一般圖形與平行線相交之概率＊

蔡定教，鮑旭峰

（安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 安陽 455002）

一般圖形與平行線相交之概率＊

蔡定教，鮑旭峰

（安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 安陽 455002）

從蒲豐投針問題出發(fā)，利用線段與平行線相交之概率，導(dǎo)出一般的凸多邊形與平行線相交之概率，進(jìn)而利用兩邊夾原理得出一般的凸圖形與平行線相交之概率，最后指出一般的圖形與平行線相交之概率和其凸包與平行線相交之概率相同．

凸多邊形；兩邊夾原理；凸包

MSC 2000：60D05

0 引言

在1777年出版的《或然性算術(shù)實(shí)驗(yàn)》一書中，蒲豐提出著名的投針問題，即用實(shí)驗(yàn)概率方法計(jì)算π．這個(gè)實(shí)驗(yàn)的操作很簡(jiǎn)單：找一根粗細(xì)均勻、長(zhǎng)度為l的細(xì)針，并在一張白紙上畫上一組間距為a的平行線（方便起見，常取），然后將小針任意投擲在白紙上，這樣反復(fù)地投多次，數(shù)數(shù)針與任意平行線相交的次數(shù)，就可以得到π的近似值．蒲豐證明了針與任意平行線相交的概率為方法得到圓周率的近似值．在一次實(shí)驗(yàn)中，蒲豐選取，然后投針2212次，其中針與平行線相交704次，這樣求得圓周率的近似值為2212／704＝3．142．當(dāng)實(shí)驗(yàn)中投的次數(shù)相當(dāng)多時(shí)，就可以得到π的更精確的值．

進(jìn)一步地，我們可以考慮若拋擲的不是一根針而是一個(gè)一般的紙片的結(jié)果．可以證明在一定條件下任意一個(gè)幾何圖形與平行線相交之概率皆為，這里L(fēng)為幾何圖形凸包之周長(zhǎng)．下面我們來證明這一結(jié)論．

1 幾何圖形與平行線相交之概率

1．1 線段與平行線相交之概率

平面上畫滿間距為a的平行直線，向該平面隨機(jī)投擲一枚長(zhǎng)度為l的針（l＜a），試求針與直線相交的概率．這個(gè)問題稱為蒲豐投針問題，是概率論中的一個(gè)著名問題．線段（針）和平行直線相交的概率為p＝

1．2 三角形與平行線相交之概率

平面上畫滿間距為a的平行直線，向該平面隨機(jī)投擲一個(gè)三邊長(zhǎng)為l1、l2、l3的三角形硬紙片（l1、l2、l3．利用這一公式，可以用概率＜a），則該三角形與直線相交的概率為做示意圖如圖1：

易知，只要三角形三邊A、B、C中的兩條與平行直線相交，三角形與直線就相交，即三角形與直線相交，當(dāng)且僅當(dāng)三條邊中的兩條與平行直線相交．以A、B、C分別表示三角形三邊A、B、C與平行線相交之事件，以E表示三角形與直線相交事件．則有：

利用線段與平行線相交之概率，不難得到三角形與平行線相交之概率P（E

1．3 凸多邊形與平行線相交之概率

平面上畫滿間距為a的平行直線，向該平面隨機(jī)投擲一個(gè)邊長(zhǎng)為l1，l2，…，ln的凸多邊形紙片（其直徑小于a）．做示意圖如圖2：

由于是凸多邊形，所以其本質(zhì)和三角形是一樣的，只要兩條邊和平行直線相交就表示圖形和平行直線相交．設(shè)圖形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，即L＝l1＋l2＋…＋ln．由三角形與平行線相交概率的推理方式，可以同理得到凸多邊行與平行線相交之概率為

1．4 一般凸圖形與平行線相交之概率

平面上畫滿間距為a的平行直線，向該平面隨機(jī)投擲一個(gè)一般的凸圖形的硬紙片．做示意圖如圖3．由于是一般凸圖形，所以我們很難直接表述它與平行線相交的概率．但我們可以想到一個(gè)解決的辦法——極限法．如圖3畫出該圖形的一個(gè)內(nèi)接凸多邊形和一個(gè)外接凸多邊形，由于這3個(gè)圖形都是凸圖形，所以明顯可以得出：

（1）若內(nèi)接凸多邊形和平行線相交，那么這個(gè)一般凸圖形也必然和平行線相交；

（2）若一般凸圖形和平行線相交，那么外接凸多邊形也必然和平行線相交．

1．5 一般圖形與平行線相交之概率

點(diǎn)集Q的凸包（convex hull）是指一個(gè)最小凸圖形，滿足Q中的點(diǎn)在多邊形邊上或在其內(nèi)．圖4中的多邊形就是點(diǎn)集Q＝ ｛p0，p1，…，p12｝的凸包．［3］

以E1、E2、E3分別表示內(nèi)接凸多邊形、一般凸圖形、外接凸多邊形與平行線相交的事件，則有：

由于外、內(nèi)接凸多邊形無限接近一般凸圖形時(shí)，三個(gè)圖形的周長(zhǎng)也無限地接近，因此由兩邊夾原理得到：

平面上畫滿間距為a的平行直線，向該平面隨機(jī)投擲一個(gè)一般圖形的硬紙片，這里以心形圖為例，試問該一般圖形與平行線相交的概率．做示意圖如圖5：

我們可以看到，若這個(gè)圖形的凸包與平行線相交，那么這個(gè)圖形與平行線也相交；若這個(gè)圖形與平行線相交，那么這個(gè)一般圖形的凸包與平行線也相交．

由凸包的定義我們知道，那是一個(gè)能包裹住給定圖形的最小的凸多邊形，如圖4所示．這樣我們就可以把研究一般圖形與平行線相交的概率問題轉(zhuǎn)化為一般凸圖形與平行線相交的概率問題．我們已經(jīng)知道了一般凸圖形與平行線相交的概率：

由此我們可以得到一般圖形與平行線相交的概率：

2 結(jié)語

本文最終得到了一般的連通圖形與平行線相交之概率和其凸包與平行線相交之概率相同的結(jié)論，并指出在一定的條件下這一概率與凸包的周長(zhǎng)成正比．

［1］楊振明．概率論 ［M］．北京：科學(xué)出版社，1999：20～38．

［2］復(fù)旦大學(xué)．概率論 ［M］．北京：人民教育出版社，1979：38～45．

［3］常庚哲，史濟(jì)懷．?dāng)?shù)學(xué)分析教程 ［M］．北京：高等教育出版社，2002：150～160．

MSC 2000：60D05

Probability of General Figure Intersecting Parallel Lines

CAI Ding－jiao，BAO Xu-feng
（School of Mathematics and Statistics，Anyang Normal College，Anyang 455002，China）

From Buffon’s Problem，by using the formula calculation of the probability of segment intersecting parallel lines，we get the probability of convex polygon intersecting parallel lines，and then by using approximation theorem，we can get the probability of convex figure intersecting parallel lines，and finally，we point out that the probability of general figure intersecting parallel lines is the same as the probability of its convex hull intersecting parallel lines．

convex polygon；approximation theorem；convex hull

O211．2

A

1009-1734（2011）02-0001-04

2011-02-02

蔡定教，講師，從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究．