一道微分幾何題的一題多解

何 青，鄒九生

(江西贛南教育學院，江西 贛州 341000)

一道微分幾何題的一題多解

何 青，鄒九生

(江西贛南教育學院，江西 贛州 341000)

一題多解對基本概念、基本技巧的把握是有效的甚至是不可替代的途徑。分別運用微分解析幾何和初等解析幾何等方法對一道課本上的微分幾何習題從多種角度思考，給出了8種解法。

習題;微分解析幾何；初等解析幾何；多解

例1 證明曲線x=1+3t+2t2，y=2-2t+5t2，z=1-t2為平面曲線，并求出它所在平面方程。

通過對一個例題從多方位角度思考，能使學生更深理解和區別有關定理和知識，甚至能跨教材聯系前后的相關課程。

1 初等解析幾何證法

證法1 思路分析如下：任取曲線上2點的切線方向，如果2方向不平行，則可以確定由該2方向所確定的平面的法方向。在曲線上取定已知一點(點確定的向量)，證明該方向垂直于曲線上任意點與已知點確定的向量。由此證明曲線上任一點均落在過已知點且垂直該法向量的平面上。

故平面方程為：

(x-1)·2+(y-2)·3+(z-1)·19=0

即：

2x+3y+19z-27=0

證法2 思路分析如下：可以在曲線上任意取出3個特殊點，可以確定這3個點所確定平面的法方向，證明這個法方向與曲線上任意點與該3點中的一點所確定向量垂直。因：

所以：

證法3 思路分析如下：消去參數，求出曲線所在平面。由：

消去參數t整理有：

解得：

2x+3y+19z-27=0

2 微分解析幾何證法

設船舶j相對于船舶i運動的軌跡曲線方程為f(x)，那么船舶i到船舶j的最近距離則可看作是船舶i到曲線f(x)的最近距離見圖1。

則：

即這條曲線上任意一點處副法向量是固定向量，從而曲線是平面曲線。

證法6 思路分析如下：根據文獻[1]中結論：證明撓率恒等于0的曲線是平面曲線。因為：

由：

即該曲線在任意一點處的撓率恒等于0，曲線是平面曲線，它們所在平面即是曲線在任一點的密切平面。

令t=0，得：

密切平面方程為：

證法7 思路分析如下：直接求曲線上任一點處的密切平面，得到該曲線任一點處的密切平面是固定平面，與參數無關，從而曲線是平面曲線，即密切平面所在平面。令：

則：

故該曲線在任一點處的密切平面為：

解得方程2x+3y+192-27=0與t無關，該曲線的密切平面不隨t的變化而變化，密切平面是固定的，該曲線是平面曲線。

所以可知A、B、C、M共面，即2x+3y+19z-27=0。

3 結 語

上述8種不同解法分別屬于微分解析幾何和初等解析幾何，可以看到具有不同的幾何或代數意義，同時在方法上也有不同的一般指導意義。這些方法對提高學生的空間想象能力并加強對幾何概念的直觀理解有特別作用，同時也讓學生集中體會了微分幾何和空間解析幾何之間的聯系。解析幾何是微分幾何的基礎，只有掌握了解析幾何的知識和方法，才能更好學習微分幾何。一題多解的目的并不在于“多解”,而在于思維的“多層次”,在于學生從多解中分析出解法的優劣,加深對有些概念的透徹理解，同時在于提示教師對有些概念的深層次理解。可以借助于習題的講解，使學生獲得高水平的思維訓練,從而提高學生的數學思維能力,培養學生的創新意識。

[1]梅向明，黃敬之.微分幾何[M]. 第3版.北京：高等教育出版社，2004.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.05.044

N4

A

1673-1409(2011)05-0127-03