“數學實驗活動”的設計與開發研究

張立新

江蘇省南京市九龍中學 江蘇南京 210035

“數學實驗活動”的設計與開發研究

張立新

江蘇省南京市九龍中學 江蘇南京 210035

隨著新課程標準的不斷實施推進與初中數學課程改革的不斷深入，“數學實驗活動”在數學教學過程中越來越受到重視。蘇科版數學實驗教材安排了一些數學實驗活動的內容，可見“數學實驗活動”在課程改革進程中占有一席之地。對待數學實驗活動這部分內容，目前的現狀差距比較大，大部分教師在教授“數學實驗室”這部分內容的時候并沒有精心準備數學實驗所必需的素材和環境，更沒有為學生營造一個數學實驗的活動平臺，沒有讓學生在數學實驗的過程中充分經歷、體驗、感受數學過程，更沒有將數學實驗的結果和學生一起經歷概念化的過程，而是直接將數學化的概念教給學生，這使得學生在學習數學的過程中缺少對數學學習的情感培養，缺少對數學學習的正確認識，缺少培養數學思維的過程。學生在數學學習過程中很難感受到數學文化的價值，進而不利于學生數學素養的提高。

一、對數學實驗活動的認識

數學實驗活動的核心是實驗。“實驗”一詞來源于拉丁語：是指人的某種嘗試性或驗證性活動，即任何科學實驗都是有目的的獲取科學事實或驗證科學理論的實踐活動。“數學實驗”一詞，最早出現在波利亞的著作《數學與猜想》和《怎樣解題》中。波利亞在論述“數學”時說：“數學有兩個側面，它是歐幾里得式的嚴謹科學……是一門系統的演繹科學；但在創造過程中的數學看來卻像是一門實驗性的歸納科學。”波利亞充分肯定了觀察、實驗、歸納、類比、猜測、假設等在自然科學中常用的方法，同時強調，這些方法在數學研究過程中起著十分重要的作用。而數學實驗是數學學習和研究過程中重要的組成部分，是最樸素的數學思想和方法的來源。

在教育不斷被得到重視的今天，與人類發展密切相關的數學教育呈現出更大的活力。數學實驗活動被越來越多的教師認為是學生學習數學的一個必要過程，但是人們對數學實驗活動的理解還存在分歧。波利亞認為：合理(數學的定義、定理、公理)構造的圖形，恰當選用的符號(系統)，作為數學對象的物化形式，它們對人的感官也會有刺激作用，會產生感性印象，它們作為數學規律的載體，也會有豐富的數學信息，也可以作為觀察、操作、實驗的對象。事實上，他把在研究工作中對圖形、數(字)、式子的構造、觀察、變換、計算都看作是一種實驗。而其他觀點則認為：一是認為數學實驗就是數學的應用，所設置的“數學實驗”課采用“數學建模+數學軟件”的模式；二是認為數學實驗就是以計算機為主要工具，采用觀察、歸納、分析的方法，去探索、認識和學習數學。這顯然是對“數學實驗”的過于狹隘的理解。從數學學習的一般規律和學生學習的認知規律來看，我們所說的數學實驗是一個廣泛而又明確的概念，即在一定的數學(學習、研究、發現)目標的指導下，對具有一定數學意義的實物、模型、事物，以及數字、圖形、數字符號、式子、題目等，進行觀察、變換、制作、演示、求解以獲取感性認識和數學信息的活動。明確了數學實驗的概念不僅為實施數學實驗活動提供了理論基礎，也為設計數學實驗活動指明了方向，為數學學習和研究提供了方法和技術路線。

