21～30階群嵌入置換群的一些討論①

徐峰

(運河高等師范學校，山西運城 221300)

21～30階群嵌入置換群的一些討論①

徐峰②

(運河高等師范學校，山西運城 221300)

本文主要討論了21階到30階的群到置換群的最小嵌入，并討論了最小嵌入的個數及共軛類劃分，并且最終得到了所有的結果.

低階群;最小嵌入;置換群;共軛類

0 引言

在文獻［4］中，作者根據凱萊定理：一個群都同構于一個變換群，討論了1到20階群到置換群的最小嵌入，并得到了所要的結果。從而想到：對于更高階的群，是不是也存在到置換群的最小嵌入?方法是否相同?這些嵌入是否唯一?本文就接下去討論21到30階的情況。

文中，ρ－1aρ的運算順序是從右向左.G＜H表示G是H的子群;Sn表示n次對稱群;m(G)= min{n∈NG＜Sn};［a，b］=a－1b－1ab，即G中元素a，b的換位子;Zn表示模n剩余類加群，它是個n階循環群;如果S是群G的子集，記〈S〉為G中由S所生成的子群。

1 交換群到置換群的嵌入

首先，我們先對交換群G來確定m(G)的值.我們有如下定理：

定理一(有限交換群結構定理)有限交換群G可以分解為一些階等于素數冪的循環群的直積，且這樣的分解方法是唯一的(定理及證明均見參考文獻［4］)。

定理三m( Zpn)=pn，其中p為素數(定理及證明均見參考文獻［4］)。

接下來，我們將對所有從21階到30階的交換群進行討論：

1.1 21階交換群

故由定理二，m(G21，1)≤3+7=10，若G21，1可以嵌到Sn中，則Sn中存在21階元b，若b為21階輪換，則n≥21，若b為不相交輪換的乘積，則這些輪換階數的最小公倍數為21，則一定存在一個3階和7階的不相交的輪換，故n≥10。綜上知m(G21，1)=10。

1.2 22階交換群

1.3 23階交換群

1.4 24階交換群

類似于G21，1的討論知，m(G24，1)=11。

根據定理二，m(G24，2)≤2+4+3=9，考慮到G8，2＜G24，2，m(G8，2)=6，故m(G24，2)≥6，但S6中不含12階元，故m(G(24，2))不能為6.若m(G24，2)=7，則12階元只能為不相交的3階和4階輪換的積，如b=(123)(4567)，則與b可交換的2階元只能為b6，矛盾，故m(G24，2)≠7。若m(G24，2)=8，則12階元為不相交的3階和4階輪換的積，類似于上面討論，也不可能，所以m(G24，2)=9。

根據定理二，m(G24，2)≤9.由于G8，3＜G24，3，m(G8，3)=6，若m(G24，3)=6，則6階元只能形如c=(123456)，或不相交的2階、3階輪換之積，比如c=(12)(345)。當c=(123456)時，與之可交換的2階元僅有c3，矛盾。當c=(12)(345)時，與之可交換的2階元僅有(12)=c3，矛盾.故m (G24，3)≠6.若m(G24，3)=7，則6階元只能形如c=(123456)或c=(12)(345)或c=(12)(34) (567)。對于c=(123456)，與之可交換的2階元僅有b3，矛盾。對于c=(12)(345)，與之交換的2階元僅有c3=(12)、(67)、(12)(67)，但可驗證，由(12)、(67)、(12)(67)中的任兩個與(12) (345)三者生成群的階＜24，故也不可能。對于c=(12)(34)(567)，與之交換的2階元僅有(12)、(34)、(12)(34)、(13)(24)、(14)(23)，也可以驗證，由(12)(34)(567)與(12)、(34)、(12) (34)、(13)(24)，(14)(23)中的任兩個可交換的元生成的群的階＜24，也不可能。故m(G24，3)≠7.若m(G24，3)=8，則6階元形如c=(123456)或(12)(345)或(12)(34)(567)或(12)(345) (678)。若c=(123456)則與之交換的2階元僅有c3和(78)以及c3(78)，矛盾。若c=(12) (345)則與之交換的2階元有c3=(12)、(67)、(78)、(68)以及(12)(67)、(12)(78)、(12) (68)。也可驗證，由c=(12)(345)與上面任兩個可交換的2階元所生成的群的階＜24，矛盾.若c=(12)(345)(678)則與之可交換的2階元僅有c3=(12)、(36)(47)(58)、(37)(48)(56) (38)(46)(57)、(12)(36)(47)(58)、(12)(37) (48)(56)、(12)(38)(46)(57)，但由c與上述任兩個可交換的2階元生成的群的階小于24。故m(G24，3)≠8.綜上知m(G24，3)=9。

