一維聲子晶體帶隙研究概述

邱學云

(文山學院數理系,云南文山663000)

一維聲子晶體帶隙研究概述

邱學云

(文山學院數理系,云南文山663000)

文章對聲子晶體的概念、基本特征和分類進行簡要概述.總結分析一維聲子晶體的三種簡化模型和一維聲子晶體的計算方法及其帶隙研究成果.展望一維聲子晶體在低頻振動、噪聲控制、抗振防震方面的應用可能,為深入研究一維聲子晶體提供依據.

一維聲子晶體;能帶結構;帶隙

半導體中的電子與周期分布的原子勢場相互作用,使得半導體形成電子帶隙,即電子能帶間的頻率范圍,也叫電子禁帶,人為設計能夠控制電子的流動.近年來,能帶理論突破了以固有材料為研究對象的限制,進入了通過能帶設計來模擬實際晶格以獲得新型功能材料和器件的新階段.在這些材料中存在能夠禁止某種經典波傳播的頻率范圍,這些頻率范圍稱為帶隙.具有經典波帶隙的周期性復合材料或結構統稱波晶體.通常把存在電磁波帶隙,介電常數周期分布的材料或結構稱光子晶體,把存在彈性波帶隙,彈性常數及密度周期分布的材料或結構稱聲子晶體.

文章對聲子晶體的概念、基本特征、和分類進行簡要概述,總結分析一維聲子晶體的計算方法及其帶隙研究成果,展望一維聲子晶體的應用可能,為深入一維聲子晶體的應用研究提供依據.

1 聲子晶體概述

1.1 聲子晶體概念和基本特征

1987 人們年發現了一種新型光子材料--光子晶體[1-2],在光子晶體研究的基礎上,提出了聲子晶體的概念.M.S.Kushwaha等1993年第1次提出聲子晶體概念時,就對電子晶體、光子晶體和聲子晶體的有關特性進行了比較[3],通過比較研究,得出它們非常相似性[4].聲子晶體是一種具有彈性波帶隙的周期性結構材料,即在帶隙頻率范圍內的彈性波不能夠傳播.基于這一特性,聲子晶體在隔聲、降噪、減振方面有廣闊的應用可能.

聲子晶體內部材料的彈性常數、密度、楊氏模量等材料參數周期性變化和材料結構參數晶格尺寸、組份比的不同,聲子晶體的彈性波帶隙也就不同.帶隙分完全帶隙和不完全帶隙,在特定的頻率范圍內,波在波矢的所有方向上都不能傳播的稱為完全帶隙.頻率范圍內只允許某些方向上的波通過,其它方向禁止通過的帶隙具有方向性,稱為不完全帶隙.一般來說,聲子晶體中各組份比越大,入射波將被散射得越強烈,就越容易產生帶隙[5].

1.2 聲子晶體的分類

聲子晶體一般由兩相或以上的彈性介質復合組成.根據聲子晶體結構在笛卡爾坐標系中周期排列形式的不同,分為一維、二維及三維結構.如圖1所示,從左到右分別為一維(層狀)、二維(柱狀)、三維(正方體)聲子晶體結構示意圖.聲子晶體結構常用的組份形態有層狀、柱狀、長方體、正方體、球形、橢球形等,材料可以是實心或中空的,可以是不同物相不同組份的復合.

圖1 聲子晶體結構示意圖

2 一維聲子晶體簡化模型

一維聲子晶體一般有層狀結構和桿狀結構兩種.對一維聲子晶體帶隙進計算分析時,通過調控組元材料的結構參數或材料參數來調控聲子晶體的帶隙情況.對于一維聲子晶體,當相鄰兩個離散單元為同種材料時沿x方向的拉壓剛度為2ES/(dj+1+dj),不同種材料時拉壓剛度為2EAEBS/(EAdj+1+EBdj),E為彈性模量.對于原胞中包含兩種以上材料疊合的情形也可以按上述方法進行簡化處理.[6]

2.1 嚴格周期性聲子晶體模型

如下圖2所示是一維嚴格周期性聲子晶體簡化模型.圖(a)是一維二組元結構,圖(b)是一維三組元結構.不同彈性常數和密度的材料A、B或材料A、B、C沿x方向交替排列形成一維二組元(三組元)聲子晶體的簡化模型.用集中質量法可以將其分解為有限個集中質量,各個集中質量間之間的連接簡化為無質量的彈簧連接,聲子晶體原胞由材料A和材料B組成,理論上是無限多自由度的連續介質系統.因此,其原胞可簡化為有限個自由度的彈簧振子結構,而一維聲子晶體則簡化為周期彈簧振子結構.[7]如下圖3所示是一維二組元聲子晶體的離散示意圖,我們只要找到離散后的集中質量和彈簧剛度與連續介質材料參數之間的關系,就可以計算連續介質的一維二組元聲子晶體的帶隙結構.

