初中函數概念教學有關策略

付莉婭

摘要：函數概念是初中數學的主要概念之一，函數思想貫穿整個中學數學內容．函數知識的學習最終目的是對函數思想的領悟和掌握，而學習過程中函數思想方法的滲透，又可以加深對函數概念的理解．

關鍵詞：函數；函數概念；函數思想方法

Teaching strategy on junior middle school function concept

Xinjiang KuChe county experimental middle school teachers Fu Liya

Abstract: function concept is one of the key concepts of junior middle school mathematics, function is full of the middle school mathematics thought content. the final purpose of the function mainly included comprehen and master, and in the learning process function penetration of thought method can deepen understanding of the concept of function.

Keywords: functions; Function concept; Function thought method

一、背景：

義務教育階段的數學課程將致力于使學生獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學事實（包括數學知識、數學活動經驗）以及基本的數學思想方法和必要的應用技能．函數是中學數學中的核心內容，以函數思想來貫穿中學數學內容更有利于提高數學教學質量．在培養學生的創新精神和應用數學知識解決實際問題的過程中，函數思想方法具有其它思想方法所不及的指導作用．因此，我們的數學教學應大力加強對函數思想方法的進一步研究，并努力將函數思想方法滲透到一切可能的教學內容中去.

函數在我們生活，生產的方方面面都有體現，或者說，我們的生活離不開函數．函數與每個人都息息相關，如，一個人的身高、體重等都是時間（年齡）的函數；函數與生活密切相關，如：電話費、水電費、出租費等都是時間的函數；物理學中的自由落體運動、生物學中的細胞繁殖速度等也是時間的函數；生產成本的核算、生產工效的提高等都是相應自變量的函數.最大利潤的獲得等都是相應自變量的函數。就函數思想而言，它是用運動，變化的觀點來分析問題中的數量關系，通過函數的形式把這種數量關系表示出來，并加以研究，從而使問題加以解決。函數思想的建立，可有效的揭示運動變化的規律，反映事物之間的聯系。因此加強函數概念的教學和函數思想的滲透，有利于培養學生的創新精神，提高學生應用數學的意識和能力。

然而，在教學實踐表明函數概念是學生數學學習中感到最困難的內容之一，盡管在實際教學中采取了適當的滲透，教材也安排了螺旋上升的方法，分段有序的安排函數知識，但學生的函數概念仍比較低，學生對函數概念的理解往往局限于會解題的模糊狀態。那么是否存在一條邏輯上更完善，認識上更容易，更簡潔的途徑，來引導學生形成函數概念呢？這便是本文探討的現實背景。

二、函數概念學習困難的原因分析：

劉緒文老師認為：函數概念較難理解，是因為學生第一次接觸到變量，并且兩個變量之間存在一個對應法則。概念的抽象性給概念的理解帶來一定的困難【1】，尤小平老師探討了函數概念學習的三個難點：（1）函數概念從17世紀開始拓展多次，越來越抽象。（2）函數概念敘述語言嚴謹，深刻。學生較難理解概念的內涵和外延。（3）學生不習慣用集合，對應的觀點解釋函數關系?！?】

函數概念是中學生感到最難學的數學概念之一．朱文芳老師依據心理學理論【3】，分別從學生的概念形成水平，不同數學氣質類型的影響以及學生思維發展水平等三個方面對函數概念學習的心理進行了分析。分析指出，函數是個較難形成的概念，當學生概念形成水平比較低時，就會出現認識上的困難。學生數學氣質類型上的差異在函數概念學習表現的尤為顯著。許多數學家和心理學家把數學氣質類型一般分為分析型，幾何型和調和型三種。幾何型學生善于使用形象表示（圖象，表格），理解形象化形式的函數關系。且當函數關系或解析式，能給于函數圖形的解釋時，才能感到它是清楚，可信的，進行純粹解析表示運算時，感覺困難。相反的，分析型學生雖也能做簡單函數的圖象，但常把圖象置于函數本身之外，不把它看做函數的一部分，在函數解答中，只靠解析法處理信息。不善于依靠已有的圖象理解函數，解釋于理解的能力差。調和型學生也在實現數與形的有機結合，符號語言和圖形語言的靈活轉換過程中存在障礙。