1.5 25階交換群

1.6 26階交換群

1.7 27階交換群

由定理二，m(G27，2)≤12。設G27，2可嵌入Sn中，則27|n!，故n≥9。當9≤n＜12時，9階元只能形如b=(123456789)，此時除b3，b6之外無3階元與b可交換，故n=12，即m(G27，2)=12。

從G27，2中的討論可看出m(G27，3)=9。

1.8 28階交換群

由定理二，m(G28，2)≤2+2+7=11.考慮到G14，1＜G28，2，m(G14，1)=9，故m(G28，2)只能為9或10或11.若m(G28，2)=9或10，則14階元只能是不相交的2階、7階輪換的乘積，不妨設為b= (12)(3456789)，則要想有除b7=(12)之外的2階元與b交換，m(G28，2)至少為11，且這個元為(10 11)或(12)(10 11)，故m(G28，2)=11。

1.9 29階交換群

1.10 30階交換群

這樣，就得到了在交換的情況下，21～30階群嵌入置換群的最小嵌入。

1.11 關于低級交換群嵌入置換群的猜測總結

2 非交換群到置換群的嵌入

關于一些特殊的非交換群，我們也有一些已有結論：

定理四如果p為奇數，Dp可以嵌到Sp中，

(定理及證明均見參考文獻［4］)。

定理五如果p為奇數，設n=2p，則Dn可以嵌到Sm中，其中m=p+2，

(定理及證明均見參考文獻［4］)。

基于定理四、定理五和一些分析，我們來討論非交換群的情況：

2.1 21階非交換群

G21，2G21，2中含有7階元，故m(G21，2)≥7.此時取a=(1234567)，b=(253)(467)，不難驗證，a、b生成的群與G21，2同構，故m(G21，2)=7。

2.2 22階非交換群

2.3 24階非交換群

G24，4G24，4含有12階元，故m(G24，4)≥7，若令a=(1234)(567)，b=(24)(67)不難驗證這兩個元生成的群與G24，4同構，故m(G24，4)=7。

G24，5G24，5含有12階元，故m(G24，5)≥7，若m(G24，5)≤10，則a=(1234)(567)或與一個不相交的2階輪換的乘積或與一個不相交的3階輪換的乘積，但不管怎樣a6等于(13)(24)，則對應4階生成元b滿足b2=(13)(24)，b中含有一個4階輪換(1234)或(1432)，但不管怎樣，都不滿足b－1ab=a－1，故12階元a至少含兩個不相交的4階輪換。若令a=(1234)(5678)(9 10 11)，b= (1638)(2547)(10 11)，不難驗證這兩個生成的群與G24，5同構，故m(G24，5)=11。

G24，6G24，6含有12階元，故m(G24，6)≥7，若令a=(1234)(567)，b=(24)，不難驗證，這兩個元生成的群與G24，6同構，故m(G24，6)=7。

G24，7G24，7含有12階元，故m(G24，7)≥7，設m(G24，7)≤10，則12階生成元a只能為(1234) (567)或再乘上一個2階輪換，或再乘上一個3階輪換。但不管怎樣a2含有(13)(24)，讓a2=b2，則b包含一個4階輪換(1234)或(1432)，但不管怎樣，b－1ab≠a7(a7∶1→4，b－1ab∶1→2)。故a至少含兩個4階輪換.若令a=(1234)(5678)(9 10 11)，b=(1638)(2547)(9 10 11)，不難驗證，這兩個元生成的群與G24，7同構，故m(G24，7)=11。

G24，8G24，8含有12階元，故m(G24，8)≥7，若令a=(1234)(567)，b=(67)，不難驗證，這兩個元生成的群與G24，8同構，故m(G24，8)=7。

G24，9b為8階元，故b至少含一個8階輪換，從b2=a3可以看出，a至少含兩個4階輪換，從而m(G24，9)≥11.若令a=(1432)(5876)(9 10 11)，b=(15263748)(10 11)，不難驗證，這兩個元生成的群與G24，9同構，故m(G24，9)=11。

G24，10由a，b，c三個元生成的群Gabc為G24，10的子群，且Gabc?Z2⊕Z2⊕Z3，由前面交換群嵌入的討論可知，m(Gabc)=7，則m(G24，10)≥7.若令a=(12)(34)，b=(14)(23)，c=(567)，d=(67) (13)，不難驗證，這四個元生成的群與G24，10同構，故m(G24，10)=7。