2.2 層厚遞變式一維準周期結構聲子晶體模型

曹永軍等[8]提出一種層厚遞變式一維準周期結構聲子晶體模型.如圖4所示,系統共有N個周期2N層,分3種情況:第一種情況是第1個周期中兩種介質的厚度為dA和dB,其后每個周期的厚度同時依次遞增或遞減一個Δd;第二種情況是第1個周期中兩種介質的厚度為dA和dB,其后每個周期中介質A的厚度不變,而介質B的厚度依次遞增或遞減一個Δd;第三種情況是第1個周期中兩種介質的厚度為dA和dB,其后每個周期中介質B的厚度不變,而介質A的厚度依次遞增或遞減一個Δd.通過計算彈性波通過該一維準周期結構聲子晶體的透射系數,并與周期結構聲子晶體的透射系數進行比較.研究發現利用準周期排列結構可以有效地調節聲子晶體的帶隙寬度和所在的頻率范圍.

圖4 層厚遞變式準周期結構聲子晶體模型

2.3 一維功能梯度材料聲子晶體模型

宿星亮等[9]提出了一維功能梯度材料聲子晶體模型.如圖5所示,該模型研究的一維聲子晶體是由材料常數按指數形式分布的功能梯度材料沿x軸方向周期排列而成.該功能梯度材料單元兩端表面材料常數相同,在原胞中心a處達到材料常數峰值,周期排列后構成材料常數宏觀上連續變化的一維結構.

圖5 一維功能梯度材料聲子晶體模型

上述三種一維聲子晶體模型:第一種是材料參數和結構參數嚴格周期性變化的;第二種是材料參數不變,結構參數層厚遞變式的準周期性結構;第三種是材料參數按指數形式分布變化,結構參數不變的準周期性結構.三種模型各有優點,都具有各自的實際應用價值.

3 一維聲子晶體帶隙計算及其研究

國內外有關聲子晶體帶隙研究的文獻主要是對聲子晶體的布拉格散射機理[10-12]、局域共振帶隙機理[13-18]和帶隙特性進行研究.局域共振帶隙機理由我國劉正猷教授等人2000年提出.局域共振帶隙機理認為,在特定的彈性波激勵下,聲子晶體結構基體中的散射單元產生共振,并同彈性波相互作用,從而抑制其傳播.這為低頻振動與噪聲控制的應用研究開辟了一條新思路[19].另外,王剛等人主要研究了不同周期結構的帶隙計算方法和帶隙特性,研究也取得了很多的成果[20].下面是常用的一維聲子晶體帶隙的計算方法及其部分研究成果.

3.1 傳遞矩陣法

傳遞矩陣法[21-22]是從連續狀態參數應力、質點位移等的基本方程入手,結合界面連續條件,得出單個周期的傳遞矩陣.通過引入周期邊界條件得到相應的色散關系即能帶結構,同時通過有限個傳遞矩陣相乘可得到有限周期傳輸特性.該方法計算量較小,可計算一維聲子晶體帶隙,不能直接處理二維和三維聲子晶體的帶隙.

郁殿龍等[23]利用該法研究了表面局域態對一維聲子晶體中水平剪切波傳輸特性的影響情況,研究表明共振峰的極值與入射角度和聲子晶體層數有關,合適的入射角度和層數可以使聲波完全透射.當入射角在一定范圍內連續變化時,在較寬頻率范圍內均出現較大透過率.聲子晶體的這一特性可以應用于高性能的阻抗匹配材料和聲波濾波器中.

蔣澤等[24]應用廣義傳輸矩陣法,建立了聲波傳播特性的理論分析模型,得到了其聲波場的平面波解,給出了數值實現方案.其研究表明,該方法可精確地模擬彈性波通過一維有限厚的嚴格周期結構、準周期結構以及完全無序結構的傳播特性.

