n－李代數自同構群和導子的提升

王 瑩，王永曦，王 頌，張慶成

（1.東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春130024；2.清華大學理學院，北京 100084）

n－李代數自同構群和導子的提升

王 瑩1，王永曦2，王 頌1，張慶成1

（1.東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春130024；2.清華大學理學院，北京 100084）

構造了n-李代數的uce函子并定義了它的乘法運算，給出了在函子作用下n-李代數自同構群提升和導子提升的條件是n-李代數完全，完善了n-李代數的擴張理論.

n-李代數；自同構群；導子

0 引言

1985年，V.T.Fillippov在文獻［1］中提出了n-李代數的概念，并給出了第一個n-李代數的例子，提出了一些結構概念，如單性、冪零性及n＋1維n-李代數的分類.Sh.m.Kasymov在文獻［2-4］中討論了n-李代數的可解性和冪零性及其表示問題.1993年，L.A.Takhtajan在文獻［5］中給出了n-李代數的幾何和物理背景.文獻［6-8］介紹并研究了n-李代數的擴張、導子、同構以及自同構群；文獻［9-15］提出了n-李代數的型心、最大秩的冪零n-李代數與特征冪零的n-李代數的概念，并研究了其結構.為了完善對各種代數的研究，人們對它們的中心擴張及自同構群和導子的提升問題都進行了研究，如Kac-Moody代數與Virasoro代數的中心擴張等.文獻［16］介紹了n-李代數中心擴張的一些基本概念和理論，給出了n-李代數L存在泛覆蓋的充分必要條件是L為完全的這一重要結論.文獻［17-18］對李三系進行了研究，給出限制李三系的一些性質.本文基于n-李代數中心擴張問題的已知結果，借助李超代數構造和證明的一些方法和結論，主要研究n-李代數的自同構群和導子提升.構造了n-李代數的uce函子，給出并論證了當n-李代數L完全時，n-李代數L的自同構f能提升為uce（L）的自同構uce（f），n－李代數L的導子d能提升為uce（L）的導子uce（d）.

1 預備知識

如無特殊說明，本文所用的概念和符號均與文獻［16］相同.

2 n-李代數上uce函子的構造

若Z（L）＝0，由性質1.1知u（Z（uce（L）））＝Z（L）＝0，Z（uce（L））?Keru＝H2（L）?Z（uce（L）），故有H2（L）＝Z（uce（L））.

3 n-李代數自同構群的提升

4 n-李代數導子的提升

［1］ FILIPPOV V T.n-Lie algebra［J］.Sib Mat Zh，1985，26（6）：126-140.

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［4］ KSAYMOY SH M.Solvability in representations ofn-Lie algebras［J］.Siberian Math J，1998，39（2）：289-291.

［5］ TAKHTAJAN L A.On foundation of the generalized nambu mechanics［J］.Comm in Mathematical Physics，1994，160（2）：295-315.

［6］ 趙冠華.n-李代數的擴張及其性質［J］.貴州師范大學學報：自然科學版，2007，25（4）：76-77.

［7］ 趙冠華，劉潔.n-李代數的同構和擴張［J］.海南師范大學學報：自然科學版，2006，24（2）：101-103.

［8］ 趙冠華.n-李代數導子和自同構群［J］.河北師范大學學報：自然科學版，2004，28（2）：127-129.

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［10］ 白瑞蒲，張知學，李華君，等.n＋1維n-Lie代數的導子代數［J］.數學進展，2003，32（5）：553-559.

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［15］ BAI RUIPU，MENGDAOJI.The strong semi-simplen-Lie algebras［J］.Comm in Algebras，2003，31（11）：5331-5341.

［16］ 白瑞蒲，張艷艷，孟道驥.n-李代數的中心擴張［J］.數學年刊：A輯，2006，27（4）：491-502.

［17］ 劉秀娟，徐曉寧，陳良云.限制李三系的若干性質［J］.東北師大學報：自然科學版，2009，41（2）：7-12.

［18］ 吳晗，任麗，張永正.環上（p，q）型Lorentz李代數的 Killing型與理想［J］.東北師大學報：自然科學版，2010，42（1）：1-4.

Automorphisms and derivations’lifting ofn-Lie algebras

WANG Ying1，WANG Yong-xi2，WANG Song1，ZHANG Qing-cheng1
（1.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China；
2.School of Sciences，Tsinghua University，Beijing 100084，China）

In this paper，the uce functor is constructed ofn-Lie algebras and is defined the multiplication on it，and is given the lifting condition of automorphisms and derivations is that then-Lie algebra is complete，such consequence makes expansion theory of then-Lie algebras perfect.

n-Lie algebras；automorphism；derivation

O 152.5

110·21

A

1000-1832（2011）04-0013-07

2010-11-15

國家自然科學基金資助項目（10871057）；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目.

王瑩（1987—），女，碩士研究生，主要從事李代數研究；通訊作者：張慶成（1960—），男，博士，副教授，主要從事李代數研究.

陶 理）