擺角、擺長(zhǎng)和擺錘大小對(duì)擺的周期影響研究

彭金松，李金舟

(河池學(xué)院 物理與電子工程系，廣西 宜州 546300)

擺角、擺長(zhǎng)和擺錘大小對(duì)擺的周期影響研究

彭金松，李金舟

(河池學(xué)院 物理與電子工程系，廣西 宜州 546300)

采用理論分析和實(shí)驗(yàn)研究相結(jié)合的方法，分別研究了擺角、擺長(zhǎng)和擺錘大小對(duì)擺的周期的影響。在擺角小于5°、擺長(zhǎng)在1 m左右和擺錘半徑較小時(shí)，并忽略空氣阻力的情況下，兩種理論方法計(jì)算的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果相一致，可把這種擺當(dāng)作單擺來(lái)處理。

單擺;周期;擺角;擺長(zhǎng);擺錘

0 引言

其中，l為擺長(zhǎng)，g為重力加速度。但這個(gè)公式只適用于小擺角(θ0≤5°)的情況。若要研究大擺角(θ0超過(guò)5°時(shí))的情況則要用近似解法推導(dǎo)的周期公式［2］

單擺是研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)的典型例子，它是由一根上端固定的不計(jì)質(zhì)量、不可伸長(zhǎng)的細(xì)線，下端懸掛一可以看成質(zhì)點(diǎn)的小球組成的裝置。其周期公式［1］為

該公式簡(jiǎn)潔、實(shí)用、精確度高。對(duì)于單擺的教學(xué)研究來(lái)說(shuō)，它物理意義明確，在0°≤θ0≤90°范圍內(nèi)誤差不高于10－4數(shù)量級(jí)，用于研究單擺的擺角、擺長(zhǎng)和擺錘大小對(duì)周期的影響十分理想。

1 擺角對(duì)周期的影響

在理論計(jì)算單擺的周期時(shí)通常把單擺擺動(dòng)的角度限制在小于5°范圍內(nèi)，只有這樣單擺的運(yùn)動(dòng)才可以近似地認(rèn)為是簡(jiǎn)諧振動(dòng)［3，4］。如果超出這個(gè)小角度限制，單擺的運(yùn)動(dòng)方程將成為非線性微分方程，不可能簡(jiǎn)單地利用微積分基本定理來(lái)精確求解［5］。要求解大角度情況下單擺的周期就需要相應(yīng)的公式。現(xiàn)取擺角在3°到30°間的若干值分別用公式(1)和公式(2)進(jìn)行計(jì)算，所得結(jié)果如表1的第二列和第三列。這里取l=1.00 m，g=9.8 m/s2，π =3.14。

在相同的條件下，用實(shí)驗(yàn)方法對(duì)擺的周期進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量，對(duì)于每一擺角用秒表測(cè)量連續(xù)擺動(dòng)50個(gè)周期所用的時(shí)間t，并用T'=t/50求出周期，共測(cè)量3次求其平均值。不同擺角下周期的測(cè)量結(jié)果如表1第四列。表1中的第五列是公式(2)的結(jié)果與公式(1)的結(jié)果的差，第六列是實(shí)驗(yàn)結(jié)果與公式(1)的結(jié)果的差。

表1 不同擺角下擺的周期的理論計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果

從表1可以看出，隨著擺角的逐漸增大，用公式(1)計(jì)算的結(jié)果是不變的，因?yàn)榇斯脚c擺角無(wú)關(guān)，而用公式(2)計(jì)算的結(jié)果和用實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果是逐漸增大。擺角小于6°時(shí)，公式(1)的結(jié)果與公式(2)的結(jié)果相等或相差很小，但隨著擺角逐漸增大，兩式的計(jì)算結(jié)果相差就越來(lái)越大了。這時(shí)用公式(1)計(jì)算其周期是比較精確的，這就符合了用公式(1)計(jì)算單擺周期時(shí)要使擺角小于5°的要求。實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是總體偏大，在擺角為3°、4°度時(shí)，偏大了0.008 s，在更大擺角時(shí)偏大值就更大一些。我們認(rèn)為，這個(gè)偏大是由于實(shí)驗(yàn)時(shí)是在空氣中進(jìn)行的，擺的擺動(dòng)受到空氣阻力的影響導(dǎo)致變慢了一些，如果去除這個(gè)影響，在小擺角時(shí)其結(jié)果與公式(1)和公式(2)的結(jié)果就很接近了，但在大擺角時(shí)，其結(jié)果就更接近公式(2)的結(jié)果。因此，在小于5°的小擺角情況下，用公式(1)來(lái)計(jì)算是準(zhǔn)確的，在大擺角時(shí)，就得用公式(2)來(lái)計(jì)算了。

2 擺長(zhǎng)對(duì)周期的影響

根據(jù)前面分析可知，在擺角為5°以內(nèi)的單擺最為理想，所以在分析擺長(zhǎng)對(duì)單擺周期的影響時(shí)取θ0≤5°.現(xiàn)取g=9.8 m/s2，π=3.14，分別對(duì)多種擺長(zhǎng)的擺分別用公式(1)和公式(2)計(jì)算其周期，所得結(jié)果如表2第二列和第三列所示，再用實(shí)驗(yàn)方法得到的結(jié)果如表2第四列所示。表2中的第五列是公式(2)的結(jié)果與公式(1)的結(jié)果的差，第六列是實(shí)驗(yàn)結(jié)果與公式(1)的結(jié)果的差。