二、數學實驗活動形成數學認知

一般地，人們認識事物，都要經過兩個階段：感性認識和理性認識。而統一和推動這兩個認識階段的過程，是社會實踐，即變革現實的實踐活動。一個人想擁有更多的知識和經驗,這個人就必須參與變革現實的實踐。你要知道蘋果的味道,你就必須“變革”蘋果,親自嘗一口。而如何吃蘋果,這正是實踐活動的內容和方法。數學實驗活動就是引導學生品嘗數學的“味道”,在活動中經歷、觀察、探索、總結,形成基本的數學認知。其實，對數學的認知從嬰幼兒時期就已經開始：兒童對數的認識(數感的形成)，就是在平時的玩耍過程中，將觸摸、點數物體的動作經驗轉化為對物體多少的認識，從而能區分現實世界的物體的多少。這種分辨多少的能力正是兒童通過觸摸、點數物體的實踐活動學到的知識。可見，觸摸、點數物體這樣的數學實驗活動是兒童形成數學認知的最簡單、最自然的經歷過程。

數學是一門抽象的科學。盡管很多數學知識都來源于社會實踐,但是隨著數學自身發展的需求,數學概念的抽象程度越來越高,最終以一種學術形態呈現在學習者的面前。同時數學又是一門理性的科學,是以公理為基礎、以演繹為紐帶的系統科學。面對這樣的抽象和理性的科學,面對高度精煉和概括的數學概念，學習者要真正弄懂這些知識概念，最好的辦法是讓他們自己擁有經歷、觀察、探索、歸納的過程。就像兒童通過觸摸、點數物體的活動形成數的認知一樣，教師要讓學生擁有這樣一種數學實驗的平臺，讓學生通過數學實驗活動體驗數學知識，經歷探索過程，感受數學關系的變化和存在，進而達到數學學習的目的。要將學習內容經過設計、提煉并轉化為數學實驗活動并不是件容易的事情，這首先要將“教”的內容作為一種活動來分析。

要設計出恰當的實驗活動內容,需要教師鉆研教材,對各章節的教學內容要深入分析,選取適當的實驗對象,安排適當的實驗活動,讓學生在活動中獲得感性認識和相應的經歷,然后再把這些實驗結果通過反思、歸納，進行數學化，上升為數學認識，在教師的引導下形成教育形態的數學知識和數學概念。這就好比引導學生通過拆裝機械，在拆裝過程中認識機械構造原理，在實踐活動中掌握機械的性能。

三、數學實驗活動的設計

設計數學實驗活動，主要考慮兩個方面的因素：數學實驗活動內容和數學實驗活動環境。

1.數學實驗活動的內容

合理的數學實驗內容，不僅能讓學生產生好奇心，更容易激發學生內在的學習熱情和學習動力。在確定數學實驗內容的過程中，要考慮數學實驗課題的可操作性和探究性。

可操作性包括兩層含義：一是實驗內容要貼近生活，來源于生活，讓學生有親切感，愿意參與并進行實驗活動；二是實驗的操作所用到的知識與經驗應該是學生已經掌握的或親身經歷的，讓學生在實驗過程中體驗到用既有的知識與經驗可以解決未知領域問題的成就感，增強學生學習數學的情感與態度。例如：在教授數軸這節內容時，以溫度計上的度數為情景引入，并準備不同溫度的水，將溫度計放入不同溫度的水中，學生可以從溫度計上讀出不同水溫的度數。實驗過程中要引導學生觀察，水溫高，度數升高；水溫低，度數下降。最后歸納總結：溫度計之所以能準確地顯示水溫，是因為溫度計上有相等距離的刻度；零刻度讓我們清楚的分辨零度以上和零度以下的溫度；讀數上升告訴我們水溫在上升。將溫度計水平放置，并將溫度計轉化為數學模型，看作一條直線，零刻度和等距離可以看作是數軸上的“原點”和“單位長度”，并標上正方向。在實驗過程中，學生經歷了并能感受到數軸真實存在，再也不會去死記硬背數軸的“三要素”了。在實驗過程中，教師要注意引導學生觀察，注意歸納實驗結果，把實驗活動轉化為教育形態呈現給學生，讓學生從數學實驗活動中不僅能感受到數學學習的樂趣，而且能有效地掌握數學概念。