G24，11類似于G24，10的討論，m(G24，11)≥7.若令a=(12)，b=(34)，c=(567)，d=(67)，不難驗證，這三個元生成的群與G24，11同構，故m (G24，11)=7。

G24，12類似于G24，10的討論，m(G24，12)≥7.從d2=ab看出，d至少含有一個4階輪換。若d僅含有一個4階置換，不妨設d=(1234)，則d2=ab =(13)(24)，此時a=(13)，b=(24)，或a= (12)(34)，b=(14)(23)或a=(14)(23)，b= (12)(34)，或分別乘上一些除1，2，3，4之外的不相交的2階輪換，但不管怎樣，a與d都不可交換。故d至少含有兩個4階輪換，則m(G24，12)≥8。若m(G24，12)=8，則b只能為(1234)(5678) b2=(13)(24)(57)(68)，滿足d2=ab，d－1ad= a，d－1bd=b的可交換的二階元a、b只能為a= (13)(24)，b=(57)(68)或a=(13)(57)，b= (24)(68)或a=(13)(68)，b=(24)(57)(忽略a和b的對稱性)，此時找不到與a、b、d都可交換的三階元d，故m(G24，12)≠8，類似地可討論知m (G24，12)≠9，10。若令a=(12)(34)，b=(56) (78)，c=(9 10 11)，d=(1324)(5768)(10 11)不難驗證它們生成的群與G24，12同構，故m (G24，12)=11。

G24，13由a，b，c這三個元生成的群與G12，5同構，而m(G12，5)=4，故m(G24，13)≥4.若m (G24，13)=4或5，則不存在與3階元c可交換的2階元d。若令a=(14)(23)，b=(13)(24)，c= (234)，d=(56)，不難驗證，這三個元生成的群與G24，13同構，故m(G24，13)=6。

G24，14類似于G24，13的討論，m(G24，14)≥4.若令a=(14)(23)，b=(13)(24)，c=(234)，d= (34)，不難驗證，這三個元生成的群與G24，14同構故m(G24，14)=4。

G24，15G24，15含有4階元，故m(G24，15)≥4.若m(G14，15)≤7，則4階生成元a為一個4階輪換或再乘上一個2階輪換。不妨假設a含有(1234)則a2=(13)(24)，由b2=a2知，b含有(1432)或含有(1234)。不管怎樣，b－1ab≠a－1，故a至少含有2個4階輪換，即m(G24，15)≥8.若令a= (1234)(5678)，b=(1836)(2745)，c=(258) (476)，不難驗證，這三個元生成的群與G24，15同構，故m(G24，15)=8。

2.4 26階非交換群

G26，2G=〈a，b〉，a13=b2=1，b－1ab=a－1

G26，2G26，2?D13，故m(G26，2)≤13，又G26，2中含13階元，故m(G26，2)≥13。故m(G26，2) =13。

2.5 27階非交換群

G27，4G27，4中含有9階元，故m(G27，4)≥9，若令a=(123456789)，b=(285)(369)，不難驗證，這兩個元生成的群與G27，4同構，故m(G27，4)=9。

G27，5由a，b生成的群與G9，2同構，而m(G9，2) =6，故m(G27，5)≥6，若m(G27，5)=6，則3階生成元a可由一個3階輪換或兩個3階輪換相乘生成。若a=(123)，則與之可交換的3階元為(132)，(456)，(465)或它們與一個不相交的3階輪換的乘積。但此時不管b、c怎么選取都不能使c－1bc=ba.若a=(123)(456)，則與之可交換的3階元為(132)、(465)、(123)、(456)或它們中含有1的3輪換與含4的3輪換的乘積，但不管怎么選取b、c，都不能使c－1bc=ba，從而m(G27，5)≠6.同樣可討論m(G27，5)≠7，8.若令a=(123) (456)(789)，b=(148)(259)(367)，c=(147) (258)(369)，不難驗證，這3個元生成的群與G27，5同構，故m(G27，5)=9。

2.6 28階非交換群

G28，3G28，3?D14，由定理五，m(G28，3)≤9，又G28，3中含14階元，故m(G28，3)≥9，故m(G28，3)=9。

G28，4G28，4中含14階元，故m(G28，4)≥9.若m (G28，4)=9，則a=(12)(3456789)，a7=(12)，滿足b2=a7=(12)的b不存在。類似討論m (G28，4)≠10。若令a=(12)(34)(567891011)，b =(1324)(6 11)(7 10)(89)，不難驗證這兩個元生成的群與G28，4同構，故m(G28，4)=11。

