2001-2010年我國人口增長的數學模型研究與實證分析

　　摘 要： 本文首先建立了我國人口增長的數學模型，給出了模型中參數的確定方法，并用2001—2009年的人口數據得到了我國人口增長的數學模型。最后用該模型預測了2011—2015年我國的人口總數。
　　關鍵詞： 人口問題 人口增長 數學模型 實證分析
　　
　　一、引言
　　當今人類面臨的五大問題：（1）人口問題；（2）工業化的資金問題；（3）糧食問題；（4）不可再生的資源問題；（5）環境污染問題（即生態平衡問題），人口問題名列榜首。一些發展中國家的出生率較高，眾多的人口使國家背上沉重的包袱，人均糧食不足，人均資源不足，工業化資金有限、生態平衡被嚴重破壞，等等，都與人口太多有關。而歐洲一些發達國家（如法國、德國等，人口增長率為零甚至為負，造成人口老齡化，勞動力短缺，也是不容忽視的問題。建立人口增長的數學模型，用以描述人口增長過程，通過分析，對人口增長進行預測，為國家制定相應的人口政策提供依據，以控制人口增長，于國于民均有利。
　　二、人口增長的數學模型
　　影響人口增長的因素很多：人口基數，出生率和死亡率的高低，人口男女比例的大小，人口年齡組成情況，工農業生產水平的高低，營養條件、醫療水平、人口素質、環境污染情況。另外，各個民族的風俗習慣、傳統觀念、自然災害、戰征、人口遷移，等等，對人口增減也有很大影響。
　　我們先把問題簡化，僅考慮影響人口增長的主要因素——出生率與死亡率，或者說增長率（出生率減去死亡率）及人口基數，其余因素的影響不予考慮，建立一個簡單的數學模型，如果需要，再在這個模型的基礎上逐步考慮次要因素，進而建立精度更高的模型。
　　人口的增長過程我們用微分過程來描述，雖然人口總數是按照整數變化的，且不是時間的可微函數，但是，如果總數很大時，就可以近似地認為它是時間的連續函數，甚至是可微函數。這種處理方法，數學上稱為離散變量的連續化處理。
　　設某區域在時刻t（以年為單位）的人口數為p（t），這個區域的出生率為b，死亡率為d，經過時間△t，在這段時間內出生人數為bp△t，死亡人數為dp△t，總人口的改變量為△p=（b-d）p△t，當△t→0時，有=（b-d）p，其中b-d不能假設為常數，否則我們將得出人口數將無限增加（當b＞d時），或者人口數將無限減少，這顯然是不符合實際情況的。根據歷史資料作數理統計，我們可以假設出生率和死亡率均是人口數p（t）的線性函數，且b=m-np（t），d=r+sp（t），式中m，n，r，s都是正的常量，此假設表明，當人口總數增加時，出生率將隨人口總數的增加而減少，死亡率卻隨人口總數的增加而增加，即b是p（t）的減函數，d是p（t）的增函數。這個假設顯然是符合客觀實際的。因此上面的微分方程可以寫成：
　　=（b-d）p=（m-r）p-（n+s）p
　　若記α=m-r，β=n+s，則有：
　　=αp-βp（1）
　　其初始條件為p（t）=p，其中α，β稱為生命系數，一般來說，常數β與α相比是很小的，如果p（t）不太大，-βp項（可稱為競爭項）與αp相比可以忽略，人口總數將按指數方式增長，當p（t）很大時，-βp項不能忽略，由于這一項的作用，人口總數劇增的速度將減緩下來。因此-βp項也可稱為控制項。
　　方程（1）是Bernoulli方程，也是一階可分離變量的微分方程，用分離變量法求解，在應用初始條件后（1）的通解為：
　　p（t）=（2）
　　或
　　p（t）=（3）
　　這就是人口增長的計算公式。稱為Logistic方程，方程（1）在數學上稱為阻滯方程。
　　討論（2），可以得出人口總數具有如下規律：
　　1.當t→∞時，p（t）→，即不管初值如何，人口總數最終將趨向于極限值。
　　2.當0＜p＜時，所以p（t）是時間t的單調增函數，
　　又因為
　　=α-2βp=（α-2βp）p（α-βp），
　　顯然，當p＜時，＞0，曲線向下凹，當p＞時，＜0，曲線向上凸，函數p（t）的圖形稱為“S”形曲線。
　　3.在人口總數達到極限值一半（即）以前，是加速增長時期，過這一點以后，增長的速度逐漸減小，進入減速增長時期，最后增長速度為0，趨近于極限值。
　　三、模型中α和β的確定
　　為了獲得我國人口增長的數學模型，需要確定（1）式中的α和β。
　　α和β一般采用最小二乘法來確定，方法如下:
　　令△p=p-p，作L=（△p-αp+βp），對β取α和β偏導數，并令偏導數等于零，則得=2（△p-αp+βp）（-p）=0=2（△p-αp+βp）p=0
　　由此得方程組αp-βp=p△pαp-βp=p△p
　　解此方程組，可確定α和β的值。
　　另一種方法是文獻［1］中的方法。主要利用
　　e=（4）
　　確定α和β的值。
　　由（4）式有
　　e=及e=
　　相除得e=，
　　再假定t-t=t-t可得
　　=
　　解此方程可得
　　=（5）
　　另一方面，從e=取對數可得
　　α=ln
　　四、人口增長的數學模型與實證分析
　　下面我們用文獻［１］中的方法確定和的值。
　　以2001年的人口總數為p，p=127627，2005年的人口總數為p，p=130756，2009年的人口總數為p，p=133474，代入（5）經計算可得
　　==148670，
　　α=ln=0.0462，及β=3.108×10
　　因此，我國人口增長的數學模型為：
　　p（t）=（6）
　　以上計算表明，我國人口增長的最大值（極限值）為14.867億，且用模型（6）對2001-2010的人口總數重新進行了計算與預測，計算表明，相對誤差很小，模型具有較高的精度?？捎糜陬A測2011-2015年人口總數。預測結果見表1后5行。
　　表1 2001-2010年的人口總數 （萬人）
　　五、結語
　　通過利用上述人口增長的數學模型，我們得到了一些有價值的結論，我國人口的最大值為15億。到“十二五”末人口總數為13.7億。但是從長遠看，隨著我國人口老齡化的到來，我國的人口政策一定會作出調整，人口總數還會有所變化。
　　
　　參考文獻：
　?。?］M.布朗著.張鴻林譯.微分方程及其應用（上冊）［M］.北京，人民教育出版社，1983：38-43.
　?。?］王周喜等.人口預測模型的非線性動力學研究［J］.數量經濟與技術經濟研究，2002，（8）：53-56.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文