探究性指：實驗活動內容具有探究價值，實驗過程有充分的探究空間，讓學生在實驗過程中能按照自己的想象或者思路進行實驗活動，讓學生感覺到自己就是實驗主體，進而達到學生在實驗中對知識進行主動建構的目的。設計開發數學實驗活動時，要避免產生“偽數學實驗活動”，即將“抽象”轉化為“形象”的演示活動。課堂上的這種演示活動既沒有學生的參與和互動，也沒有學生的經歷、探索和思考。例如：蘇科版數學七年級上冊“圖形的變化”一節中設置了數學實驗活動：“七巧板”拼圖。這一課題筆者設置了兩個目標：一是正方形如何分割成七塊？每一塊都是什么圖形？二是你用這七塊圖形或者其中部分圖形能拼出哪些幾何圖形和圖案，并加上適當的解說詞？像這樣的數學實驗活動可以以課題學習的形式布置給學生，以小組合作的形式進行實驗，讓學生有充分的時間完成實驗活動，最后將實驗成果進行展示。在這個實驗活動中，能拼成多少種圖形不是關注的重點(目前知道的大約能拼成1300多種圖案)，要關注的是學生是否參與了活動，并在實驗中是否真實體會到了幾何圖形變幻莫測的幾何關系，是否達成了對幾何圖形的邊與角的數學認知。如果只是將這些拼法由教師演示，沒有學生的參與，那么這種單向的演示活動不是真正意義上的數學實驗活動。

2.數學實驗活動的環境

從前文對數學實驗活動的定義看,數學實驗活動的環境一般可分為兩類：一是實物操作實驗環境；二是多媒體模擬實驗環境。蘇科版初中數學實驗教材在“數學實驗室”中提供了一些實驗活動內容，但是沒有明確指出進行數學實驗活動環境。這就需要教師根據實際教學情況進行合理的設計。有些數學實驗活動比較適合在實物操作環境下進行，而有些實驗活動非常適合在多媒體模擬實驗環境下進行。教師要根據實驗活動的可操作性恰當地選擇實驗活動的環境。由于近年來信息技術與課程整合的不斷推廣與深入，很多教師被誤導，認為數學實驗就是多媒體環境下的模擬實驗。這很明顯是對數學實驗活動不完整的認識，很多數學實驗活動在實物操作環境下進行遠比在多媒體模擬環境下進行效果要好得多。例如：折紙與幾何圖形的實驗活動，讓學生用紙片折出正三角形、正六邊形、正八邊形、黃金矩形、正五邊形。要進行這樣的實驗活動，實驗本身就要求學生對圖形進行研究，要找到圖形的基本特征，然后要研究如何在一張紙上確定這些圖形的邊和角。以折正三角形為例，如圖1所示：

圖1

仔細研究折紙過程，不難發現，圖1中自左至右第二幅圖是折正三角形的關鍵，如圖2所示。AB是紙片對折的折痕，將點C沿DE折疊，使點C落在折痕AB上，得到點C’。由此可以推出，DE是正三角形的邊長。這一過程在實際活動中需要反復推敲和驗證，而實物操作實驗環境下的折紙活動為這樣的驗證提供了機會。如果將此實驗活動設計為多媒體模擬實驗活動，不僅前期的軟件制作需要花費大量的時間和精力，而且在實驗過程中，學生不能直觀感受正三角形邊和角的產生過程，缺乏親切感，經歷與觀察也不夠直接。就這個數學實驗活動而言，多媒體模擬實驗環境的效果一定沒有實物操作實驗環境的效果好。

圖2

由于數學自身發展的需要，很多概念已經呈現出高度抽象的學術形態，無法在實物操作環境下進行實驗活動。近年來，隨著教育信息技術的迅速發展，也為多媒體模擬實驗環境提供了技術支持，因此，多媒體模擬實驗環境被廣泛用于數學實驗活動。多媒體技術的多元化發展也給數學實驗提供了更廣闊的平臺，數學實驗活動很大程度上將依賴于數學模擬實驗環境，并且隨著網絡技術的不斷發展，學生可以跨越時間和空間進行模擬數學實驗，數學模擬實驗環境會得到更好的發展。在設計開發多媒體模擬數學實驗活動時，一定要緊扣教材，突出重點，破解難點，讓學生在操作實驗的過程中不僅感受到數學實驗的樂趣，更能擁有不斷思考、發現數學關系的空間，主動建構數學知識和概念。例如：在講授有理數大小比較和絕對值概念的時候，設計了相關的數學實驗活動。實驗環境采用了數學專用軟件“幾何畫板”，如圖3所示：

