怎樣教更有效

　　一、出人意料的測驗結果
　　前不久，我執教的兩個班進行一次小測驗，結果很令人感到意外。6班高分學生的人數比5班少很多，而6班入學時的優秀生比5班要多很多，并且在此之前每次大小考試也是6班領先，究竟是什么因素導致這次“大逆轉”的出現？為此，我對兩個班的試卷進行了認真的分析比較，發現導致差異產生的主要原因在于一道幾何題（見下圖），這道題6班的失分人數明顯比5班多。但令人不解的是：考前兩周左右我在兩個班都講解過這道題，并且這道題在當時的學習階段僅算得上中等難度。這到底是怎么回事呢？為了弄清原因，我決定對此展開調研。
　　已知在正方形ABCD中，M是BC的中點，E是BC延長線上的一點，MN⊥AM，交∠DCE的平分線CN于N。探究MA與MN的關系并加以論證。
　　二、學生訪談探求原因
　　首先，我找到6班一位平時成績不錯卻沒有答出這道題的甲同學。
　　師：這道題老師講過你有印象嗎？當時沒聽懂嗎？
　　甲：我當然記得您前些天講過，我還記得開始看題時我沒有思路，您講過后我就覺得很明白了，還做了筆記，可是考試的時候我卻怎么也想不起思路了。一交完卷我就翻了筆記本，一看就明白了，心里直罵自己太笨！
　　師：你考試的時候是怎么思考這道題的？
　　甲：我只記得自己想構造全等，好像您也是這么講的，我想構建一個三角形與ΔABM全等，因為是直角三角形嘛，于是我過點N作NF垂直于BE，可我花了好長時間也找不到邊相等的條件，只好放棄了。
　　師：那你為什么不換換思路，構造一個三角形全等于ΔMCN呢？
　　甲：真沒想起來，看了筆記才知道您是這么講的。
　　之后，我又找了6班幾個此題失分的同學進行訪談，他們講述的內容大致都跟甲同學相似。于是，我開始訪談5班的同學，找了一位平時成績很一般，但測驗中卻順利完成該題目的乙同學。
　　師：先祝賀你啊，成績很有進步，你能跟我說說這個題怎么做得這么好？
　　乙：老師難道您忘了原題您是講過的嗎？（吃驚）
　　師：我當然記得，可是仍然有許多同學沒做出來，我不知道為什么，所以想問問你怎么做的呀！
　　乙：我對這道題印象太深了。上次您給我們這道題的時候我想了一中午，想了好多條道都行不通，直到下午您在心理課上帶著我們一起探究，我才明白這道題應該怎么處理。
　　師：你記得那個中午你想了多少條走不通的道嗎？
　　乙：當然記得，您上課時也讓同學展示了，我想的跟他們一樣。開始我覺得要證MA=MN，就是要利用題目中的已知條件。我觀察了圖形結合已知條件發現連結AN，只要證明ΔANM是等腰三角形即可，但是不容易證明。于是，我想如果能證明AM、MN它們所在的兩個三角形全等，那該多好啊。可是結合已知我發現圖中它們所在的兩個三角形，一個是鈍角三角形，一個是直角三角形，那是不可能全等的。于是就想到添加輔助線構建全等三角形，想通過證明兩個三角形全等來證明線段相等。本來我想構建一個三角形與ΔABM全等，因為ΔABM是直角三角形，特殊嘛，于是我過點N作NF垂直于BE，在證明過程中比較容易找出兩組角相等，但找一組邊相等非常困難（證明三角形全等至少需要一組邊相等）。老師，你不知道我在上面花了好長時間，不然的話，我不可能對這個題印象這么深。聽課后我意識到可以換個思路，構建一個三角形全等于ΔMCN。根據點M是BC的中點，于是找AB的中點F，連結FM，此輔助線方法非常有效，不僅創設了AF=MC，而且又得出∠AFM=∠NCM=135°。再根據同角的余角相等，即∠FAM=∠CMN，就可以利用ASA證明這兩個三角形全等了。
　　師：謝謝你，講得太好了！希望你今后也能像這樣帶著問題上課，一定會有意想不到的收獲。
　　三、調研帶來的反思