表2 不同擺長(zhǎng)下擺的周期的理論計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果

從表2中可知，隨著擺長(zhǎng)的增大擺的周期也隨之增大。公式(2)的結(jié)果與公式(1)的結(jié)果在各種擺長(zhǎng)時(shí)均相差0.001 s，由這兩個(gè)公式的關(guān)系也可得到此結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果在擺長(zhǎng)為1.0 m時(shí)與公式(1)的結(jié)果更接近，另外在擺長(zhǎng)較大時(shí)也與公式(1)的結(jié)果更接近，這就告訴我們，在做單擺實(shí)驗(yàn)時(shí)，通常用擺長(zhǎng)1.0 m是合理的，得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果相差較小。

3 擺錘大小對(duì)周期的影響

若擺的擺錘的半徑為r，擺線長(zhǎng)為l0，我們知道擺的擺長(zhǎng)嚴(yán)格來(lái)說(shuō)應(yīng)為擺錘的半徑與擺線長(zhǎng)度之和，即l=r+l0.

現(xiàn)取擺角 θ0=5°，則有 T=1.000 471 901T0.若 g 取9.8 m/s2，π 取 3.14，擺長(zhǎng)為 l0=1.0 m 保持不變。在不同的擺錘半徑r下代入周期公式中進(jìn)行計(jì)算。公式(1)的計(jì)算結(jié)果和公式(2)計(jì)算的結(jié)果分別列于表3中的第三列和第四列，用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)得的結(jié)果列于表3的第五列。表3中的第六列為公式(2)的結(jié)果與公式(1)的結(jié)果的差，第七列是實(shí)驗(yàn)結(jié)果與公式(1)的結(jié)果的差。

表3 不同擺錘半徑下擺的周期的理論計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果

從表3可知，隨著擺錘半徑的增大，T0與T由于擺長(zhǎng)l0保持不變并沒(méi)有增大或減小，也就是說(shuō)擺錘半徑的改變對(duì)于周期的理論計(jì)算沒(méi)有影響。但實(shí)驗(yàn)結(jié)果則隨著擺錘半徑的增大而增大，這是由于擺錘半徑的增大，擺球在空氣中擺動(dòng)時(shí)阻力增大，使得周期變大。故在空氣中做單擺實(shí)驗(yàn)時(shí)，擺錘的半徑越小越好。

4 結(jié)論

通過(guò)以上對(duì)擺的周期的理論分析與實(shí)驗(yàn)研究，我們發(fā)現(xiàn)，擺的周期與擺角的大小、擺線的長(zhǎng)度和擺捶半徑有關(guān)。在擺角小于5°、擺長(zhǎng)在1.0 m和擺錘半徑較小時(shí)，并在忽略空氣阻力的前提下，兩種理論方法計(jì)算的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果是一致的，這就說(shuō)明在這樣的情況下可以把擺當(dāng)作單擺來(lái)處理，這種擺就是單擺，在計(jì)算其周期時(shí)就可以用單擺的周期公式來(lái)計(jì)算。

［1］漆安慎，杜嬋英.力學(xué)(第2 版)［M］.北京:高等教育出版社，2005:289.

［2］謝翔東.單擺運(yùn)動(dòng)周期的近似解［J］.內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，24(4):110－112.

［3］中國(guó)社會(huì)科學(xué)院語(yǔ)言研究所詞典編輯室.現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典［M］.北京:商務(wù)印書(shū)館，1995:340.

［4］霍恩比.牛津高階英漢雙解詞典(第4版)［M］.李北達(dá)，譯.北京:商務(wù)印書(shū)館，1997:318－319.

［5］羅勇鋒，龔志強(qiáng)，李水.大幅度擺動(dòng)單擺的高精度周期公式研究［J］.科技咨詢導(dǎo)報(bào)，2007，(28):143－145.

Study of the Main Factors Which Influence the Period of Pendular Oscillation

PENG Jin-song，LI Jin-zhou
(Department of Physics and Electronic Engineering，Hechi University，Yizhou，Guangxi 546300，China)

This paper analyzes the period of pendular oscillation by physical theory，and makes experiments to observe the pendulum.As a result，we found the main factors influencing the period of pendular oscillation are the length，the angle and the volume of the pendulum.The computations by two different theories are consistent with the results measured by experiments if the pendular angle is smaller than 5°，the pendular length is about 1m，the pendular volume is comparatively small，and the aerodynamic drag is ignored.In this condition we consider the pendulum is a simple pendulum.

simple pendulum;period;pendular angle;pendular length;pendular volume

O321

A

1672－9021(2011)02－0026－03

彭金松(1963－)，男，廣西藤縣人，河池學(xué)院物理與電子工程系教授，主要研究方向:原子核物理和粒子物理。

廣西高校精品課程(桂教高教〔2007〕111號(hào))。

2011－03－30

［責(zé)任編輯 劉景平］