第一類李擬代數的Frattini子代數與c可補子代數

溫啟軍，肖玉山

（長春大學理學院，吉林長春 130022）

第一類李擬代數的Frattini子代數與c可補子代數

溫啟軍，肖玉山

（長春大學理學院，吉林長春 130022）

把Frattini理論推廣到第一類李擬代數，得到了第一類李擬代數的Frattini子代數的若干性質，并研究了第一類李擬代數的c可補子代數的重要性質，給出它們之間的重要關系.

第一類李擬代數；Frattini子代數；c可補子代數

1 預備知識

李代數不僅在數學領域中具有重要的地位，而且在理論物理研究中也具有不容忽視的作用.作為李代數（李超代數）的自然推廣，人們給出6種新推廣的代數，分別稱為第一、二、三類李擬代數，根據結合代數與李代數之間的密切聯系，文獻［1］給出了不變子代數和第一、二、三類李擬代數（李擬超代數）之間的密切聯系.

在文獻［1］中，作者把有限維李代數對于基的結構常數、可解性、冪零性、同態基本定理、導子等性質推廣到了在一個非空有限集合S上誘導出的第一類李擬代數上，主要給出了第一類李擬代數的相應性質［2－5］.李代數等代數的Frattini子代數與c可補子代數已經有了較多的研究［4－8］，本文主要把Frattini理論推廣到第一類李擬代數，得到了第一類李擬代數的Frattini子代數的若干性質，研究了第一類李擬代數的c可補子代數的重要性質，并給出它們之間的重要關系.本文總設S是非空集合，符號和術語與文獻［3－6］一致.

定義1.1［4］設G是域F上的線性空間，若G中有二元雙線性運算（x，y）→［x，y］滿足以下兩個條件：

則稱G為域F上的李代數.條件（2）稱為Jacobi恒等式.

定義1.2［1］設L是域F上的向量空間，在L中定義了一個二元雙線性運算集合｛［·，·］k｜k∈S｝，其中［·，·］k：L×L→L是一個二元映射，若以下兩個條件成立：

則稱L為在S上誘導出的第一類李擬代數，記為（L，［·，·］k∈S）.條件（2）稱為Jacobi擬恒等式.

定義1.3［1］L為在S上誘導出的第一類李擬代數，I是L的子空間.若?k∈S，有［L，I］k?I，則稱I是L的理想.

定義1.4［1］L為在S上誘導出的第一類李擬代數，N是L的子空間.若?k∈S，有［N，N］k?N，則稱N是L的子代數.

定義1.5L為在S上誘導出的第一類李擬代數，D是L上的一個線性變換，如果?k∈S，?x，y∈L，D（［x，y］k）＝［Dx，y］k＋［x，Dy］k，則稱D為L一個導子，記DerL＝｛D∈ɡl（L）｜D為L的導子｝.

例 設S為非空集合，V是復數域C上的n維向量空間.記V上的所有線性變換的集合為ɡl（V），由定義1.2知ɡl（V）關于方括號積｛［A，B］k＝φ（k）（AB－BA）｜A，B∈ɡl（V），k∈S｝構成在S上誘導出的第一類李擬代數，其中φ：k｜→φ（k）是一個從S到F＊的映射，那么李代數L可以被視為在S上誘導出的第一類李擬代數.

2 Frattini子代數

3 c可補第一類李擬代數

若x?N（L），則存在L的理想C滿足x?C.故L／C是冪零的.

設x1?N（L）與C1是滿足x1?C1的理想且L／C1是冪零的.若C1?N（T），則結論成立；若不是，則選取x2∈C1＼N（L），并設C2是滿足x2?C2的理想且L／C2冪零.顯然

致謝 感謝陳良云副教授在我訪問東北師范大學數學與統計學院時給予的指導與幫助！

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［2］溫啟軍，錢玲，陳良云.Jordan李代數的分解與Frattini理論［J］.東北師大學報：自然科學版，2010，42（4）：12－16.

［3］TOWER D A，VAREA V R.Elementary Lie algebras Lie algebras［J］.J Algebra，2007，312：891－901.

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［5］MALEK A A.The Frattini subalgebra of a malcev algebras［J］.Arch Math，1981，37：306－315.

［6］CHEN L Y，MENG D J，ZHANG Y Z.The Frattini subalgebra of restricted Lie Superalgebras［J］.Acta Math Sinica：English Series，2006，22（5）：1343－1356.

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Frattini subalgebras andc－supplemented subalgebras for Lie－like algebras1－st

WEN Qi－jun，XIAO Yu－shan
（School of Sciences，Changchun University，Changchun 130022，China）

In this present paper，initially Frattini subalgebras andc－supplemented subalgebras are developed for Lie－like algebras1－st，obtained some properties of the Frattini subalgebras andcsupplemented subalgebras and give their relationship.

Lie－like algebras1－st；Frattini subalgebrs；c－supplemented subalgebras

O 152.5

110·21

A

1000－1832（2011）04－0020－05

2010－06－30

國家自然科學基金資助項目（10701019）.

溫啟軍（1973—），男，碩士，講師，主要從事李代數研究；肖玉山（1964—），男，博士，教授，主要從事統計學研究.

陶 理）