　　聽了5班乙同學的談話，我猛然意識到在這道題目上兩個班有差距的原因了。兩個班同一天講解這道題，在6班出示該題的時候離下課好像不到10分鐘，我讓同學獨立思考了片刻，看到馬上就要下課還沒有同學舉手，我就帶著同學分析了一遍，也給出了板書，看到同學們不住地點頭，認真地做記錄，我很放心，覺得學生應該聽明白了，卻沒料到會收到這種效果。
　　在5班，由于前一天心理課老師打了招呼，他上半節課之后就有事出去，后半節要我上，于是數學課上我在出示了這道題以后，沒急于帶領學生分析，而是給他們布置了任務，中午認真思考，下午心理課上展示分析。那節課我先讓學生們談他們各種受阻的思路，大多數同學感覺過點N作NF垂直于BE，構建ΔABM與ΔMFN全等，應該可以解決問題。可惜在證明過程中比較容易找出兩組角相等，但找一組邊相等非常困難。究其原因是受平常一些思維定勢的影響，創設三角形一般是創設一個特殊的三角形，而題目中的直角三角形正符合要求，于是毫不猶豫地認定創設直角三角形。記得當時我肯定了能有這樣的思維、作這樣的輔助線本身是件好事，但需要看題目特征具體對待，拼命鉆牛角尖，會浪費很多時間。于是，嘗試尋求另一條出路，那就是構建一個三角形全等于ΔMCN。那半節課學生真是聽得津津有味，想來給他們留下深刻印象的恐怕不僅僅是正確的答案，更有不撞南墻不回頭的思維過程！
　　說實在話，我平常也會抱怨學生為什么會一道題講過很多次依然還錯，總認為自己講透徹、學生聽明白，就算完成了教學任務。然而，通過這次檢測及隨后的調研，我發現了學生親身體驗的重要性。那種擔心學生栽跟頭、耽誤課上時間的做法表面上看是節省了教學時間，但實際效果未必好。因此，教師需要學會聆聽、學會等待，敢于讓學生的思維誤區暴露出來，借助學生現有的知識經驗對問題進行深入分析，巧妙提升，實現問題的解決，這才能夠真正地提高教學的效率。
　　四、反思之后的改進
　　一道題不經意間采用了兩種不同的教學方法，卻產生了截然相反的教學效果，這讓我陷入了深思：到底怎么教更有效？
　　鑒于學生親身體驗的重要性，我在試卷講評時，要求學生以小組形式討論并出示本題的知識網絡圖。在此基礎上，我還出示了一道變式題，即將原題中“M是BC的中點”改為“M是BC上的任意一點”，其余條件不變，那么，結論“MN=MA”還成立嗎？如果成立，請加以證明；如果不成立，請說明理由。在這里，教學碰到了難點：有些學生認為點M在運動不再是中點，那么也就不會出現∠AFM=∠NCM=135°，所以兩個三角形是不可能全等的。
　　事實上，把“M是BC的中點”改為“M是BC上的任意一點”，結論“MN=MA”依然成立。針對學生的疑惑，教師要鼓勵他們大膽嘗試，學會變通，不僅引導學生探索出“若證明兩條線段相等而題中沒有三角形全等時可以構造三角形證明三角形全等”這一類問題的求解方法，更重要的是揭示出初中幾何的核心思想：在圖形的運動變化中尋求不變的性質。
　　五、經驗總結
　　有的數學教師平常不太重視自己思維的展示，不太重視知識建構及知識呈現的過程。其實數學教師顯現自己的思維過程對于學生學習的幫助很大，這種成熟的數學思維解題技法正是學生思維活動的楷模。在例題教學過程中，教師要善于將思路的形成過程“暴露”出來，使學生的思維與教師的思維發生共鳴，變教師傳授的過程為學生發現的過程，留給學生的不再是“魔術師”的表演，而是創造性的教育與實踐。不僅是例題教學，其實包括備課、上課、答疑、批改作業、組織考試、批改試卷等在內，都應該看成是顯露數學思維過程的重要環節。另一方面，也要鼓勵學生在自己的學習中，從書本例題、課外練習以及教師講題中分析他人思維發展的脈絡，同時不斷比照自己的思維過程，尋找自己思維中的錯誤，吸取他人思維中的營養。只有這樣，教師的教才能更有實效性，這種實效性不僅體現在分數成績上，更體現在學生思維能力、分析解決問題能力的提高上。因此，“怎樣教更有效”應該成為我們每一位數學教師時常思索的重要問題。
　　
　　（作者單位：北京市房山區良鄉二中）
　　
　　（責任編輯：張欣）