圖3

模擬實驗環境為動態顯示點A所表示的有理數的大小。實驗過程中,反復改變點A的位置,讓學生觀察點A所表示的數的大小,通過視覺刺激讓學生把點A在數軸上的位置與有理數大小進行關聯,并產生基本數學認知：不同的點表示不同大小的有理數。進一步實驗,將點A自左向右慢慢移動,學生通過觀察會發現,隨著點A向右移動,點A所表示的有理數也隨著增大,學生通過歸納總結,自然會得出數軸上的數自左向右由小到大進行排列。再取不同于點A的另外一點B,如圖4所示：

圖4

學生在實驗過程中通過觀察和體驗很容易比較兩個點所表示的有理數的大小，很直觀地產生這樣的概念：在數軸上右邊的點比左邊的點所表示的有理數大。反復改變點B的位置，如圖5所示：

圖5

通過觀察、體驗實驗結果,并總結歸納,學生很容易理解并掌握有理數大小比較這一數學知識點和概念。在進行絕對值概念教學的數學實驗活動中,先提出問題：一是記錄點A與點B分別所表示的有理數的大小；二是記錄點A與點B到原點的距離分別是多少。改變點B的位置,反復進行實驗,歸納實驗結果，學生能直接體驗到一個數的絕對值就是指數軸上表示這個數的點到原點的距離。在老師的指導下，以數軸為依托，讓“數”與“距離”產生關聯，很自然得出任何一個數的絕對值不可能是負數的結論，并能體會到一個數的絕對值大小與這個數在數軸上的位置密切相關。多媒體模擬實驗環境解決了數學教育中抽象概念教學的困局，讓學習者和研究者更容易接近數學。通過對教學內容的不斷深入分析，可以設計與開發更多適用于多媒體模擬實驗環境的數學實驗活動。例如，勾股定理教學的數學實驗活動，通過模擬實驗很容易讓學生理解勾股定理中抽象的數學關系：。在畢達哥拉斯發現這個數學關系之后，因為無法進行有效的數學實驗進行數學關系驗證，勾股定理(歐洲稱為畢達哥拉斯定理)一直困擾歐洲數學界很多年。下面是多媒體模擬實驗環境下的勾股定理驗證過程，這是由我國清代數學家梅文鼎發現的驗證方法，如圖6至圖11所示：

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

在新課程標準推進和課改實驗過程中,數學實驗活動是一個新課題。實驗活動的內容來源于教學內容,而設計開發數學實驗活動應密切聯系生活實際,研究教材,選擇適當的教學內容,設計適合不同實驗環境的數學實驗活動。因此,教學活動本身是設計數學實驗活動的基礎。設計數學實驗活動還要考慮學生是實驗活動的主體,讓學生從實驗活動中經歷、感受、探究數學過程是設計數學實驗活動的基本原則。在設計數學實驗活動過程中,杜絕任何脫離學生認知規律的技術展示,應將數學實驗活動理解為數學教育的一部分,是數學學習方式的一種進化,實驗活動的目的是幫助學生理解數學和掌握數學概念。不能將數學實驗只停留在活動層面,要將實驗活動結果“數學化”,引導學生進入數學王國,讓學生認識到數學世界自身的規律。

[1] 張曉磊，郭華光.試論數學實驗的數學教育功能[J].數學教育學報，2003

[2] (荷)弗賴登塔爾，陳昌平，唐瑞芬譯.作為教育任務的數學[M].上海：上海教育出版社，1995

張立新，本科，中教一級。