帶有變指標(biāo)反應(yīng)項(xiàng)的非線性拋物方程解的爆破

唐樹喬，郭 彥

(1.東南大學(xué) 數(shù)學(xué)系，南京 211100;2.亳州師范高等?？茖W(xué)校 理化系，安徽 亳州 236800;3.南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，南京 210046)

帶有變指標(biāo)反應(yīng)項(xiàng)的非線性拋物方程解的爆破

唐樹喬1，2，郭 彥1，3

(1.東南大學(xué) 數(shù)學(xué)系，南京 211100;2.亳州師范高等專科學(xué)校 理化系，安徽 亳州 236800;3.南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，南京 210046)

通過引入特征函數(shù)和構(gòu)造適當(dāng)?shù)纳辖?，討論了一類帶有變指?biāo)反應(yīng)項(xiàng)的非線性拋物方程的爆破行為，并證明了這類方程初邊值問題的非負(fù)解在有限時(shí)刻爆破和整體存在。

非線性拋物方程;特征函數(shù)方法;整體存在;爆破

0 引言

本文考慮下列帶有變指標(biāo)反應(yīng)項(xiàng)的非線性拋物問題

其中Ω?RN是帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，q＞1，初值u0(x)是非平凡的非負(fù)連續(xù)有界函數(shù)。而連續(xù)函數(shù)p(x)、a(x)、b(x)則滿足以下條件:

幾十年來，人們對(duì)非線性拋物方程ut=Δu+f(u)解的爆破問題進(jìn)行了大量深入的研究，如參考文獻(xiàn)［1－3］。然而帶有變指標(biāo)反應(yīng)項(xiàng)的非線性拋物方程解的爆破現(xiàn)象，卻是近幾年才開始步入人們的視野，已發(fā)表的論文也不多，有興趣的讀者不妨查閱下文后所列的參考文獻(xiàn)［4－9］。

定義1.1如果存在常數(shù) T(0＜T＜∞)，使得方程(1)的解 u(x，t)在上存在，并且有，那么稱方程(1)的解u(x，t)在有限時(shí)刻T爆破，時(shí)間T稱為爆破時(shí)間。

定義1.2如果方程(1)的解u(x，t)在上存在，那么稱方程的解u(x，t)整體存在。

引理1.1設(shè)η(t)為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)且滿足不等式:

其中常數(shù) q＞1，a，b，c＞0。若 η(0) ＞0，－aη(0)+bηq(0) －c＞0，則 η(t)爆破。證明:取

只要 η(0)≥k0，就有在［0，T)上積分并注意到 q＞1，有，從而η(t)爆破。

1 解的爆破

對(duì)于方程(1)的解的爆破性質(zhì)，我們有如下定理:

定理2.1設(shè)Ω?RN是帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，初值u0(x)是非平凡的非負(fù)連續(xù)有界函數(shù)，連續(xù)函數(shù)p(x)、a(x)、b(x)滿足條件(2)－(4)，那么當(dāng)p－＞q＞1時(shí)，對(duì)于充分大的初值u0(x)，方程(1)的非負(fù)解u(x，t)在有限時(shí)刻爆破。

由帶權(quán)的 H?ld不等式［10］，我們可以推知

于是當(dāng)方程(1)的初值u0(x)充分大時(shí)，即y(0)=∫Ωu0(x)w(x)dx充分大時(shí)，由引理1.1即可推知方程(1)的解在有限時(shí)刻爆破。

2 解的整體存在

對(duì)于方程(1)的解的整體存在性質(zhì)我們給出以下結(jié)論:

定理3.1設(shè)Ω?RN是帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，q＞1，初值u0(x)是非平凡的非負(fù)連續(xù)有界函數(shù)，連續(xù)函數(shù)p(x)、a(x)、b(x)滿足條件(2)－(4)，那么當(dāng)p(x)≤1時(shí)，方程(1)的非負(fù)解u(x，t)對(duì)任意初值整體存在。

證明:當(dāng)p(x)≤1時(shí)，構(gòu)造函數(shù)

從而v(t)為方程(1)的上解，所以方程(1)的非負(fù)解對(duì)任意初值整體存在。

［1］ Fujita H.On the blowing up solutions of thecauchy problem for ut= Δu+u1+α［J］.J.Fac.Sci.Univ.Tokyo.Sect.A.Math，1996(16):105 －113.

［2］ Weier P.On the critical exponent for reaction—diffusion equations［J］.Arch.Rational Mech，1990(109):63 －71.

［3］ Liu，Qilin;Li，Yuxiang;Gao，Hongjun.Uniform blow－up rate for a nonlocal degenerate parabolic equations［J］.Nonlinear Anal，2007(66):881－889.

［4］ S.N.Antontsev，S.I.Shmarev，Existence and uniqueness of solutions of degenerate parabolic equations with variable exponents of nonlinearity［J］.J.Math.Sci，2008(150):2289 －2301.

［5］ S.N.Antontsev，S.I.Shmarev，A model porous medium equation with variable exponent nonlinearity:existence，uniqueness and localization properties of solutions［J］.Nonlinear Anal，2005(60):515 － 545.

［6］ J.P.Pinasco.Blow－up for parabolic and hyperbolic problems with variable exponents［J］.Nonlinear Anal，2009(71):1094 － 1099.

［7］ Xueli Bai and Sining Zheng.A semilinear parabolic system with coupling variable exponents［J］.Annali di Mathematic Pura ed Application，2011，190(3):525－537

［8］ Ferreira，R.，de Pablo，A.，Pérez－Llanos，M.，Rossi，J.D.Critical exponents for a semilinear parabolic equation with variable reaction［J］.preprint.

［9］ 劉云霞.帶有變指標(biāo)反應(yīng)項(xiàng)的半線性拋物方程的臨界指標(biāo)［D］.大連:大連理工大學(xué)，2009.

［10］ 王術(shù).Sobolev空間與偏微分方程引論［M］.北京:科學(xué)出版社，2009:18－19.

Blow-up of Solutions to Nonlinear Parabolic Equations with Variable Exponents

TANG Shu－qiao1，2，GUO Yan1，3

(1.Department of Mathematics，Southeast China University，Nanjing 211100，China;2.Department of Science，Bozhou Teachers College，Bozhou 236800，China;3.Applied Mathematics Institute，Nanjing University of Finance and Economics，Nanjing 210046，China)

Through introducing characteristic function and constructing proper upper solutions，this paper discusses the blow－up of a class of nonlinear parabolic equations with variable exponents and proves the blow－up and global existence of the nonnegative solutions to the initial boundary problems.

nonlinear parabolic equation;characteristic function method;global existence;blow－up

O175.26

A

1009－3907(2011)12－0068－02

2011－09－24

安徽省自然科學(xué)基金(KJ2011Z258);亳州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)教育專業(yè)(省級(jí)特色專業(yè));江蘇省基礎(chǔ)研究計(jì)劃自然科學(xué)基金項(xiàng)目(BK2010404)

唐樹喬(1973－)，男，安徽蒙城人，講師，碩士，主要從事非線性偏微分方程(組)理論及其應(yīng)用方面的研究。

責(zé)任編輯:鐘 聲