資產或無值看漲期權的模糊定價

余 星，孫紅果 (湖南人文科技學院數學與應用數學系，湖南 婁底 417000)

資產或無值看漲期權的模糊定價

余 星，孫紅果 (湖南人文科技學院數學與應用數學系，湖南 婁底 417000)

資產或無值看漲期權(asset or nothing call，AONC)是歐式期權的一種推廣，由于股票價格隨著市場的波動，很難得到精確的期權價格。首先推導出確定情形下AONC期權，并將股票價格和波動率模糊化，得到AONC期權的模糊定價模型，最后結合算例得到在給定置信度下期權的價格區間和最大置信度下AONC期權價格。

AONC；模糊波動率；模糊定價；置信度；期權定價

資產或無值看漲期權(asset-or nothing call，AONC)是歐式期權的一種推廣，指在到期日，若股票價格低于敲定價，則合約一文不值，若超過敲定價格，則按合約規定支付現金1元。它屬于奇異期權中的一種，相關的研究較少，文獻[1]在B-S模型的基礎上求出了有交易成本的兩值期權的定價模型；文獻[2]利用對沖的思想和偏微分方法，研究了有交易成本且支付紅利的兩值期權的定價問題；文獻[3]研究了標的資產服從連續擴散過程具有隨機壽命的兩值期權定價公式；文獻[4]利用擬鞅定價方法求解了分數情形下雙標的兩值期權定價問題。他們都是在確定情形下討論兩值期權的定價問題，而實際定價問題還要考慮到市場中存在的不確定性和模糊因素，為了使期權的定價更加接近實際，許多研究者引入了模糊定價模型，其中日本學者Yuji Yoshida假設股票價格是模糊隨機的，為此構造了對稱的三角模糊數形式[5-6]；Hsien-Chung Wu[7]運用了模糊數學的理論對經典的B-S公式進行了修正，得到的定價公式不用假設股票價格的模糊形式是對稱的，而且模糊程度可以與股票價格無關。下面，筆者推導出確定情形下AONC期權，并將股票價格和波動率模糊化，得到AONC期權的模糊定價模型?湖南人文科技學院青年課題資助項目(2008QN013)。。

1 三角模糊數和α-截集

定義3定義模糊數的4種運算如下:

[a,b]+[d,e]=[a+d,b+e] [a,b]-[d,e]=[a-e,b-d]

當0?[d,e]時:

[a,b]·[d,e]=[min{ad,ae,bd,be}]max{ad,ae,bd,be}

當a,b,d,egt;0，則:

[a,b]·[d,e]=[ad,be]

當0?[d,e]時:

另外，院區內的各間病房均配備了獨立衛生間和陽臺。衛生間靠外墻設計，并設有窗戶，這既能采集自然光線，又能通風透氣，保持病房內空氣清新，有效防止異味滋生。病房里的陽臺使用大落地玻璃門，自然光能直接透射進病房里，患者可以按需要在陽臺進行舒展活動，呼吸新鮮空氣，配合周邊的花槽，令患者充分享受大自然的陽光與綠化，保持良好的心態，有助于患者病情的控制及治療。

它對應的α-截集也可以用區間表示為:

2 確定情形下AONC的定價模型

資產或無值看漲期權滿足以下的價格過程[9]：

式中，H(x)是Heviside函數，當xgt;0時，H(x)=1，當xlt;0時，H(x)=0；V表示AONC期權的價格：

式中，S為標的資產的價格；σ為標的資產的波動率；r為無風險利率。

3 模糊情形下資產或無值看漲期權的定價模型

考慮一個歐式的看漲兩值期權AONC，3個月到期，敲定價格為30元，假設當前標的資產價格在33元周圍波動，波動率在10%附近波動，且無風險波動率為5%。模糊利率、模糊波動率、模糊標的資產價格都被分別假定成三角模糊數：

由式(1)可得以上3個模糊數的α-截集分別為：

其中:

根據模糊數的四則運算法則，可以得到AONC模糊價格的α-截集為：

3.1給定置信度下期權值的區間

根據以上定價公式,當給定投資者預期的置信度時, 借助Matlab軟件,可以得到對應的期權價格的區間,比如給定置信度α=0.95,可以得到AONC期權價格區間為[32.4016, 32.6298];特別地,當給定α=1,得到期權價格的左右區間端點值均為32.5187元,這正是確定情形下的期權價格。

3.2最大置信度下期權價格

建立如下優化模型:

Maximumα

約束條件:

借助Matlab軟件可以得到給定預期的期權價值對應的最大的置信度,比如當c=31時解出α=0.4883，表示以0.4883的置信度得到期權的值為31;當c=31.8時解出α=0.7267，表示以0.7267的置信度得到期權的值為31.8;當c=32.5時解出α=0.9912，表示以0.9912的置信度得到期權的值為32.5。

[1]馬芙玲,梁滿發.交易成本下的兩值期權的定價模型研究[J].上海師范大學學報(自然科學版)，2009(6): 588-593.

[2]孫天宇，劉新平.有交易成本且支付紅利的兩值期權定價模型[J].陜西師范大學學報(自然科學版),2008(6): 19-22.

[3]梅雨,閔先雄.具有隨機壽命的兩值期權定價[J].周口師范學院學報，2009(5): 35-37.

[4]趙巍.分數布朗運動環境下的雙標的兩值期權定價模型[J].淮海工學院學報(自然科學版)，2008(4)：89-92.

[5] Yuji Yoshida.The valuation of European options in uncertain environment[J].European Journal of Operational Research，2003，145：221-229.

[6] Yuji Yoshida.A discrete-time model of American put option in an uncertain environment[J].European Journal of Operational Research，2003，151：153-166.

[7] Hsien-Chung Wu：Pricing European options based on the fuzzy pattern of Black-Scholes formula[J].Computersamp; Operations Research，2004，31：1069-1081.

[8] Klir G J, Yuan B. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications[M]. New Jersey：Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1995.

[9]姜尚禮.期權定價的數學模型和方法[M]. 北京:高等教育出版社，2008.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.07.005

O29;F830.9;F224

A

1673-1409(2011)07-0013-02

2011-05-27

余星,女,碩士,講師，現主要從事金融數學方面的教學與研究工作。