復(fù)隨機(jī)變量的條件獨(dú)立性與條件回歸獨(dú)立性

楊金英

（呼倫貝爾學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古海拉爾 021008）

復(fù)隨機(jī)變量的條件獨(dú)立性與條件回歸獨(dú)立性

楊金英

（呼倫貝爾學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古海拉爾 021008）

將實(shí)隨機(jī)變量的條件獨(dú)立性與條件回歸獨(dú)立性的研究推廣到復(fù)隨機(jī)變量，討論了復(fù)隨機(jī)變量的條件獨(dú)立性、條件回歸獨(dú)立性及強(qiáng)條件獨(dú)立的關(guān)系，得到了三者等價(jià)的幾個(gè)充分必要條件.

復(fù)隨機(jī)變量；條件獨(dú)立；條件回歸獨(dú)立；多維隨機(jī)變量

條件獨(dú)立性與條件回歸獨(dú)立性是現(xiàn)代概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要的概念與工具之一，在概率空間上σ－域的獨(dú)立性與條件獨(dú)立性的概念為現(xiàn)代概率論的一些分支，如鞅、Markov過程及平穩(wěn)過程的發(fā)展奠定了理論基礎(chǔ)［1］.也在圖模型理論、因果分析和貝葉斯網(wǎng)絡(luò)等現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)方法中得到廣泛的應(yīng)用.［2－6］

文獻(xiàn)［7］對實(shí)隨機(jī)變量條件獨(dú)立的三種形式及其關(guān)系進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)［8］對實(shí)離散型隨機(jī)變量的條件獨(dú)立與條件回歸獨(dú)立進(jìn)行了研究.本文將對復(fù)隨機(jī)變量的條件獨(dú)立性、條件回歸獨(dú)立性及強(qiáng)條件獨(dú)立的關(guān)系進(jìn)行研究.由于復(fù)隨機(jī)變量的獨(dú)立性問題與實(shí)多維隨機(jī)變量的獨(dú)立性有關(guān)，因此，本文將先討論多維隨機(jī)變量的條件獨(dú)立性、條件回歸獨(dú)立性及強(qiáng)條件獨(dú)立的等價(jià)關(guān)系，之后再討論復(fù)隨機(jī)變量的相關(guān)問題.

1 多維隨機(jī)變量的條件獨(dú)立與條件回歸獨(dú)立

1.1 基本概念

設(shè)X＝（X1，…，Xm），Y＝（Y1，…，Y n），Z＝（Z1，…，Zk）為m，n，k維隨機(jī)變量，m≥1，n≥1，k≥1，且X，Y，Z均為連續(xù)型（或均為離散型）隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布密度（聯(lián)合分布列）為

Z為非退化隨機(jī)變量.

定義1設(shè)概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上的隨機(jī)向量（X，Y，Z）有聯(lián)合密度函數(shù)（聯(lián)合分布列），若對任意的

1.2 主要定理與證明

2 復(fù)隨機(jī)變量的條件獨(dú)立與條件回歸獨(dú)立

設(shè)X＝X1＋iX2，Y＝Y(jié)1＋iY2，Z＝Z1＋iZ2分別是m，n，k維復(fù)隨機(jī)變量，因?yàn)橐粋€(gè)n維復(fù)Borel域和一個(gè)2n維的實(shí)Borel域是同構(gòu)的，因此對復(fù)隨機(jī)變量的條件獨(dú)立性、條件回歸獨(dú)立性與多維隨機(jī)變量（X1，X2），（Y1，Y2），（Z1，Z2）的條件獨(dú)立性、回歸獨(dú)立性是等價(jià)的，于是有如下的結(jié)論：

［1］嚴(yán)士健，王雋驤，劉秀芳.概率論基礎(chǔ)［M］.北京：科學(xué)出版社，1988：255－294.

［2］VELLAISAMY P，VIJAY V.Collapsibility of regression coefficients and its extensions［J］.Journal of Statistical Planning and Inference，2008，138：982－994.

［3］耿直，何洋波，王學(xué)麗.因果鏈上因果效應(yīng)的關(guān)系及推斷［J］.中國科學(xué)：A輯數(shù)學(xué)，2004，34（2）：227－236.

［4］XIANCHAO XIE，ZONGMING MA，ZHI GENG.Some association measures and their collapsibility［J］.Statistica Sinica，2008，18：1165－1183.

［5］JIANHUA GUO，ZHI GENG.Collapsibility of Logistic Regression Coefficients［J］.J R Statist Soc B，1995，57：263－267.

［6］孫鐵利，趙雋，楊風(fēng)芹，等.一種基于相對特征的文本分類算法［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，42（1）：68－71.

［7］李開燦，耿直.條件獨(dú)立性的三種形式及其相互關(guān)系［J］.北京大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2002，38（5）：629－634.

［8］郭建華，馬文卿.隨機(jī)獨(dú)立與回歸獨(dú)立［J］.北京大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2000，36（1）：39－43.

Conditional independence of complex random variables and conditional regressive independence

YANG Jin－ying

（School of Mathematics Sciences，College of Hulunbeier，Hailaer 021008，China）

This will be implemented conditional independence of random variables and conditions regressive independence extended to complex random variables，conditional independence of complex random variables，conditional regressive independence between strong conditional independence of relations is discussed，and several necessary and sufficient conditions are presented.

complex random variables；conditional independence；conditions regressive independence；multidimensional random variable

O 212

110·67

A

1000－1832（2011）04－0025－04

2010－06－10

內(nèi)蒙古自治區(qū)自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2009MS0106）.

楊金英（1965—），女，副教授，主要從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究.

陶 理）