關于真分數分拆的一個一般性結論及幾個推論

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(石浦中學 浙江象山 315731)

關于真分數分拆的一個一般性結論及幾個推論

●陳劍

(石浦中學 浙江象山 315731)

定理1設n∈Z+，則

證明定理3需要用到下面的引理.

證明設

(4)

(1)若(x,y)=1，因為(x,y)=(x,x+y)=(y,x+y)=1，p為素數，要使式(4)能表成2個不同單位分數之和，則x|pm，y|pm,所以x,y中有一個為1.不妨設x=1，則y=pt(1≤t≤m)，代入式(4)得式(3).

(2)若(x,y)=d(d>1)，令x=x1d,y=y1d代入式(4)約分后歸結為(x,y)=1的情況.

綜上所述，y有m種取法，引理得證.

定理3的證明由引理得

則

(5)

下面看定理3的幾個推論.

下面給出幾個應用的例子.

證明我們只需對(kn-1)t+1按n+1泰勒展開，即

則(n+1)|[(kn-1)t+1]等價于(n+1)|[(-k-1)t+1]，由推論1，2即可得證.

在例1中,取k=3，m=2，n≠16,再由定理1，2即可證得，此處略去.

[3] 周蘭林.關于真分數分拆的一個一般性結論[J].中學數學教學參考(上旬),2006(3):57.