分部積分法的規律總結及典例解析

　　摘 要： 分部積分法是求解積分時一種十分重要的方法，它可以求解一些利用直接積分法和換元積分法無法求解的問題。運用此方法時關鍵在于u和dv的選取，本文主要通過一些典型例題來總結出分部積分法的一般規律。
　　關鍵詞： 分部積分法 規律 典例
　　
　　分部積分法是由兩個函數乘積的微分運算法推得的一種求積分的基本方法，主要是解決某些被積函數是兩類不同函數乘積的不定積分.
　　設函數u=u（x），v=v（x）具有連續的導數u′（x）和v′（x），則由乘積的微分運算法則d（uv）=udv+vdu，可得：udv=d（uv）-vdu.
　　兩邊積分得udv=uv-vdu或uv′dx=uv-vu′dx
　　上式稱為分部積分公式，它把uv′的積分轉化為vu′的積分，當右邊積分可以求出或右邊積分比左邊容易求出時，就顯示出分部積分公式的作用了.
　　一、引言
　　在引出一般規律之前，讓我們來先看一個例子.
　　例題1：求xcosxdx.
　　解：若設u=x，dv=cosxdx=d（sinx），則v=sinx.利用分部積分公式，得xcosxdx=xd（sinx)=xsinx-sinxdx=xsinx+cosx+C
　　但若設u=cosx，dv=xdx，即v=x，則
　　xcosxdx=cosxd（x）=cosx?x-xd（cosx)
　　 =xcosx+xsinxdx.
　　不難看出，等式右邊的積分xsinxdx比原來的積分更加復雜了.
　　由此可見，如果u、v選擇不當，用分部積分法所得的積分可能比原來的積分更難計算.
　　一般來說，如果被積函數是兩類基本初等函數的乘積，在多數情況下，可按下列順序：反三角函數、對數函數、冪函數、指數函數、三角函數，將排在前面的那類函數選作u，后面的那類函數選作v′，然后進行分部積分即可.
　　二、分類探討
　　1.對于xf（x）dx的積分［f（x）為指數函數（三角函數）］，選x作為u，將指數函數（三角函數）湊微分，變為dv.用一次分部積分公式，冪函數指數降低一次，反復用n次分部積分公式，指數降為零次，稱為降次法.
　　例2：求xedx.
　　解：xedx=xe-2exdx=xe-2xde
　　 =xe-2（xe-edx）=xe-2xe+2e+C
　　2.對于xf（x）dx的積分［f（x）為反三角函數（對數函數）］，選反三角函數（對數函數）作為u，將xdx湊微分.因反三角函數（對數函數）的微分形式較為簡單，故可將原積分轉換為較簡單形式的積分，亦即轉換法.
　　例3：求xlnxdx
　　解：xlnxdx=lnxd（-）=-lnx+?dx
　　=-lnx-+C
　　（3）對于f（x）g（x）dx的積分［f（x）為指數函數，g（x）為三角函數］，u與dv可隨意選取，但用一次分部積分公式無法求出結果，需用兩次分部積分公式，且兩次必須選同一函數類型的函數湊微分，可得關于所求積分的一個循環等式，然后利用解方程的形式求解出結果，稱為循環法.
　　例4：求ecosxdx.
　　解：ecosxdx=ed（sinx）=esinx-2esinxdx
　　 =esinx+2ed（cosx）
　　 =esinx+2（ecosx-2ecosxdx）
　　所以ecosxdx=e（sinx+2cosx）+C.
　　4.當被積函數是某一簡單函數的高次冪函數時，可通過分部積分法得到高次冪函數與低次冪函數的積分關系，稱為遞推法.
　　例5：求L=（lnx）dx，并且計算L.
　　解：L=（lnx）dx=x（lnx）-xd［（lnx）］
　　 =x（lnx）-n（lnx）dx
　　 =x（lnx）-nL
　　通過計算出L、L、L便可以遞推計算出L，這里不再贅述.
　　5.除了應用上述四種方法之外，有時我們也需要將換元法貫穿在分部積分中來簡化計算，下面來看一個例子.
　　例6：求sindx.
　　解：被積函數中含有根式，可以先換元再分部積分。設=t，則x=t（t＞0），dx=2tdt，所以
　　sindx=sint?2tdt=2t?sintdt
　　 =-2td（cost）=-2（tcost-costdt）
　　 =-2（tcost-sint）+C
　　 =2（sin-cos）+C
　　三、規律總結
　　綜合以上各例，一般情況下，u與dv可以按照以下規律選擇：
　　1.形如xsinkxdx、xcoskxdx、xedx（n為正整數）的不定積分，可令u=xn，余下的則為dv（亦即dv=sinkxdx、dv=coskxdx、dv=edx）.如例1、例2；
　　2.形如xlnxdx、xarctanxdx、xarcsinxdx（其中n為零或正整數）等的不定積分，應令dv=xdx，余下的為u（即u=lnx、u=arctanx、u=arcsinx）.如例3；
　　3.形如esinbxdx、ecosbxdx的不定積分，可以任意選擇u和dv.但應注意，因為要使用兩次分部積分法，兩次選擇的u與dv應保持一致，即如果第一次令u=e，則第二次也須令u=e，只有這樣才能出現循環公式，然后用解方程的方法求出積分.如例4；
　　4.當積分式中出現由兩種或多種簡單函數復合而成的函數時，可利用換元法，將內層函數用t代替，然后進行分部積分，最后再將t還原成對應函數即可.如例6.
　　在利用分部積分法求解積分時，關鍵是在正確選擇公式中的u和dv，然后才能進行分部積分，否則可能將問題復雜化，得不出正確的結果.在求解積分時，有時分部積分法只能解決積分式中的一部分，還需靈活運用其他的積分方法（如：換元積分法等），才能達到正確求解積分的目的.此外，“反、對、冪、指、三”的規律，適用于一般情況下的分部積分，但對于特殊情況還需特殊對待.
　　
　　參考文獻：
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