一種積分因子的存在定理及應用

張若峰

摘要本文給出了微分方程 的一種積分因子的定義，得出了這

種積分因子存在的充要條件和計算公式。

關鍵詞積分因子；通積分；全微分方程

An Existence Theorem of Integral Factor and Application

Zhang Ruofeng

(Tianshui Norm college, Tianshui Gansu 741001)

Abstract: This paper gives an existence theorem of integral defination, and finally gets the necessary and sufficient condition and fomula of the subject.

? Key Words: integral factor, application, total differential equation

一引言

由于全微分方程計算方便和簡單，因此尋求微分方程）（1）

， （1）

的積分因子 ,使得微分方程（2）

（2）

成為全微分方程，使問題得以有效且簡便解決。對一些特殊結構的積分因子，如 中僅含 或 ，或者型等，已經得到了判別定理和求積分因子 的計算公式（詳見文 ）。本文主要對積分因子 中既含 又含 的比較復雜的一種情形，給出定義和判定定理，并建立積分因子的計算公式。

二主要結果

定義 1若連續可微函數，（x,y） ,使方程（2）為全微分方程，則 稱為方程（1）的積分因子。

定義2若方程（1）積分因子 為

= ，（x,y）(3)

則稱 為復合型積分因子（這里 為連續函數）

引理 方程（2）為全微分方程的充要條件是

（x,y） (4)

定理若方程（1）滿足 ，（x,y） ，則方程（1）存在復合型積分因子 = 的充要條件是存在連續函數 ，使得

(5)

并且，積分因子 由下式確定

= ，（6）

（6）式中的 由（5）給出。

證明必要性：由引理，積分因子 滿足

（7）

將 = 代入（7）整理后得

（8）

由 可得

(9)

所以有

（10）

取一元函數 ，由（10）得知（5）式的正確性。

再證明充分性：取二元函數 滿足

= ， （11）

式中 由（5）使給出。下面證明 為方程（1）的積分因子。

(12)

(13)

(13)減（12），并利用（5）得

推論 方程（1）有復合型積分因子 的充分必要是存在連續函數 ，滿足

并且積分因子為

證明取 ，由定理即知結論的正確性。

容易看出，當取 時，是一般文獻中所介紹的存在 型積分因子的條件。

三應用

例求方程 的通解。（14）

解這里 ，所以有

（15）

取 （16）

將（15），（16）代入（5）式左端得

（17）

因此取（18）

由（17），（18）式可知，定理中條件（5）成立.根據定理，方程（14）具有復合型積分因子 ，經計算得

=（19）

所以，方程（14）可化為全微分方程

=0（20）

又

=

= +

故得原方程通解為：

= ， 為任意常數。

參考文獻

1 東北師范大學數學系編。常微分方程 。高等教育出版社，2001，12，35~45

2 王高雄等編。常微分方程 。北京：高等教育出版社，1984，3,44~49

Existence Theorem of a Integrating Factor and its Application

Zhangruofeng

(Department of Mathematics and statistics,Tianshui Normal University,Tianshui Gansu )

AbstractThis paper give the definition of a integrating factor about differential equation,then obtains thenecessary and sufficient condition of the existence of the integrating factor and its calculating formula..

Key WordsComplex integrating factor;General integral;Fully differential equation

注：文章內所有公式及圖表請以PDF形式查看。