許用載荷求解方法的優化

劉明超 丁曉燕

（1山東大學土建與水利學院，山東 濟南 250100）

（2北京理工大學機電學院，北京 102400）

許用載荷求解方法的優化

劉明超1丁曉燕2

（1山東大學土建與水利學院，山東 濟南 250100）

（2北京理工大學機電學院，北京 102400）

計算方法的優化是人們對問題通過多途徑分析，找到能使計算步驟簡單，易于使結果準確的方法，在理論分析和工程實踐中具有十分重要的意義.本文試圖通過對一個實例的分析，提出一種優化材料許用載荷求解的方法，通過此方法可以減少工程中許用載荷計算的工作量，有助于提高計算效率.

許用載荷；工程；優化方法

1 引例

例1如圖1所示，長為L，重為W 的桿AB支撐住位于光滑豎直倒槽內的物塊E，物塊E重G；A、B接觸面的靜摩擦系數均為μ.求桿AB能保持平衡的最大角度φ.

圖1

文獻［2］中給出的解法為窮舉法，如下所列的解法（1）.

解法（1）

（1）設B點先達到臨界狀態，A點未達到，則有

取物塊E進行受力分析，有

取桿AB進行受力分析，有

由方程（1）～（4），得

（2）設A點先達到臨界狀態，B點未達到，則有

取桿AB進行受力分析，有

由方程（2）、（3）、（5）、（6），得

比較φ1和φ2可知，使桿AB保持平衡的最大夾角此時桿A處于臨界狀態.

下面，我們對此解法進行優化.

解法（2）

先分析A、B兩桿的受力情況，由解法（1）知：

對E：NA＝G，對AB：NB＝G＋W，即A處的支持力恒小于B處.由于A、B接觸面靜摩擦系數相同，故由Ff＝μFN知，A處一定先達到臨界狀態，即有FA＝μNA.

再對AB桿進行受力分析：

不難看出，解法（2）通過先分析受力情況而排除了“B點先達到臨界狀態，A點未達到”的情況，簡化了求解過程，達到了優化計算方法的效果.

2 許用載荷計算方法的優化

下面，我們將此優化方法的思路推廣到材料許用載荷計算的一類問題中.

例2如圖4所示，兩桿三角支架中桿AB和桿BC的材料相同，均為直徑為D的圓截面，材料的許用應力為［σ］，試確定結構的許用載荷［F］.

通常采用類似于例1中的窮舉法，如下所列的解法（1）.

解法（1）

（1）求各桿中軸力的表達式

對A節點（圖5）列寫平衡方程，求得

（2）根據強度條件確定許用載荷

對AB桿，有

故保證桿AB安全的許用載荷為

對AC桿，有

故保證桿AC安全的許用載荷為

綜上，保證兩桿均安全的許用載荷應取

很明顯，上述解法不是最簡的，按照例1的思路，我們可以對其作如下優化.

解法（2）

保證兩桿均安全則只需保證桿AB安全，由

得許用載荷為

結論與解法（1）相同.

3 總結

由上述例2可以看出，通過分析不同桿的受力情況，對求解方法進行優化，可以簡化求解過程，減少計算量.

此例給出的只是兩桿的情況，對于多桿求拉壓許用載荷的情況，只要桿的材料和橫截面相同，均可只計算軸力最大桿的許用載荷，這樣就可以減少大量的運算.例如，在計算圖6所示的房屋立柱（材料和尺寸均相同）的許用壓應力時，若頂面力系均勻分布（圖6（a）），則只需計算其中一根立柱的許用壓應力；若頂面力系非均勻分布（圖6（b）），則只需找出受力最大的一根立柱，計算其許用壓應力.這樣的實例在工程實踐中還有很多.同樣，對于相同材料尺寸非均勻的圓軸（圖7），計算許用載荷時只需找出其中的危險截面，按危險截面處應力狀態求許用載荷.對于相同材料等截面梁的彎曲問題（圖8），計算許用載荷同樣只需考查危險截面處即可.

圖6

本文只討論計算許用載荷方法的優化，其實，這種思路還可以應用到強度校核中，同樣可以達到很好的優化效果.

［1］ 韓斌，劉海燕等.材料力學［M］.北京：兵器工業出版社，2009.101～208

［2］ 高云峰，蔣持平等.力學小問題及全國大學生力學競賽試題［M］.北京：清華大學出版社，2003.25～26

［3］ 劉鴻文.材料力學Ⅰ［M］.北京：高等教育出版社，2004.12～49

2011－04－26）

劉明超（1990年出生），男，四川廣元人，山東大學土建與水利學院工程力學專業2009級本科生（2010至2011學年在北京理工大學交流學習）；丁曉燕（1989年出生），女，山東煙臺人，北京理工大學機電學院工程力學專業2009級本科生.