概率論教學(xué)中思維品質(zhì)的培養(yǎng)

徐 靜

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽蕪湖 241000)

概率論教學(xué)中思維品質(zhì)的培養(yǎng)

徐 靜

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽蕪湖 241000)

從加強(qiáng)概率概念邏輯性教學(xué)、通過構(gòu)造概率論中反例教學(xué)和構(gòu)建相關(guān)問題的概率模型的教學(xué)等幾個(gè)方面探討了如何在概率論教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的概率思維品質(zhì).

概率教學(xué);思維能力;概率模型

培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì),提高學(xué)生的思維能力是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一.概率論思維雖然是從屬于一般思維、具有一般思維的特性,由于概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的學(xué)科,它的思維體系、處理問題的主要方法和結(jié)果也具有明顯的自身的特點(diǎn).同時(shí),概率統(tǒng)計(jì)具有廣泛的應(yīng)用性,這也常使初學(xué)者感到它的基本概念、基本方法不容易掌握,給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來一定的困難.為此,本文從以下幾個(gè)方面探討了如何在概率論教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)方法,培養(yǎng)良好的思維品質(zhì),提高教學(xué)質(zhì)量.

1 加強(qiáng)概率概念邏輯性教學(xué) 培養(yǎng)概率思維的邏輯性

對(duì)上述模型,在課堂教學(xué)中讓學(xué)生討論分辨得出如下結(jié)論：

(i)概率模型構(gòu)建不夠恰當(dāng);

(iii)所設(shè)事件相矛盾,如AiAj表示“第i,j次擊中白色,而其余n-2次命中黑色”.事實(shí)上,AiAj=?.導(dǎo)致上述概念不清的原因是對(duì)概率論中的事件相容性、獨(dú)立性等概念理解不深.事實(shí)上,我們只須構(gòu)造概率模型：設(shè)袋中有a只白球,b-a(b≥a)只黑球,每次從中任取一球,記下球的顏色,取后放回,連續(xù)取n次.令A(yù)i表示“第i次摸出白球”即可.

(Ⅱ)在類比中理解概念,如在事件的獨(dú)立性與不相關(guān)的教學(xué)中,兩個(gè)隨機(jī)變量ξ,η相互獨(dú)立與ξ, η不相關(guān),這兩個(gè)概念常使學(xué)生混淆.我們知道：若隨機(jī)變量ξ,η相互獨(dú)立,且ξ,η的二階矩非0有限,則ξ,η一定不相關(guān);若ξ,η相關(guān),則ξ,η一定不獨(dú)立.而ξ,η不相關(guān),未必有ξ,η獨(dú)立.事實(shí)上,可以驗(yàn)證下例即知：若隨機(jī)變量ξ的概率密度是偶函數(shù)且二階矩有限,則與ξ不相關(guān)且它們相互不獨(dú)立.但對(duì)于二維正態(tài)變量(ξ,η)總有“若ξ,η不相關(guān),則ξ,η獨(dú)立;反之若ξ,η獨(dú)立,則ξ,η不相關(guān)”.與ξ不相關(guān),但它們不相互獨(dú)立.當(dāng)然,對(duì)于正態(tài)變量ξ,亦有

2 通過構(gòu)造概率論中反例教學(xué) 培養(yǎng)概率思維的批判性

所謂的思維的批判性是指在推理、判斷過程中不斷地對(duì)思維過程作出評(píng)價(jià),用質(zhì)疑、批判、求異的眼光觀察分析問題.思維的批判性是一種創(chuàng)造,美國(guó)哲學(xué)家拉卡托斯曾指出：“整個(gè)數(shù)學(xué)理論體系本身就是通過理論的不斷批判和反駁而生長(zhǎng),通過理論的更新和競(jìng)爭(zhēng)而取得進(jìn)展的.”思維的批判性不是對(duì)已有的數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)關(guān)系的完全否定,而是揚(yáng)棄發(fā)展與創(chuàng)新.培養(yǎng)思維的批判性,是培養(yǎng)創(chuàng)新人才的良好的手段和渠道.在概率論的教學(xué)中,針對(duì)容易混淆的的概念和容易忽視的前提條件的定義、公式,一方面通過一些判斷題等,引導(dǎo)學(xué)生辨析錯(cuò)誤,提高識(shí)別能力;對(duì)有些問題看起來似乎是正確的,但實(shí)際上是錯(cuò)誤的,這時(shí)要通過構(gòu)造概率論反例,培養(yǎng)他們反駁能力.而且反例在辨析錯(cuò)誤時(shí)具有直觀、明顯、說明力強(qiáng)等突出特點(diǎn).在獨(dú)立性有關(guān)問題的教學(xué)時(shí),直覺并非總能判定事件之間的獨(dú)立性,而反例可以啟示學(xué)生思考問題嚴(yán)謹(jǐn)性和思維的深刻性.例如：

擲一枚均勻的硬幣試驗(yàn),(i)在相同的條件下擲兩次,(ii)在相同的條件下擲三次.在這個(gè)試驗(yàn)中,令A(yù)={既出現(xiàn)正面又出現(xiàn)反面},B={至多出現(xiàn)一次正面}.對(duì)于這兩種情形,討論事件A和B的獨(dú)立性.

不難驗(yàn)證,在(i)下,事件A和B不相互獨(dú)立;在(ii)下,事件A和B又是相互獨(dú)立的.

3 通過構(gòu)建相關(guān)問題的概率模型的教學(xué) 培養(yǎng)概率思維的創(chuàng)造性

從而有Εg(ξ)=ln(Gn)≤g(Eξ)=lnAn,即Gn≤An,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…an是等號(hào)成立.

4 通過概率論問題轉(zhuǎn)化教學(xué) 培養(yǎng)概率思維的靈活性和思維的深刻性

思維的靈活性表現(xiàn)為問題情景的轉(zhuǎn)化,通過探因索果,正反對(duì)比,正難則反,逆向思維,突破思維定勢(shì),變換思維的方向途徑方法和技巧的能力,體現(xiàn)概率思維的靈活性和思維的深刻性.在概率論的教學(xué)中不乏這種例子.如利用對(duì)立事件求某些事件的概率,又如(匹配問題)：設(shè)n個(gè)人各填寫了一份登記表,再寫好n個(gè)標(biāo)有這n個(gè)人姓名的檔案袋,然后隨機(jī)地將一份登記表裝入一檔案袋.設(shè)A表示“至少有一份登記表裝對(duì)了檔案袋”,求登記表與檔案袋配對(duì)的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.通常的做法是對(duì)登記表與檔案袋配對(duì)個(gè)數(shù)的n+1種情形(0對(duì),1對(duì),…,n對(duì),)先求出它們的概率,然后計(jì)算期望與方差.但這種解法計(jì)算量很大,如果我們變換思維的方向,利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)解題,解法就十分簡(jiǎn)潔.而且,這種解題方法應(yīng)用相當(dāng)廣泛.在這個(gè)問題中,定義n個(gè)隨機(jī)變量ξ1,…,ξn如下：

如果先求出其概率,再計(jì)算其數(shù)學(xué)期望,結(jié)果又如何呢?

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社,1983：1-192.

[2] 黃建安.關(guān)于廣義二項(xiàng)式定理的初等概率證明[J].湖南數(shù)學(xué)通訊,1995,(6)：36-38.

O211

C

1672-1454(2011)05-0200-03

2009-03-26

安徽省省級(jí)精品課程《概率論》(教秘高[2007]49號(hào))