基于Matlab的概率論仿真實驗

楊宇明 電子科大數學科學學院，四川 成都 610054

基于Matlab的概率論仿真實驗

楊宇明 電子科大數學科學學院，四川 成都 610054

概率論中有些重要的結論在直觀上比較抽象，接受起來較為困難。本文就其中幾個結論通過Matlab仿真，將其以形象的方式展示出來，使得結論更易于理解。

simulation on Matlab; probability theory; the distribution of function; central limit theorem

C語言通常用命令rand()和srand()組合生成隨機數，僅能生成均勻分布的隨機數，如果要生成其它類型的隨機數，要借助于統計計算方法[1]，自己編寫程序。而Matlab語言則提供了異常豐富的隨機數生成命令rand () 、random()、binornd()、frnd()、geornd()、normrnd()、poissrnd()、trnd()、unifrnd()……，囊括了幾乎所有常見的分布，借助于Matlab，我們可以直接生成指定參數的任何常見分布類型的隨機數，這為做實驗帶來很大的便利。在做隨機仿真實驗時，實驗者可以有更多的精力專注于模擬問題本身，而不必關心一些底層問題，因此Matlab語言是做隨機仿真的不二之選。

本文針對概率論教學中幾個比較抽象的結論，通過matlab仿真，將結論用圖形模擬出來，通過圖形這種形象的方式，加深鞏固理解概率論定理。

1 、隨機變量函數的分布

有些時候，隨機變量本身不能直接測量得到，但是它可能是能夠測量到的隨機變量的函數，在實際中，常常對隨機變量的函數感興趣。隨機變量的函數的取值范圍比較容易得到，但是其分布通常并不直觀。

教學中，我們通常考慮的函數有最大值、最小值、和、商，共四種情形。主要討論由自變量的統計規律來推導函數的統計規律，由于隨機變量內在的隨機特性，其函數的統計規律往往理解起來較為抽象，一般要從公式推導才能得到。大數定律告訴我們，隨著實驗次數的增加，事件發生的頻率穩定于事件發生的概率，因此利用Matlab做隨機實驗的仿真，可以借助于隨機變量的頻率分布圖來觀察隨機變量函數的概率分布規律。以下為四種常見函數的仿真：

自變量均采用均勻分布，即：X～U(0, 1)，Y～U(0,1),考慮Min(X,Y)、Max(X,Y)、X+Y、X/Y的分布。以Min(X,Y)為例，matlab仿真程序如下：

該例做了100000次實驗，運行結果如圖1所示，直方圖高度為Min(X,Y)落入下面相應區間的頻率。圖1表明：兩個同為(0,1)區間的均勻分布，最小值Min(X,Y)的分布規律應該是線性遞減。實際上Min(X,Y)的概率密度為：

可以看到，當z在區間(0,1)時，概率密度是線性減函數，仿真結果與之吻合很好。再考慮一個離散的例子：拋擲兩個均勻的骰子，考慮最小點數的分布。在等可能的36個樣本點中，1～6作為兩點中最小值出現的次數為11、9、7、5、3、1，也是呈現出一個線性遞減的規律。這個例子不需要寫程序，實際生活中都可以親自實驗，最終的結論是類似的。

圖2～4分別為為Max(X,Y)、X+Y、X/ Y的頻率分布仿真結果，圖3表明X+Y出現1的頻率最大，離1越遠，出現頻率越低，圖4表明X/Y在區間(0,1)中各個位置出現頻率相等，然后隨著取值逐漸增大，出現頻率越來越低。這些結論都可以由函數的概率密度得到驗證。

通過該例的思考，我們在討論其它類型的隨機變量的分布規律與其函數的分布規律的聯系和區別的時候，也可以通過仿真結果形象地認識函數的分布規律。

2 、中心極限定理

正態分布不但在理論上具有重要的地位，在實際中也有大量的隨機變量服從正態分布，中心極限定理從理論上說明了緣由。課堂上一般介紹兩個中心極限定理：棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理和列維-林德伯格中心極限定理。教學中發現學生總是不容易接受和運用定理，文獻[2][3]中也有提到這點。

采用Matlab做概率統計實驗仿真，可以觀察相互獨立同分布的隨機變量序列部分和的變化趨勢，也可以觀察二項分布中參數n增大時的變化趨勢。引導學生參與進來，一起編寫、運行程序，最后觀察結果，等同于讓學生重新發現定理。經過這樣一個過程，學生對理論的理解就深刻地多，運用起來也就熟練地多。

以p=0.7 ，n分別取10、40、70為例，在同一圖形窗口中顯示二項分布分布律與相應正態分布概率密度曲線，如圖5，程序如下：

%棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理仿真

仿真結果表明：二項分布會隨著n的增加，逐漸近似為正態分布，這種近似誤差的絕對值的平均值有越來越小的趨勢，這點從程序中m各分量的變化趨勢可以看出。而且，通過仿真實驗，可以很容易得到二項分布近似成正態分布時的參數對應關系。至于列維-林德伯格中心極限定理的仿真，本文不再贅述，有興趣的讀者可以自己編寫仿真程序。

3 、結論

Matlab做概率論仿真實驗具有很大的優勢，利用Matlab可以寫出簡潔實用的仿真程序，實驗結果可以通過Matlab直觀地可視化表現出來，抽象的結論通過Matlab仿真更容易理解。仿真實驗可以在教師課堂教學中增加教學效果，也可以讓學生自學概率論時幫助理解內容。

[1]茆詩松主編.統計手冊[M].科學出版社，2003:1008-1014

[2]黎玉芳.中心極限定理的教學方法探討.中國科技信息[J]，2010(24),220-221

[3]許芳中等.大數定律及中心極限定理的教學課程設計探討.科技資訊[J],2010 (36),227

Probability Theory Simulation On Matlab

Yang Yuming University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu,Sichuan,610054,China

Some important conclusions in probability theory are abstract, they are difficult to accept. This paper vividly displayed them by simulation on matlab, makes the conclusions more easily understood.

matlab仿真; 概率論; 函數分布; 中心極限定理

圖1

圖2

圖3

圖4

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.22.022