2.7 30階非交換群

G30，2G30，2中含15階元，故m(G30，2)≥8。若令a=(123)(45678)，b=(23)(58)(67)，不難驗證這兩個元生成的群與G30，2同構，故m(G30，2)=8

G30，3G30，2含有15階元，故m(G30，3)≥8若令a=(123)(45678)，b=(58)(67)，不難驗證這兩個元生成的群與G30，3同構，故m(G30，3)=8。

G30，4G30，4含有15階元，故m(G30，4)≥8若令a=(123)(45678)，b=(23)，不難驗證這兩個元生成的群與G30，4同構，故m(G30，4)=8。

3 最小嵌入個數、共軛類的討論

前面完成了21～30階群到置換群的最小嵌入的討論，但這些嵌入是不是唯一的?如果不唯一，到底有多少種不同的最小嵌入?它們之間有什么關系?

先來看看Klein四元群K={e，a，b，ab}，它可嵌入S4，但K?G1={(1)，(12)，(34)，(12) (34)}，K?G2={(1)，(24)，(13)，(13)(24)} K?G3={(1)，(14)，(23)，(14)(23)}，K又同構于G4={(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14) (23)}。顯然，G1?G2?G3是互相共軛的，而與G4共軛的只有G4。

由上述兩種，可見，有必要討論21～30階群到置換群的最小嵌入的個數，共軛分類。

(P55，定理12)文獻［1］告訴我們：n次對稱群中兩置換為共軛的充要條件是它們為同型的置換.設π、τ為二同型置換，寫為循環表示時應有：

先證明下述定理：

由此可見，ρ－1Gρ?G'，同理可證ρ－1Gρ?G'，所以ρ－1Gρ=G'。

事實上，此時G，G'在H的內自同構意義下是同構的(H的內自同構σρ在其上的限制作用)。

從而可見，討論最小嵌入的共軛問題。只需要看它們的生成元是否共軛，也即它們的生成元是否是同型的。而對于決定共軛的元素“ρ”，用上面給出的方法可以具體求出來，但考慮到最小嵌入的個數之巨大，下面的討論就不具體寫出來。

先看交換情況下，21～30階群到置換群嵌入個數、共軛類的討論。

G21，1m(G21，1)=10.21階元只能由3階元和7階元的乘積生成，則它的最小嵌入的個數為它們為同型的，根據文獻［1］定理12(P55)，它們為同一個共軛類。

最小生成元為一個，最小生成元集為{a= (123)(45678910)}。

最小生成元為一個，最小生成元集為{a= (12)(345)(6 7 8 9 10)}。

至此交換情況下最小嵌入個數、共軛類的討論完畢。

關于非交換的情況可分為兩類討論(對于嵌入S6的除外，因為S6有外自同構)。第一類：不存在可交換的生成元，如G21，1，G22，2，G24，4，G24，5等等。這種情況下，在共軛的意義下，它們的嵌入都是唯一的，也即只有一個共軛類。而關于最小嵌入個數的討論，用排列組合的知識很容易得到。第二類：存在一些可交換的生成元，如G24，10，G24，11，G24，12，等等。這種情況下，交換的部分可用前面交換群嵌入置換群的方法進行討論，再結合第一類的討論可以得到最小嵌入個數、共軛類的討論。

分別各舉一例說明上述的兩類情況，比如G22，2和G24，10。

這樣，21～30階群到置換群的最小嵌入個數、共軛類的討論完畢。

到此，我們得到了所要的結果。

［1］張遠達.有限群構造(上，下)［M］.北京，科學出版社，1982

［2］韓士安，林磊.近世代數［M］.北京，科學出版社，2004

［3］http：//wims.math.ecnu.edu.cn/華東師范大學數學系網上對談式數學服務器(WIMS) Group模塊

［4］張通.關于低階群嵌入置換群的一些討論［D］.華東師范大學數學系，2005

［5］苑金枝，曹洪平.23p階群的一個新刻畫［J］.西南大學學報，2008

On the embedding from groups with order 21～30 into symmetric groups

XU Feng

(Higher Normal School of Canal，Yuncheng Shanxi221300)

In this paper，we discuss minimal embeddings from groups with order 21～30 into symmetric groups.Moreover，the number of minimal embeddings and the number of conjugate classes are given.

group with lower order;minimal embedding;symmetric group;conjugate class

O211.6

A

1672－7169(2011)03－0064－08

2011－05－23

徐峰(1972－)，女，江蘇新沂人，碩士，運河高等師范學校數學與科學系教師。