一類正線性映射的可分解性*

朱 青

(菏澤學院數學系，山東菏澤 274015）

一類正線性映射的可分解性*

朱 青

(菏澤學院數學系，山東菏澤 274015）

定義線性映射φ =φ1⊕φ2:M2(C)⊕M2(C)→M2(C)⊕M2(C)為 φ(A⊕B)=φ1(A)⊕φ2(B)，?A，B∈M2(C)，其中φi(i=1，2)為M2(C)到M2(C)上的線性映射.證明了正線性映射φ=φ1⊕φ2是可分解的，并給出了co-全正映射的一個充分必要條件.

正線性映射;全正映射;co-全正映射

引言

在量子相關性的分析中，正線性映射的可分解性質對于量子映射的分析至關重要.對于線性映射:φ:Mm(C)→Mn(C)，St?rmer和 Woronowicz證明了 m=n=2 或 m=2，n=3 時每個正線性映射都是可分解的［1，2］;Choi及Woronowicz分別在m=n=3及m=2，n=4的情況下給出了不可分解映射的例子［2，3］;對于高階情況至今未得到解決.本文針對特殊的高階情況討論一類正線性映射的可分解性，并給出了co-全正映射的一個充分必要條件，拓展了正線性映射可分解性的研究范圍.

1 預備知識

引理1［3］令 φ:Mm(C)→Mn(C)為線性映射，則:

1)φ為正線性映射當且僅當Hφ塊正;

2)φ 為全正(co-全正)映射當且僅當Hφ(HTφ)∈Mm(Mn(C))+.

2 主要結果及證明

定義線性映射φ=φ1⊕φ2:M2(C)⊕M2(C)→M2(C)⊕M2(C)為φ(A⊕B)=φ1(A)⊕φ2(B)，?A，B∈M2(C)，其中φi(i=1，2)為M2(C)到M2(C)上的線性映射，可得到如下結論:正線性映射φ=φ1⊕φ2是可分解的.下面分四部分對此結論進行證明.

1)φ1，φ2為正線性映射

由φ為正線性映射，知:

從而φ1(A)∈M2(C)+，故φ1為正線性映射.同理可證φ2為正線性映射.

2)若φ1，φ2為全正映射，則φ為全正映射

對于?k∈N，

對于任意的2 維向量 ξi，ηj(1≤i，j≤k)有:

從而φ為全正映射.

3)若φ1，φ2為co-全正映射，則φ為co-全正映射

證明過程類似于2).

4)正線性映射φ=φ1⊕φ2是可分解的

已經知道所有正線性映射φ:M2(C)→M2(C)都是可分解的［1］，故φi(i=1，2)可以寫成如下形式:φi=φi1+φi2，其中 φi1為全正映射，φi2為 co-全正映射.從而

則φ=φ1+φ2，由2)，3)知，φ1為全正映射，φ2為co-全正映射.從而φ是可分解的.

證畢.

利用上述方法，可以證明如下兩類正線性映射也是可分解的.即:

3 總結

本文針對4階的情況，證明了幾類正線性映射是可分解的.從查閱的資料來看，目前對于更高階的情況尚未有實質性的進展，有待我們繼續研究與探討.

［1］St?rmer E.Positive linear maps of operator algebras［J］.Acta Math，1963，110(1):233-278.

［2］Woronowicz S.Positive maps of low dimensional matrix algebras［J］.Rep.Math.Phys，1976，10(2):165-183.

［3］Choi M.Completely positive linear maps on complex matrices［J］.Lin.Alg.Appl，1975，10(3):285-290.

［4］Takesaki M.Theory of operator algebra I［M］.Berlin:Springer-Verlag，2002.

［5］Majewski W A，Marciniak M.On a characterization of positive maps［J］.Phys.A:Math.Gen，2001，34(9):5863-5874.

Decomposable Nature of a Certain Positive Linear Map

ZHU Qing

(Department of Mathematics ，Heze University，Heze Shandong 274015，China)

A linear map φ =φ1⊕φ2:M2(C)⊕M2(C)→M2(C)⊕M2(C)is defined by φ(A⊕B)=φ1(A)⊕φ2(B)for every，A，B∈M2(C)，where φi(i=1，2)is a linear map from M2(C)to M2(C).This paper proves that if φ=φ1⊕φ2is positive，then it is decomposable，and gives one equivalent condition of co-CP maps.

positive linear maps;CP maps;co-CP maps

O 177.1

A

1673-2103(2011)05-0033-03

2011-06-21

菏澤學院研究與發展項目(XY08SX01)

朱青(1982-)，女，山東菏澤人，助教，碩士，研究方向:算子代數.