n－李代數(shù)自同構(gòu)群和導(dǎo)子的提升

王 瑩，王永曦，王 頌，張慶成

（1.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春130024；2.清華大學(xué)理學(xué)院，北京 100084）

n－李代數(shù)自同構(gòu)群和導(dǎo)子的提升

王 瑩1，王永曦2，王 頌1，張慶成1

（1.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春130024；2.清華大學(xué)理學(xué)院，北京 100084）

構(gòu)造了n-李代數(shù)的uce函子并定義了它的乘法運(yùn)算，給出了在函子作用下n-李代數(shù)自同構(gòu)群提升和導(dǎo)子提升的條件是n-李代數(shù)完全，完善了n-李代數(shù)的擴(kuò)張理論.

n-李代數(shù)；自同構(gòu)群；導(dǎo)子

0 引言

1985年，V.T.Fillippov在文獻(xiàn)［1］中提出了n-李代數(shù)的概念，并給出了第一個(gè)n-李代數(shù)的例子，提出了一些結(jié)構(gòu)概念，如單性、冪零性及n＋1維n-李代數(shù)的分類.Sh.m.Kasymov在文獻(xiàn)［2-4］中討論了n-李代數(shù)的可解性和冪零性及其表示問題.1993年，L.A.Takhtajan在文獻(xiàn)［5］中給出了n-李代數(shù)的幾何和物理背景.文獻(xiàn)［6-8］介紹并研究了n-李代數(shù)的擴(kuò)張、導(dǎo)子、同構(gòu)以及自同構(gòu)群；文獻(xiàn)［9-15］提出了n-李代數(shù)的型心、最大秩的冪零n-李代數(shù)與特征冪零的n-李代數(shù)的概念，并研究了其結(jié)構(gòu).為了完善對(duì)各種代數(shù)的研究，人們對(duì)它們的中心擴(kuò)張及自同構(gòu)群和導(dǎo)子的提升問題都進(jìn)行了研究，如Kac-Moody代數(shù)與Virasoro代數(shù)的中心擴(kuò)張等.文獻(xiàn)［16］介紹了n-李代數(shù)中心擴(kuò)張的一些基本概念和理論，給出了n-李代數(shù)L存在泛覆蓋的充分必要條件是L為完全的這一重要結(jié)論.文獻(xiàn)［17-18］對(duì)李三系進(jìn)行了研究，給出限制李三系的一些性質(zhì).本文基于n-李代數(shù)中心擴(kuò)張問題的已知結(jié)果，借助李超代數(shù)構(gòu)造和證明的一些方法和結(jié)論，主要研究n-李代數(shù)的自同構(gòu)群和導(dǎo)子提升.構(gòu)造了n-李代數(shù)的uce函子，給出并論證了當(dāng)n-李代數(shù)L完全時(shí)，n-李代數(shù)L的自同構(gòu)f能提升為uce（L）的自同構(gòu)uce（f），n－李代數(shù)L的導(dǎo)子d能提升為uce（L）的導(dǎo)子uce（d）.

1 預(yù)備知識(shí)

如無特殊說明，本文所用的概念和符號(hào)均與文獻(xiàn)［16］相同.

2 n-李代數(shù)上uce函子的構(gòu)造

若Z（L）＝0，由性質(zhì)1.1知u（Z（uce（L）））＝Z（L）＝0，Z（uce（L））?Keru＝H2（L）?Z（uce（L）），故有H2（L）＝Z（uce（L））.

3 n-李代數(shù)自同構(gòu)群的提升

4 n-李代數(shù)導(dǎo)子的提升

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Automorphisms and derivations’lifting ofn-Lie algebras

WANG Ying1，WANG Yong-xi2，WANG Song1，ZHANG Qing-cheng1
（1.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China；
2.School of Sciences，Tsinghua University，Beijing 100084，China）

In this paper，the uce functor is constructed ofn-Lie algebras and is defined the multiplication on it，and is given the lifting condition of automorphisms and derivations is that then-Lie algebra is complete，such consequence makes expansion theory of then-Lie algebras perfect.

n-Lie algebras；automorphism；derivation

O 152.5

110·21

A

1000-1832（2011）04-0013-07

2010-11-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10871057）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目.

王瑩（1987—），女，碩士研究生，主要從事李代數(shù)研究；通訊作者：張慶成（1960—），男，博士，副教授，主要從事李代數(shù)研究.

陶 理）