3.2 平面波展開法

對于平面波展開法[25-26]是因為聲子晶體具有周期性,可將相關參數按傅里葉級數展開,結合Bloch定理,把聲子晶體波動方程放到倒格矢空間以平面波疊加的形式展開,將聲子晶體波動方程的求解轉化成本征值問題,從而得到頻率與波矢之間的色散關系即聲子晶體的帶隙結構.該法可用于計算一維、二維、三維聲子晶體中固體/固體、液體(氣體)/液體(氣體)的復合結構,但在計算、液體(氣體)/固體結構時存在困難.應用該法時當組元材料參數差異較大時計算量大,收斂慢,但是隨著計算機的更新換代,這個問題已經得到改善.宿星亮,等[9]應用此法研究了由功能梯度材料周期復合而成的一維聲子晶體中存在的彈性波帶隙特征,結果表明功能梯度材料聲子晶體較常規材料聲子晶體在相同范圍內能夠出現更多階帶隙結構.

肖偉等[27]提出用波傳播法來研究一維聲子晶體的帶隙特性,將該方法與平面波展開法進行比較,發現平面波展開法隨著波數的增加而逐漸收斂于波傳播法的結果.如將波傳播法應用于一維二組元和一維四組元聲子晶體禁帶特性的計算中,在相同計算精度下波傳播法的計算時間大約為平面波展開法的1/50和1/100.當考慮到粘彈性材料的頻變特性時,波傳播法能直接得到聲子晶體的禁帶特性,在相同的計算精度下波傳播法的計算量大約要比經過迭代改進的平面波展開法的計算量小兩個數量級.

閆志忠等[28]發展了一種基于小波的一維聲子晶體彈性波帶隙計算方法,將彈性波場在小波基上展開,得到一個關于自適應計算小波積分的一般矩陣特征值問題.將該方法應用到二元體系的聲子晶體,與傳統平面波展開法相比,該方法的計算結果與之相符合,而且可在得到同樣計算精度的條件下,顯著降低計算量,提高計算速度.

王剛等[29]采用迭代法改進了一維聲子晶體帶隙特性計算的平面波展開算法,以使其適用于組成材料粘彈性所導致的彈性常數隨頻率非線性變化的特性.在將該算法應用于丁腈橡膠和鋼組成的一維周期結構聲子晶體振動帶隙的研究中,理論計算和振動測試結果吻合理想.

3.3 集中質量法

集中質量法[30-31]是基于振動力學中連續系統的離散化思想,在聲子晶體中將各組元連續介質中的質量集中到有限個節點或截面上,把有限個節點或截面視為有限多個自由度的彈簧振子結構,即將聲子晶體彈性波帶隙的計算簡化為計算周期彈簧振子結構的彈性波帶隙.其本質是將無限自由度系統轉化成有限自由度系統近似求解.這種方法特別適合計算大彈性常數差組份復合而成的一維聲子晶體,并且這種方法可以更加直觀地描述聲子晶體內部作用機理,這對聲子晶體帶隙的產生機理揭示將起到重要作用.

劉鐵權等[32]將一維聲子晶體的原胞簡化為有限多個自由度的彈簧振子結構后,在辛對偶變量體系下探討晶格振動,引入辛數學方法確定波矢與本證值的色散關系.通過本證值計數法計算特征頻率,從而得到禁帶區間.研究認為與傳統集中質量法相比,該算法的計算結果與之吻合很好,且提高了計算精度和計算效率,在低頻處收斂性更好,可以借鑒參考.

結束語

深入研究一維聲子晶體的帶隙特性,將會發現許多新的物理現象,從理論計算尋找到具有帶隙起始頻率低且有一定帶寬的周期結構,分析其在噪聲控制、低頻防震方面的應用可能,理論設計出具有隔聲、降噪、減振性能的一維聲子晶體模型和具有低頻防震性能的工程模型,可為工程應用做貢獻.

作為一種新材料,各種結構聲子晶體的應用都還處于展望階段,但由于聲子晶體所具有的特殊性質使得其在航空航天、電子器件、人造臟器、汽車發動機、聲功能器件、等諸多方面都有廣泛的應用前景.

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Research Review on the Band Gap of One-dimensional Phononic Crystals

QIU Xue-yun

(Department of Math and Physics,Wenshan University,Wenshan Yunnan 663000,China)

The article briefly summarizes the concept of photonic crystals,its basic characteristics and classification.It analyzes and concludes the three simplified models of the one-dimensional phononic crystals,the calculation methods and the research result of the band gap.It offers a basis for further research on one-dimensional phononic crystals by forecasting the possible applications in low frequency vibration,noise control,anti-seismic and the earthquake prevention.

one-dimensional phononic crystals;band structure;band gap

O469

A

1008-9128(2011)02-0005-04

2011-03-12

國家自然科學基金項目(10664006);云南省教育廳科研基金項目(2010Y093)。

邱學云(1979-),男,云南宣威人,助理研究員,理學碩士。研究方向:聲子晶體、凝聚態物理。

[責任編輯 張燦邦]