一致收斂于0.根據引理2.2知

矛盾!因此必有g∈βμ,0成立.

[1] Hu Z J.Extended Ces‘aro operators on mixed norm space[J].Proc.Amer.Math.Soc.,2003,131(7)：2171-2179.

[2] Tang X M.Extended Ces‘aro operators between Bloch-type spaces in the unit ball ofCn[J].Math.Anal.Appl., 2007,326(2)：1199-1211.

[3] Miao J.The Ces‘aro operator is bounded onHpfor 0＜p＜1[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1992,116：1077-1079.

[4] Shi J H,Ren G B.Boundedness of the Ces‘aro operator on mixed norm spaces[J].Proc.Amer.Math.Soc., 1998,126：3553-3560.

[5] Siskakis A G.Composition semigroups and the Ces‘aro operator onHp[J].J.London Math.Soc.,1987,36(2)：153-164.

[6] Xiao J.Ces‘aro operators on Hardy,BMOA and Bloch spaces[J].Arch Math.,1997,68：398-406.

[7] Xiao J,Tan H.p-Bergman spaces,α-Bloch spaces,littleα-Bloch spaces and Ces‘aro means[J].Chin.Ann.of Math.,1998,19：187-196.

[8] Aleman A,Siskakis A G.An integral operator onHp[J].Complex Variables,1995,28：149-158.

[9] Aleman A,Siskakis A G.Integration operators on Bergman spaces[J].Indiana University Math.J,1997,46：337-356.

[10] Hu,Z.J.Extended Ces‘aro operators on the Bloch space in the unit ball ofCn[J].Acta Math.Sci.,2003, 23B(4)：561-566.

[11] 張學軍.Cn中Dirichlet型空間和Bloch型空間上的加權Ces‘aro算子[J].數學年刊,2005,26A(1)：139-150.

[12] Rudin W.Function theory in the unit ball ofCn[M].New York：Springer-Verlag,1980.

[13] 張學軍.Cn中p-Bloch空間βp(B)和Dirichlet型空間Dq(B)之間的系數乘子[J].數學年刊,2003,24AC(1)：13-22.

Extended Ces‘aro Operator from Dirichlet Type Spaces toμ-Bloch Spaces on the Unit Ball

Z HAO Yan-hui1Z HA N G Xue-j un2
(1.Department of Mathematics and Computational Scienc,Hunan University of Science and Engineering, Yongzhou,Hunan 425006,China; 2.College of Mathematics and Computer Science,Hunan Normal University,Changsha 410006,China)

The necessary and sufficient conditions are given for the Extended Ces‘aro operatorTgto be bounded or compact from Dirichlet type spacesDptoμ-Bloch spacesβμon the unit ball ofCn.

Dirichlet type spaces;μ-Bloch spaces;extended Ces‘aro operator;boundedness;compactness

O174.56

A

1672-1454(2011)05-0056-06

2008-11-24;[修改日期]2009-05-31