一類高階混合中立型微分方程的振動性*

韓忠月

(德州學院數學系，山東德州 253023）

一類高階混合中立型微分方程的振動性*

韓忠月

(德州學院數學系，山東德州 253023）

研究了一類高階混合中立型微分方程，得到方程若干新的振動準則，改進和推廣了已有的一些結果.

微分方程;高階;混合中立型;振動性

引言

考慮高階混合中立型微分方程:

其中 a，b，τ，σ，g，h 為正常數，p，q∈C(R+，R+)，m≥1 為整數.

最近，文獻［1］研究了奇數階混合中立型微分方程

解的振動性，其中 c，c*，p，q，g，g*，h，h*是實常數.

中立型泛函微分方程解的漸近性和振動性問題在理論和應用兩方面均有重要意義.近三十年來，在這一領域已取得了豐碩成果.在理論方面，最近的研究可參閱文獻［1～5］及其引文.當n=1時，方程出現在高速計算機無損傳輸線路的網絡設計中［6，7］.當n=2時，方程出現在與彈性棒相連接的振動物體的研究中［8］.本文的目的是建立當m為奇數或偶數時，方程(1)新的振動準則，它不僅適用于奇數，而且也能應用于偶數階.其結果推廣和改進了文獻［1］中的若干結果.

定義1 函數x(t)∈C［t0，∞)是方程(1)的振動解，如果對每一個正數r皆存在正數t1∈［r，∞)，使得x(t1)=0.

1 主要結論

定理1 假設h＞σ，g＞τ，且m≥3為奇數，如果滿足:

(H1)p(t)=p(t－τ)=p(t+σ)，q(t)=q(t－τ)=q(t+σ)，t∈［t0，∞);

則方程(1)的每一個解是振動的.

證明 假設方程(1)存在非振動解，不是一般性，我們可以假設存在t1∈［t0，∞)，使得x(t)＞0，x(t－ τ)＞ 0，x(t－ g)＞ 0，t ＞ t1.令

顯然z(i)(t)，i=0，1，2，…，m －1最終同號，因此只有兩種可能的情況:

首先考慮情況(a)成立，即z(t)＜0，t≥t2≥t1.令

結合式(2)和式(4)可得

聯立式(3)，式(4)和式(5)可以得到

由于z(i)(t)，i=0，1，2，…，m －1最終同號，再應用文獻［7］引理5.2.2，總有y(t)＞ 0，y'(t)＞ 0，y(m)(t)＞ 0最終成立，且只能有以下兩種可能:

(ⅰ)y(t)＞ 0，y'(t)＞ 0，y(m－1)(t)＞ 0，y(m)(t)＞ 0， t≥ t4≥ t3;

(ⅱ)y(t)＞ 0，y'(t)＞ 0，y(m－1)(t)＜ 0，y(m)(t)＞ 0， t≥ t4≥ t3.

如果(ⅰ)成立，應用文獻［7］引理5.2.2，則有 y(i)(t)＞ 0，i=0，1，…，m，t≥ t4.結合等式:

很容易得到

在式(7)中令u=s+h－σ，v=t+h－σ，t4＜t＜s＜t+h－σ，則有

在［t，t+h －σ］上對式(6)積分，并應用式(8)會得到

應用條件(H2)，式(9)成立只能是y(m－1)(t)為非正的變量，與假設(ⅰ)矛盾.

如果(ⅱ)成立，應用文獻［7］引理5.2.2，則有y(m－2)(t)＞ 0，y(m－2)(t)y(m－1)(t)＜ 0，t≥t4.聯立式(2)，式(3)，式(4)和式(5)可以得到

有正解w(t)=y(m－2)(t).根據文獻［9］定理2.2.6，結合條件(H3)，不等式(11)沒有滿足w'(t)w(t)＜0的最終正解，因此假設的(ⅱ)不成立.總上z(t)＜0不成立.

其次考慮情況(b)成立，即z(t)＞0，t≥t2≥t1.類似(a)的證明，我們也是采用否定z'(t)＞0與z'(t)＜0都最終成立的方法來完成情況(b)的證明.令

則有

應用文獻［7］引理 5.2.1，可得 z(i)(t)，i=0，1，2，…，m －1 最終同號，并類似以上證明可以得出 w(t)＞0，w(m－1)(t)＞0最終成立.

即不等式

有正解 W=w(m－1)(t).應用文獻［9］引理1.4.1，結合條件(H4)，不等式(16)不存在最終正解，矛盾.

有正解W=w(m－1)(t).應用文獻［9］引理1.4.1，結合條件(H4)，不等式(18)不存在最終正解，矛盾.定理1證畢.

根據文獻［9］定理2.2.6，不難得到方程(1)振動的另一個判據:

當m=1時，作為奇數階高階微分方程的特殊情況，有下列結論:

定理3 當m=1時，若h＞σ，g＞τ，且定理1的條件(H1)及下列條件成立:

則方程(1)的每一個解是振動的.

作為方程(1)的特殊情況，當p，q∈C(R+，R+)皆為常數序列時，即考慮方程:

其中m為奇數.有如下結論:

當m為偶數時，可類似得到如下結論:

定理6 假設h＞σ，m為偶數且:

(H7)p(t)=p(t－ τ)=p(t+ σ)，q(t)=q(t－ τ)=q(t+ σ)，t∈［t0，∞);

則方程(1)是振動的.

作為方程(1)的特殊情況，當p，q∈C(R+，R+)皆為常數序列時，即考慮方程:

其中m為偶數，有如下結論:

［1］程金發.高階混合中立型微分方程解的振動性［J］.系統科學與數學，2001，21:287－291.

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Oscillatory Behavior for a Class of Higher Order Mixed Neutral Differential Equations

HAN Zhong－yue

(Department of Mathematics，Dezhou University，Dezhou Shandong 253023，China)

In this paper，a class of higher order mixed neutral differential equations is considered.Some new oscillations criteria of the solutions are obtained.The results extend and improve some known results.

differential equations;the higher order;mixed neutral type;oscillation

O 175.1

A

1673－2103(2011)05－0015－04

2011－08－22

德州學院科技類項目(310819)

韓忠月(1963－)，女，河北唐山人，教授，研究方向:方程定性理論.