此外，李吉寶教授也從函數概念本身和學生思維發展水平【4】兩個方面論述了函數概念難學的原因。指出：造成這一結果的主要原因有2個：第一：函數概念本身的原因從數學自身的發展過程看，變量與函數概念的引入，標志著數學由常量數學向變量數學的邁進．函數概念是用“變量說”來定義的，這種定義方式有易于學生接受的一面，也有其不足的一面．例如，“變量”、“對應”這些詞匯，并沒有給出比較明確的定義，這就造成了學生對函數定義理解的困難．另外，函數概念可以用列表、圖像、解析式等方法來表示．每一種表示形式都可以獨立地表示函數概念．這又是一個與其它概念不同的地方．由于函數概念需要同時考慮幾種表示形式，并且要協調好各種表示之間的關系，常常需要在各種表示之間進行轉換．故容易造成學習上的困難．第二：學生思維發展水平方面的原因在函數概念的學習中，要求學生能進行數形結合的思維運算，進行符號語言與圖形語言之間的靈活轉換．但在學生的認知結構中，數與形基本上是割裂的．這就要求學生的思維能在靜止與運動之間進行轉化．但學生的思維水平還處于很不成熟的階段，他們看問題往往是局部的、靜止的，還不善于把抽象的概念與具體事例聯系起來，還不能用辯證思維的思想來理解函數概念．函數概念的運動、變化、聯系的特點是不相適應的。

曾丕珠教授對函數學習的認知過程進一步細分，將其分為六個認知層次。（1）認識變量，實現由靜到動的轉變；（２）認識變量之間的聯系；（３）運用函數表達式；（４）理解函數的本質屬性；（５）掌握函數形式化描述。（６）逐步深刻理解函數概念，形成整體對象。并指出學生對函數的認識層次往往是線性的，只有把各知識點進行網絡式的聯接，才會有較完整的理解?！荆怠?/p>

三、函數概念實際教學采取的策略：

怎樣才能讓學生掌握這一重要概念呢？可按照“早、實、清”3個字進行導學．所謂“早”，是指在初一、初二的教學中，抓住相關內容及早向學生滲透函數的思想方法．我們知道，函數在本質上反映了2個集合中元素之間的一種對應關系．在初一和初二的教學內容中，2個變量之間對應關系的例子是相當多的．我們在教這些內容時，可以很容易地向學生們滲透函數的思想方法，在學生的知識結構中產生朦朧的變化意識．例如，在引入“等式”概念前，課本選了下面這些式子： 1+2=3，a+b=b+a，S=ab，4+x=7．在對這 4個式子進行分析時，為了照顧到后面學習函數的需要，可對式子 S=ab，這樣分析：當 S一定時，a與 b的積不變．如 S=12，若 a=3，則 b=4；若 a=6，則 b=2．可見在 S的值不變的前提下，a與b成反比關系；當a一定時，S與b成正比關系；當b一定時，S與a成正比關系．實踐證明，以上這些問題學生在當時是完全能接受的．如果我們能注意在學習與函數有關的知識時，經常地向學生滲透“對應”的觀點，那么到初三學習函數概念時，就不會感到生疏和突然，他們就能順利地接受函數概念，并把函數知識盡快地內化到自己已有的認知結構中去．所謂“實”，是指由實例引入函數概念．由實例引入概念，反映了概念的物質性和現實性，符合學生的認識規律，給學生留下的印象比較深刻和長久．這樣教學，學生能夠認識到函數概念是從客觀現實中抽象出來的，有利于學生更好地理解函數概念．在學習函數概念時，可用概念形成的方式，按以下的步驟進行：