高斯擴散模型幾何意義的研究

鄧永懷 張新瑞 張軍英

摘要：

高斯模型是大氣預測的基本模型，我們平時用的EIAproA2008也是基于高斯模型的，只不過是同時加入了一些地形、氣象的修正。本發明通過分析高斯擴散模型的幾何意義，了解高架點源排放煙氣的擴散特點，根據研究結果觀察不同煙羽形狀對應的大氣穩定度，并結合觀察所得的大氣穩定度，預測分析污染物經高架點源排放后在評價范圍內的濃度。

關鍵詞：

高斯模型正態分布影響預測 幾何意義

1.高斯擴散模型簡介

C（x、y、z）=

式中：

C(x,y,z)—表示坐標為x，y，z處污染物濃度；

He—煙囪的有效高度，m；

Q—煙囪排放源強（污染物單位時間排放量，mg/s）；

σy—垂直于主導風向的橫向擴散參數，m；

σz—鉛直擴散參數，m；

u—排氣筒高度處的風速，m/s。

高斯模式的四點假設為：

（1）假定大氣流動是穩定的、有主導方向的；

（2）假定污染物在大氣中只有物理運動、沒有化學和生物變化；

（3）假定在所要預測的范圍內沒有其他同類污染源和匯，也就是說源強是連續均勻的；

（4）在有主導風的情況下，主導風對污染物的輸送應遠遠大于湍流運動引起的污染物在主導風向上的擴散，即在x方向只考慮遷移，不考慮擴散。

2.正態函數的特點及幾何意義簡介

①正態分布密度函數：

，（σ＞0，-∞＜x＜∞）

其中π是圓周率；e是自然對數的底；x是隨機變量的取值；μ為正態分布的均值；σ是正態分布的標準差。正態分布一般記為 。

②正態分布 的圖像是由μ和σ決定。

當μ=0，σ分別為0.5、1、2時的正態函數圖像見圖1；

當μ=1，σ分別為0.5、1、2時的正態函數圖像見圖2；

由圖1及圖2可見，正態函數的圖像依賴于兩個變量: σ和μ,其中σ確定了函數圖像的扁平情況；μ確定了函數圖像偏離y軸的距離，當μ=0時函數f（x）關于y軸對稱。

圖1當μ=0，σ分別為0.5、1、2時的正態函數圖 圖2當μ=1，σ分別為0.5、1、2時的正態函數圖

3．煙羽擴散過程的分解與高斯模型的拆分

由幾何知識可知，點動成線，線動成面，面動成體。經高架源排放的煙羽擴散時的運移過程的特點，可以將其擴散過程分解為點、線、面、體四個過程。

①點：煙氣從煙囪排出后由于其具有一定的速度，需垂直上升一段距離（抬升距離），當其垂直上升速度達到零時，開始擴散。將煙氣出口到其垂直上升運動速度為零時的過程稱為擴散過程的“點”，在這個過程中假設煙氣沒有與周圍環境發生物質交換，與高斯函數中對應的量為Q和He（其中Q表示煙氣中污染物的排放量（mg/s）；He表示當煙氣的鉛直運動速度為零時煙氣（污染物）所到達的高度）。此時可認為煙氣中的各類污染物均聚集在一點內，其中所包含的污染物量為Q。見圖1。

②線：當煙氣上升至最高點（He）時，此時的煙氣在垂直方向的運動速度為零，與此同時，煙氣開始與周圍環境發生聯系。但可以假設，煙氣此時的擴散原因僅由風引起，即煙氣到達最高抬升點時，由風將“點”均勻的拉開成為一條線（設煙氣所在的He高度處的風速為u），則此時，線上各點的污染物量為C（x）=Q/u。見圖2

③面：風將廢氣拉成一條線后，煙氣再與周圍的環境發生聯系，假設此時“線”上的污染物逐步進行水平擴散，根據高斯擴散模型的假設條件，煙氣的擴散遵循正態分布，即越靠近“線”中心處的污染物濃度越高，離中心線越遠的地方，污染物濃度越低。

取“線”上的一點作為研究對象：

在水平擴散前，“線”上任意一點的污染物量為Q/u，此點沿垂直于下風向的方向（即x軸）擴散（分別沿y軸的正、負方向），在發生水平擴散后，形成一條線（此線與風向垂直），由于線上各點的污染物濃度分布符合正態分布，其擴散線長度范圍內各點濃度之和等于Q/u，則線上各點處的污染物濃度為：

擴散所形成的平面上各點濃度之和等于污染源強Q，即：

具體見圖3。

④體：廢氣在水平方向上擴散后，污染物在水平方向形成一個平面（xoy面），在此平面上污染物以排氣筒下風向軸線為中心，軸線上的污染物濃度最高，軸線兩側污染物濃度逐漸降低。

取“面”上任意一點為研究對象，假設此時此點上的污染物再沿著鉛直方向（z軸）擴散，擴散后形成一條線（此條線垂直于xoy面），線上各點的污染物濃度也符合正態分布，則其擴散線長度范圍內各點濃度之和等于C（x、y）。則線上各點的濃度分布符合正態分布。見圖4。

但是由于地面反射的作用，高斯模型對于地面反射的疊加效果的處理是采用鏡面法，即假設地面下同樣距離處也存在一個污染源，其與地上源的于煙羽落地處相交，此后地上煙羽各點濃度等于地上源煙羽與地下源煙羽濃度之和。見圖5。

對于地上源，應其原點為煙囪底座高度，而煙氣開始擴散高度的高度為He，因此在地上部分鉛直面上擴散的正態函數中μ=He，則地上源各點在zox面（或平行于zox面）上各點的污染物濃度為：

同理對于虛擬地下源，煙氣開始擴散的高度為-He，因此在地下部分鉛直面上擴散的正態函數中μ=-He，可知虛擬地下源在zox面（或平行于zox面）上各點的污染物濃度為：

則擴散所形成的“體”上各點的濃度為

C（x、y、z）= C′（x、y、z）+ C″（x、y、z）=

最終得出高斯大氣擴散模型如下：

圖1煙羽擴散的點狀圖圖2煙羽擴散的線狀圖

圖3煙羽擴散的水平面正態分布圖 圖4煙羽擴散的水平面及垂直面正態分布圖

圖5地上源及虛擬地下源的煙羽擴散圖形

參考文獻：[1]《大氣污染控制工程（第二版）》郝吉明馬廣大主編，高等教育出版社。

注：文章內所有公式及圖表請以PDF形式查看。